2018_2019年高中数学第一章计数原理1.2.2第二课时组合的综合应用学案.docx

第二课时组合的综合应用 某地区发生了特别重大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？思路导引解答有限制条件的组合问题时，应优先考虑限制条件，此题中“至少”即为不低于；而“至多”即为不多于解(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC90种抽调方法(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，解法一：(直接法)按选取的外科专家的人数分类：选2名外科专家，共有CC种选法；选3名外科专家，共有CC种选法；选4名外科专家，共有CC种选法；根据分类加法计数原理，共有CCCCCC185种抽调方法解法二：(间接法)不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有CC种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：CCCC185种抽调方法(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答没有外科专家参加，有C种选法；有1名外科专家参加，有CC种选法；有2名外科专家参加，有CC种选法所以共有CCCCC115种抽调方法(1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法；(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”、“至多”、“含”、“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步；(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略跟踪训练课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选解(1)一名女生，四名男生，故共有CC350(种)选法(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有CC165(种)选法(3)解法一：至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选故共有CCCC825(种)选法解法二：采用间接法：CC825(种)(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生故共有CCCCC966(种)选法题型二分组(分配)问题 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本思路导引分配问题属于“排列”问题，可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配解(1)先从6本书中选2本给甲，有C种选法；再从其余的4本中选2本给乙，有C种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C种选法；所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有CCC90(种)(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本，有CCC种方法，这个过程可以分两步完成：第一步，分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步，再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法，根据分步乘法计数原理，可得：CCCxA，所以x15，因此分为三份，每份两本一共有15种方法(3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC60(种)方法(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA360(种)方法(5)可以分为三类情况：“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有CCC90(种)方法；“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有CCCA360(种)方法；“1、1、4型”，有CA90(种)方法所以一共有9036090540(种)方法(1)组合应用题中分配问题的常见形式及处理方法如下表所示：常见形式处理方法非均匀不编号分组n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数为：均匀不编号分组将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为(其中A为非均匀不编号分组中的分法数)如果再有k组均匀组应再除以A.非均匀编号分组n个不同元素分成m组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为AA.均匀编号分组n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为A.(2)分配问题的处理途径将n个元素按一定要求分给m个人，称为分配问题分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不可区分的；而后者即使两个元素个数相同，但因人不同，仍然是可区分的对于这类问题必须遵循先分组后排列的原则跟踪训练将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？(6)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？解(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有444444256(种)放法(2)这是全排列问题，共有A24(种)放法(3)解法一：先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有A种投放方法，故共有A144(种)放法解法二：先取4个球中的两个“捆”在一起，有C种选法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有A种投放方法，所以共有CA144(种)放法(4)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投入方法有2种，故共有C28(种)放法(5)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有CC12(种)放法(6)(隔板法)先将编号为1,2,3,4的4个盒子分别放入0,1,2,3个球，再把剩下的14个球分成四组，即在这14个球中间的13个空中放入三块隔板，共有C286(种)放法，如|，即编号为1,2,3,4的盒子分别放入2,6,5,7个球 有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中随机取出4张卡片排成一行若取出的4张卡片所标数字之和等于10，则有多少种不同的排法？思路导引取出的4张卡片数字之和等于10，要注意123410,114410,223310，要据此分类取出卡片，还要排序解问题可以分成三类第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有CCCCA384(种)；第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有CCA24(种)；第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有CCA24(种)根据分类加法计数原理，满足题意的排法有3842424432(种)解答排列、组合综合问题的思路及注意点(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法跟踪训练用0到9这10个数字组成没有重复数字的五位数，其中含3个奇数与2个偶数的五位数有多少个？解解法一：(直接法)把从5个偶数中任取2个分为两类：(1)不含0的：由3个奇数和2个偶数组成的五位数，可分两步进行：第1步，选出3奇2偶的数字，方法有CC种；第2步，对选出的5个数字全排列有A种方法故所有适合条件的五位数有CCA个(2)含有0的：这时0只能排在除首位(万位)以外的四个位置中的一个，有A种排法；再从2,4,6,8中任取一个，有C种取法，从5个奇数数字中任取3个，有C种取法，再把取出的4个数全排列有A种方法，故有ACCA种排法根据分类加法计数原理，共有CCAACCA11040个符合要求的数解法二：(间接法)如果对0不限制