高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义学案.docx

3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.1.复数加减法的运算法则及加法运算律（1）加减法则设z1abi，z2cdi（a，b，c，dR）是任意两个复数，则z1z2（ac）（bd）i，z1z2（ac）（bd）i.（2）加法运算律对任意z1，z2，z3C，交换律：z1z2z2z1.结合律：（z1z2）z3z1（z2z3）.2.复数加减法的几何意义如图，设复数z1，z2对应的向量分别为，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1z2对应的向量是，与z1z2对应的向量是. 判断正误（正确的打“”，错误的打“”）（1）两个虚数的和或差可能是实数.（）（2）若复数z1，z2满足z1z20，则z1z2.（）（3）在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.（）（4）复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.（）（5）复数的减法不满足结合律，即（z1z2）z3z1（z2z3）可能不成立.（）答案：（1）（2）（3）（4）（5） 已知复数z134i，复数z234i，那么z1z2等于（）A.8iB.6C.68i D.68i答案：B （5i）（3i）5i等于（）A.5i B.25iC.25i D.2解析：选B.（5i）（3i）5i5i3i5i25i. 若复数z满足zi33i，则z等于.解析：因为zi33i，所以z3ii362i.答案：62i探究点1复数的加减法运算（1）计算：（56i）（2i）（34i）；（2）设z1x2i，z23yi（x，yR），且z1z256i，求z1z2.【解】（1）原式（523）（614）i11i.（2）因为z1x2i，z23yi，z1z256i，所以（3x）（2y）i56i，所以所以所以z1z2（22i）（38i）（23）2（8）i110i.解决复数加减运算的思路两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）.复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）. 1.复数（12i）（34i）（53i）对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：选A.复数（12i）（34i）（53i）（135）（243）i9i，其对应的点为（9，1），在第一象限.2.计算：（12i）（23i）（34i）（45i）（2 0152 016 i）（2 0162 017i）.解：法一：原式（12342 0152 016）（23452 0162 017）i1 0081 008i.法二：（12i）（23i）1i，（34i）（45i）1i，（2 0152 016i）（2 0162 017i）1i.将上述1 008个式子左右分别相加，得原式1 008（1i）1 0081 008i.探究点2复数加减法的几何意义已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，32i，24i.（1）求表示的复数；（2）求表示的复数.【解】（1）因为，所以表示的复数为（32i），即32i.（2）因为，所以表示的复数为（32i）（24i）52i.1.若本例条件不变，试求点B所对应的复数.解：因为，所以表示的复数为（32i）（24i）16i.所以点B所对应的复数为16i.2.若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数.解：由题意知，点M为OB的中点，则，由互动探究1中点B坐标为（1，6）得点M坐标为，所以点M对应的复数为3i.复数加减法几何意义的应用技巧（1）复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算.（2）复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则. 1.在复平面内，复数1i与13i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则|（）A.B.2C. D.4解析：选B.因为，所以对应的复数为（13i）（1i）2i，故|2.2.已知复数z112i，z22i，z312i，如图，它们在复平面上对应的点分别是正方形的三个顶点A，B，C，求这个正方形的第四个顶点D所对应的复数.解：如题图，正方形的第四个顶点D对应的复数为xyi（x，yR），则对应的复数是（xyi）（12i）（x1）（y2）i，对应的复数是（12i）（2i）13i.因为，即（x1）（y2）i13i，所以解得故点D对应的复数为2i.1.已知z12i，z212i，则复数zz2z1对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：选C.zz2z1（12i）（2i）13i.故z对应的点为（1，3），位于第三象限.2.已知复数z1i，z2cos 60isin 60，则|z1z2|（）A.1 B.C. D.解析：选A.z2cos 60isin 60i，所以z1z2ii1，则|z1z2|1.3.已知复数z1（a22）3ai，z2a（a22）i，若z1z2是纯虚数，那么实数a的值为.解析：由z1z2a22a（a23a2）i是纯虚数，得a2.答案：24.已知复数z12i，z212i.（1）求z1z2；（2）在复平面内作出复数z1z2所对应的向量.解：（1）由复数减法的运算法则得z1z2（2i）（12i）1i.（2）在复平面内作复数z1z2所对应的向量，如图中.知识结构深化拓展在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为正方形；若|z1|z2|z1z2|，则OAB是正三角形. A基础达标1.已知复数z12i，z2i，i是虚数单位，则复数z12z2（）A.12iB.12iC.12i D.23i解析：选D.因为z12i，z2i，所以z12z22i2i23i.2.设a，bR，z12bi，z2ai，当z1z20时，复数abi为（）A.1i B.2iC.3 D.2i解析：选D.由得所以abi2i.3.在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为1i和43i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（）A. B.5C.2 D.10解析：选B.依题意，对应的复数为（43i）（1i）34i，因此AC的长度即为|34i|5.4.复数z1a4i，z23bi，若它们的和z1z2为实数，差z1z2为纯虚数，则a，b的值为（）A.a3，b4 B.a3，b4C.a3，b4 D.a3，b4解析：选A.因为z1z2（a3）（4b）i为实数，所以4b0，b4.因为z1z2（a4i）（3bi）（a3）（4b）i为纯虚数，所以a3且b4.故a3，b4.5.设f（z）|z|，z134i，z22i，则f（z1z2）（）A. B.5C. D.5解析：选D.因为z1z255i，所以f（z1z2）f（55i）|55i|5.6.已知复数z满足z（12i）5i，则z.解析：z（5i）（12i）43i.答案：43i7.已知复数z12ai，z2ai（aR），且复数z1z2在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是.解析：因为复数z1z22aiai（2a）（a1）i在复平面内对应的点位于第二象限，所以解得a2.答案：（2，）8.已知|z|4，且z2i是实数，则复数z.解析：因为z2i是实数，可设za2i（aR），由|z|4得a2416，所以a212，所以a2，所以z22i.答案：22i9.设mR，复数z1（m15）i，z22m（m3）i，若z1z2是虚数，求m的取值范围.解：因为z1（m15）i，z22m（m3）i，所以z1z2（m15）m（m3）i（m22m15）i.因为z1z2是虚数，所以m22m150且m2，所以m5且m3且m2，所以m的取值范围是（，3）（3，2）（2，5）（5，）.10.已知z1（3xy）（y4x）i，z2（4y2x）（5x3y）i（x，yR），设zz1z2132i，求z1，z2.解：zz1z2（3xy）（y4x）i（4y2x）（5x3y）i（3xy）（4y2x）（y4x）（5x3y）i（5x3y）（x4y）i.又因为z132i，且x，yR，所以解得所以z1（321）（142）i59i，z24（1）22523（1）i87i.B能力提升11.若复数z满足条件|z（22i）|1，则复平面内z对应的点的轨迹是（）A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线解析：选A.设zxyi（x，yR），则|z（22i）|xyi22i|（x2）（y2）i|1，所以（x2）2（y2）21.所以复平面内z对应的点的轨迹是圆.12.在复平面内，ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|zz1|zz2|zz3|，则z对应的点是ABC的（）A.外心 B.内心C.重心 D.垂心解析：选A.设复数z与复平面内的点Z相对应，由ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|zz1|zz2|zz3|，可知点Z到ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义，可知点Z为ABC的外心.故选A.13.已知在复平面内的正方形ABCD有三个顶点对应的复数分别是12i，2i，12i，则第四个顶点对应的复数是.解析：设复平面内正方形ABCD的三个顶点A，B，C对应的复数分别为12i，2i，12i，则（1，2），（2，1），（1，2），设（a，b）.因为（3，1），（1，3），且1（3）（1）（3）0，所以，所以，即向量与对应的复数相等，所以3i1a（2b）i，所以解得所以（2，1）.故第四个顶点对应的复数是2i.答案：2i14.（选做题）已知z