数学导航高考数学大一轮复习 第二章 6函数的奇偶性及周期性课件 文.ppt

函数的奇偶性与周期性 温馨提示 请点击相关栏目 整知识 萃取知识精华 整方法 启迪发散思维 考向分层突破一 考向分层突破二 考向分层突破三 1 奇函数 偶函数的概念及图象特征 整知识 考点 分类整合 结束放映 返回导航页 1 周期函数 t为函数f x 的一个周期 则需满足的条件 t 0 f x t f x 对定义域内的任意x都成立 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数 那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期 3 周期不唯一 若t是函数y f x x r 的一个周期 则nt n z 且n 0 也是f x 的周期 即f x nt f x 2 函数的周期性 结束放映 返回导航页 1 判断函数奇偶性的两个方法 整方法 考点 分类整合 1 定义法 2 图象法 结束放映 返回导航页 2 周期性三个常用的结论 对f x 定义域内任一自变量的值x 1 若f x a f x 则t 2a 2 若f x a 则t 2a 3 若f x a 则t 2a a 0 结束放映 返回导航页 例1 2013 湖北卷 x为实数 x 表示不超过x的最大整数 则函数f x x x 在r上为 a 奇函数b 偶函数c 增函数d 周期函数 考向分层突破一 函数的周期性 解析 函数f x x x 在r上的图象如下图 答案 d 结束放映 返回导航页 解析 由f x 2 f x 2 可知函数f x 的最小正周期t 4 答案 d 2 已知f x 是定义在实数集r上的奇函数 对任意的实数x f x 2 f x 2 当x 0 2 时 f x x2 则f a b c d 又由于该函数是奇函数 故 结束放映 返回导航页 解析 f x 是以4为周期的奇函数 当0 x 1时 f x x 1 x 当1 x 2时 f x sin x 又 f x 是奇函数 3 2014 安徽卷 若函数f x x r 是周期为4的奇函数 且在 0 2 上的解析式为f x 则 结束放映 返回导航页 1 判断函数的周期只需证明f x t f x t 0 便可证明函数是周期函数 且周期为t 函数的周期性常与函数的其他性质综合命题 2 根据函数的周期性 可以由函数局部的性质得到函数的整体性质 在解决具体问题时 要注意结论 若t是函数的周期 则kt k z且k 0 也是函数的周期 归纳升华 结束放映 返回导航页 考向分层突破二 函数奇偶性的判定 解析 1 由得x 1 f x 的定义域为 1 1 又f 1 f 1 0 f 1 f 1 0 即f x f x f x 既是奇函数又是偶函数 结束放映 返回导航页 2 f x x 1 x 1 解析 2 函数的定义域为 关于原点对称 f x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x f x x 1 x 1 是奇函数 结束放映 返回导航页 故f x 的定义域为 1 0 0 1 关于原点对称 且有x 2 0 从而有f x 这时有f x 故f x 为奇函数 3 f x 结束放映 返回导航页 解析 4 易知函数的定义域为 0 0 关于原点对称 又当x 0时 f x x2 x 则当x 0时 x 0 故f x x2 x f x 当x 0时 f x x2 x 则当x 0时 x 0 故f x x2 x f x 故原函数是偶函数 4 f x 结束放映 返回导航页 1 判断函数的奇偶性首先必须检验函数的定义域是否关于原点对称 然后检验对任意的x是否有f x f x 或f x f x 成立 必要时 可对上式作变形处理 f x f x 0 2 分段函数奇偶性的判断 要注意定义域内x取值的任意性 应分段讨论 讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简 判断f x 与f x 的关系 得出结论 也可以利用图象作判断 归纳升华 结束放映 返回导航页 解析 1 函数f x 的定义域为 不关于坐标原点对称 函数f x 既不是奇函数 也不是偶函数 结束放映 返回导航页 2 f x 3x 3 x 解析 2 f x 的定义域为r f x 3 x 3x 3x 3 x f x 所以f x 为奇函数 结束放映 返回导航页 3 f x x2 x a 2 解析 3 函数f x 的定义域为r 当a 0时 f x f x f x 是偶函数 当a 0时 f a a2 2 f a a2 2 a 2 f a f a 且f a f a 2 a2 a 2 0 f x 是非奇非偶函数 结束放映 返回导航页 例2 1 2014 湖南卷 已知f x g x 分别是定义在r上的偶函数和奇函数 且f x g x x3 x2 1 则f 1 g 1 a 3b 1c 1d 3 考向分层突破三 函数奇偶性的应用 解析 1 f x f x g x g x f x g x x3 x2 1 f x g x x3 x2 1 即f x g x x3 x2 1 f 1 g 1 1 1 1 1 结束放映 返回导航页 2 2014 全国卷 已知偶函数f x 在 0 单调递减 f 2 0 若f x 1 0 则x的取值范围是 解析 f x 是偶函数 图象关于y轴对称 又f 2 0 且f x 在 0 单调递减 则f x 的大致图象如图所示 由f x 1 0 得 2 x 1 2 即 1 x 3 答案 1 3 结束放映 返回导航页 由于f x g x 分别是定义在r上的奇函数和偶函数 所以f x f x g x g x 因此得 f x g x 2x 同类练1 已知f x g x 分别是定义在r上的奇函数和偶函数 且f x g x 则f 1 g 0 g 1 之间的大小关系是 解析 在f x g x 中 用 x替换x 得f x g x 2x 于是解得f x g x 于是f 1 g 0 1 g 1 故f 1 g 0 g 1 结束放映 返回导航页 同类练2 y f x 是定义在r上的偶函数且在 0 上递增 不等式的解集为 解析 因为y f x 是定义在r上的偶函数且在 0 上递增 所以等价于所以 即2 x x 1 平方得4x2 x2 2x 1 所以3x2 2x 1 0 解得 x 1 即不等式的解集为 结束放映 返回导航页 变式练3 已知函数f x x3 sinx 1 x r 若f a 2 则f a 的值为 a 3b 0c 1d 2 解析 设f x f x 1 x3 sinx 显然f x 为奇函数 又f a f a 1 1 f a f a 1 1 从而f a 0 答案 b 结束放映 返回导航页 变式练4 已知f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x x2 2x 若f 2 a2 f a 则实数a的取值范围是 a 1 2 b 1 2 c 2 1 d 2 1 解析 f x 是奇函数 当x 0时 f x x2 2x 作出函数f x 的大致图象如右图中实线所示 结合图象可知f x 是r上的增函数 由f 2 a2 f a 得2 a2 a 解得 2 a 1 答案 c 结束放映 返回导航页 解析 f x 为奇函数 f x f x x 2 x k 2 x k x x2 2x kx 2k 2k kx 2x x2 k 2 答案 2 拓展练5 2014 广东湛江调研 设函数f x 为奇函数 则k 结束放映 返回导航页 拓展练6 若f x 为奇函数 且在 0 上是减函数 又f 2 0 则x f x 0的解集为 答案 2 2 解析 由x f x 0得 f x 为奇函数 在 0 上是减函数 f 2 0 由x 2 由x 2 x f x 0的解集为 2 2 结束放映 返回导航页 拓展练7 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 若方程f x m m 0 在区间 8 8 上有四个不同的根x1 x2 x3 x4 则x1 x2 x3 x4 解析 f x 为奇函数并且f x 4 f x f x 4 f 4 x f x 即f 4 x f x 且f x 8 f x 4 f x 即y f x 的图象关于x 2对称 并且是周期为8的周期函数 f x 在 0 2 上是增函数 f x 在 2 2 上是增函数 在 2 6 上为减函数 据此可画出y f x 的图象 其图象也关于x 6对称 x1 x2 12 x3 x4 4 x1 xx x3 x4 8 答案 8 结束放映 返回导航页 归纳升华 3 奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 偶函数