2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法练习新人教A版.docx

2.3 数学归纳法 A基础达标1.用数学归纳法证明“1aa2an1（a1，nN*）”，在验证n1成立时，左边的项是（）A.1B.1aC.1aa2 D.1aa2a3解析：选C.因为左边式子中a的最高指数是n1，所以当n1时，a的最高指数为2，根据左边式子的规律可得，当n1时，左边1aa2.2.用数学归纳法证明n（n1）（n2）（3n2）（2n1）2（nN*）时，若记f（n）n（n1）（n2）（3n2），则f（k1）f（k）等于（）A.3k1 B.3k1C.8k D.9k解析：选C.因为f（k）k（k1）（k2）（3k2），f（k1）（k1）（k2）（3k2）（3k1）3k（3k1），则f（k1）f（k）3k13k3k1k8k.3.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是（）A.假设n2k1时正确，再推n2k3时正确（kN*）B.假设n2k1时正确，再推n2k1时正确（kN*）C.假设nk时正确，再推nk1时正确（kN*）D.假设nk（k1）时正确，再推nk2时正确（kN*）解析：选B.nN*且为奇数，由假设n2k1（kN*）时成立推证出n2k1（kN*）时成立，就完成了归纳递推.4.用数学归纳法证明不等式n时，从nk到nk1不等式左边增添的项数是（）A.k B.2k1C.2k D.2k1解析：选C.当nk时，不等式左边为，共有2k1项；当nk1时，不等式左边为，共有2k11项，所以增添的项数为2k12k2k.5.对于不等式 n1（nN*），某同学应用数学归纳法的证明过程如下：（1）当n1时， 11，不等式成立.（2）假设当nk（kN*）时，不等式成立，即 k1.那么当nk1时，（k1）1，所以当nk1时，不等式也成立.根据（1）和（2），可知对于任何nN*，不等式均成立.则上述证法（）A.过程全部正确B.n1验得不正确C.归纳假设不正确D.从nk到nk1的证明过程不正确解析：选D.此同学从nk到nk1的证明过程中没有应用归纳假设.6.用数学归纳法证明“设f（n）1，则nf（1）f（2）f（n1）nf（n）（nN*，n2）”时，第一步要证的式子是.解析：因为n2，所以n02.观察等式左边最后一项，将n02代入等式，可得2f（1）2f（2）.答案：2f（1）2f（2）7.用数学归纳法证明.假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是.解析：观察不等式左边的分母可知，由nk到nk1左边多出了这一项.答案：8.对任意nN*，34n2a2n1都能被14整除，则最小的自然数a.解析：当n1时，36a3能被14整除的数为a3或5；当a3且n2时，31035不能被14整除，故a5.答案：59.证明：1（nN*）.证明：当n1时，左边1，右边，等式成立.假设当nk（kN*且k1）时等式成立.即1.则当nk1时，左边1，所以当nk1时等式也成立，由知，对一切nN*等式都成立.10.已知数列an中，a15，Sn1an（n2且nN*）.（1）求a2，a3，a4并由此猜想an的表达式；（2）用数学归纳法证明an的通项公式.解：（1）a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a320.猜想：an52n2（n2，nN*）（2）证明：当n2时，a252225成立.假设当nk（k2且kN*）时猜想成立，即ak52k2，则nk1时，ak1Ska1a2ak551052k2552k1.故当nk1时，猜想也成立.由可知，对n2且nN*，都有an52n2.于是数列an的通项公式为anB能力提升11.已知123332433n3n13n（nab）对一切nN*都成立，那么a，b的值为（）A.a，b B.abC.a0，b D.a，b解析：选A.法一：特值验证法，将各选项中a，b的值代入原式，令n1，2验证，易知选A.法二：因为123332433n3n13n（nab）对一切nN*都成立，所以当n1，2时有即解得12.用数学归纳法证明“当nN*时，求证：12222325n1是31的倍数”时，当n1时，原式为，从nk到nk1时需增添的项是.解析：当n1时，原式应加到251124，所以原式为12222324，从nk到nk1时需添25k25k125（k1）1.答案：1222232425k25k125k225k325k413.平面内有n（n2，nN*）条直线，其中任何两条均不平行，任何三条均不共点，证明：交点的个数f（n）.证明：（1）当n2时，两条直线有一个交点，f（2）1，命题成立.（2）假设当nk（k2，kN*）时，命题成立，即f（k）.那么当nk1时，第k1条直线与前k条直线均有一个交点，即新增k个交点，所以f（k1）f（k）kk，即当nk1时命题也成立.根据（1）和（2），可知命题对任何n2，nN*成立.14.（选做题）若不等式对一切正整数n都成立.（1）猜想正整数a的最大值；（2）用数学归纳法证明你的猜想.解：（1）当n1时，即，所以a26，而a是正整数