河北省石家庄市第二实验中学高中数学 方程的根与函数的零点课件2 新人教A版必修1.pptVIP

3 1 1方程的根与函数的零点 1 一元一次函数y ax b a 0 函数图像是 2 一元二次函数y ax2 bx c a 0 当a 0时图象开口 当a 0时图象开口 其顶点坐标为 对称轴为直线 向上 向下 一条直线 准备知识 1 作一元一次函数y 2x 7的图象 它的对应值表与图象如下 由对应值表与图像可以知道 当x 3 5时 y 0 即2x 7 0 当x3 5时 y 0 即2x 7 0 不等式2x 7 0的解即为 不等式2x 7 0的解即为 x x 3 5 x x 3 5 一元一次方程 一元一次不等式与一次函数的关系 2 通过以上分析 得出以下结论 1 图象与x轴交点的坐标为 该坐标与方程x2 x 6 0的解有什么关系 2 当x取 时 y 0 当x取 时 y 0 当x取 时 y 0 交点的横坐标即为方程的根 2 3 y 0 y 0 y x o 2 0 3 0 x 2或3 x3 2 x 3 y x2 x 6 作函数y x2 x 6的图象 它的对应值表与图像如下 一元二次方程 一元二次不等式与二次函数的关系 3 由图象写出不等式x2 x 6 0的解集为 不等式x2 x 6 0的解集为 x x3 x 2 x 3 2 3 y 0 y 0 y x o y x2 x 6 一 引入 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根与二次函数y ax2 bx c a 0 的图象有什么关系 1 方程x2 2x 3 0与函数y x2 2x 3 2 方程x2 2x 1 0与函数y x2 2x 1 3 方程x2 2x 3 0与函数y x2 2x 3 几何画板 容易知道 方程x2 2x 3 0有两个实数根x1 1 x2 3 函数y x2 2x 3的图象与x轴有两个交点 1 0 3 0 这样 方程x2 2x 3 0的两个实数根就是函数y x2 2x 3的图象与轴的交点的横坐标 方程x2 2x 3 0无实数根 函数y x2 2x 3的图象与x轴没有交点 x1 x2 b2 4ac 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象 方程ax2 bx c 0 a 0 的根 x1 x2 0 0 0 两个不等实根 两个零点 两个相等实根 无实根 一个零点 函数y ax2 bx c a 0 的零点 无零点 二次函数的零点个数与相应二次方程的实根个数的关系 设判别式 b2 4ac 我们有 1 当 0时 一元二次方程有两个不等的实数根x1 x2 相应的二次函数的图象与x轴有两个交点 x1 0 x2 0 2 当 0时 一元二次方程有两个相等实数根x1 x2 相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点 x1 0 3 当 0时 一元二次方程没有实数根 相应的二次函数的图象与x轴没有的交点 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 1 函数的零点 对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 zeropoint 注意 并不是所有的函数都有零点 例如函数y 2 y x2 1不存在零点 2 方程的根与函数的零点的关系 即函数y f x 的零点就是方程f x 0的实数根 也就是函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 3 函数零点的存在性的判定方法 a b 例1求证 一元二次方程2x2 3x 7 0有两个不相等的实数根 证明 因为 32 4 2 7 65 0 所以方程2x2 3x 7 0有两个不等实根 证明 设f x 2x2 3x 7 因为函数的图象是一条开口向上的抛物线 且f 0 2 02 3 0 7 7 0 所以函数f x 的图象与x轴有两个不同的交点 即方程2x2 3x 7 0有两个不相等的实数根 证法 一 判别式法 证法 二 函数零点的存在性的判定方法 例2判断方程 x 2 x 5 1有两个相异的实数解 且一个大于5 一个小于2 解 考虑函数f x x 2 x 5 1 f 5 1 f 2 1 又因为f x 的图象是开口向上的抛物线 所以抛物线与横轴在 5 内有一个交点 在 2 内也有一个交点 所以方程 x 2 x 5 1有两个相异的实数解 且一个大于5 一个小于2 点击进入几何画板 例3已知函数f x 3x x2 问 方程f x 0在区间 1 0 内有没有实数解 解 因为f 1 3 1 1 2 0 函数f x 3x x2的图象是连续曲线 所以函数f x 在区间 1 0 内有零点 即方程f x 在区间 1 0 内有实数解 点击进入几何画板 例4求函数f x lnx 2x 6的零点个数 解 用计算器或计算机作出x f x 的对