高中数学 1.5.1平行关系的判断课件 北师大版必修2 .ppt

1 用判定定理证明线面平行的步骤 直线与平面平行的判定 2 线面平行的判定定理在使用时三个条件缺一不可 1 直线a不在平面 内 即a 2 直线b在平面 内 即b 3 两条直线a b平行 即a b 要注意线面平行关系不具有传递性 即如果a b a 那么b与 不一定平行 实际上 此时有b 和b 两种情况 例1 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为棱bc c1d1的中点 求证 ef 平面bb1d1d 审题指导 在平面bb1d1d内找到一条直线与直线ef平行是证明本题的关键 根据图形中直线与平面的位置关系 可考虑用平行四边形的性质作辅助线证明 规范解答 连接ac交bd于点o 连接oe od1 则oe dc dc d1c1 dc d1c1 f为d1c1的中点 oe d1f oe d1f 四边形d1feo为平行四边形 ef d1o 又 ef 平面bb1d1d d1o 平面bb1d1d ef 平面bb1d1d 变式训练 如图 p是平行四边形abcd所在平面外一点 q是pa的中点 试判断pc与平面bdq的关系 并证明 解析 pc 平面bdq 证明如下 连接ac 交bd于点o 连接oq 四边形abcd是平行四边形 o为ac的中点 又 q是pa的中点 oq pc 又 pc 平面bdq oq 平面bdq pc 平面bdq 误区警示 解答本题的过程中易漏掉条件pc 平面bdq及oq 平面bdq 在利用线面平行的判定定理证明线面平行时 定理中的三个条件缺一不可 例 如图 四边形abcd adef都是正方形 m bd n ae 且bm an 求证 mn 平面ced 审题指导 要证mn 平面ced 就要在平面ced内找一条直线与直线mn平行 可以用以下两个办法 1 连接am并延长与cd相交 在三角形中寻找线线平行 2 分别过点m n作ad的平行线 利用平行四边形的性质寻找线线平行 规范解答 方法一 如图 1 连接am并延长交cd于点g 连接ge 因为ab cd 所以所以即 又因为bd ae且an bm 所以所以mn ge 又ge 平面ced mn 平面ced 所以mn 平面ced 方法二 如图 2 过点m在平面abcd中作ms ad交cd于点s 过点n在平面adef中作nt ad交de于点t 连接st 因为ms ad ad bc 所以ms bc 所以因为bm an bd ae 所以bd bm ae an 即dm en 所以又因为nt ad 所以所以因为ad bc 所以ms nt 又因为ms ad nt ad 所以ms nt 所以四边形mstn为平行四边形 所以mn st 又因为mn 平面ced st 平面ced 所以mn 平面ced 变式备选 如图所示 三棱柱abc a1b1c1中 e是ac的中点 求证 ab1 平面bec1 证明 连接b1c交bc1于o点 则o为b1c的中点 连接eo 平面ab1c 平面bec1 eo 在 ab1c中 eo为 ab1c的中位线 ab1 eo 又 ab1 平面bec1 eo 平面bec1 ab1 平面bec1 1 对面面平行判定定理的理解 1 本质 证面面平行证线面平行 2 核心问题 线不在多 两条就行 也就是说要求一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行 不是两条平行直线 也不是无数条直线 平面与平面平行的判定 2 面面平行的其他证法 1 一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线 那么这两个平面平行 2 如果两个平面同时平行于第三个平面 那么这两个平面平行 例2 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f m n分别是ab cc1 aa1 c1d1的中点 求证 平面cem 平面bfn 审题指导 由题意 可知平面cem和平面bfn与正方体的交线没有完全画出 易证me nf 进一步可得me 平面bfn 因此 解答本题的关键是将平面bfn与正方体的交线画出 并证明ec 平面bfn 规范解答 如图 取a1b1的中点g 连接ge a1n a1b cd1 gc1由题意 得nf cd1 又cd1 a1b nf a1b a1 n f b共面又m e分别为aa1 ab的中点 me a1b me nf又me 平面a1bfn nf 平面a1bfn me 平面a1bfn 又ge cc1且ge cc1 四边形cc1ge是平行四边形 ec c1g 又n g分别为c1d1 a1b1的中点 nc1a1g 四边形a1gc1n是平行四边形 a1n c1g ec a1nec 平面a1bfn a1n 平面a1bfn ec 平面a1bfn 又ec me e 平面a1bfn 平面cem即平面cem 平面bfn 变式训练 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f g分别是cb cd cc1的中点 求证 平面ab1d1 平面efg 解题提示 解答本题可利用正方体的结构特征和平行四边形的性质证明ef 平面ab1d1 eg 平面ab1d1 证明 如图 连接bd e f分别为bc cd的中点 ef bd 又bdb1d1 ef b1d1 又 ef 平面ab1d1 b1d1 平面ab1d1 ef 平面ab1d1 同理可得eg 平面ab1d1 又 ef eg e ef eg 平面efg 平面efg 平面ab1d1 1 对探索性问题的认识 探索性问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论 或由问题的结论去追溯相应的条件 要求在解题之前必须透过问题的表象去寻找 去发现规律性的东西 此类问题增加了许多可变的因素 思维指向不明显 解题时往往难以下手 探索性问题 2 探索性问题主要有以下几类 1 探索条件型问题 从给定的问题结论出发 追溯结论成立的条件 2 探索结论型问题 从给定的题设条件出发 探求相关的结论 3 探索存在型问题 从假设相关结论存在出发 从而肯定或否定这种结论存在性 4 探索综合型问题 从变更题设条件或问题的结论的某个部分出发 探究问题的相应变化 例3 2010 湖南高考改编 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e是棱dd1的中点 在棱c1d1上是否存在一点f 使b1f 平面a1be 证明你的结论 审题指导 本题属于探索存在型问题 可以先假设在棱c1d1上存在一点f 使b1f 平面a1be 在此条件下根据线面平行的判定定理确定b1f与平面a1be中哪条直线平行 进一步确定点f的位置 规范解答 在棱c1d1上存在点f 使b1f 平面a1be 分别取c1d1和cd的中点f g 连接eg bg cd1 fg b1f 因a1d1 b1c1 bc 且a1d1 bc 所以四边形a1bcd1是平行四边形 因此d1c a1b 又e g分别为d1d cd的中点 所以eg d1c 从而eg a1b 这说明a1 b g e共面 所以bg 平面a1be 因四边形c1cdd1与b1bcc1都为正方形 f g分别为c1d1和cd的中点 所以fg c1c b1b 且fg c1c b1b 因此四边形b1bgf是平行四边形 所以b1f bg 而b1f 平面a1be bg 平面a1be 故b1f 平面a1be 变式训练 如图 在四棱锥p abcd中 过bd且与pa平行的截面是否存在 这样的截面有几个 应如何作出 解题提示 解答本题的关键是选择恰当的平面 过恰当的点作直线pa的平行线 解析 过bd有且只有一个与pa平行的截面 画法 1 连接ac交bd于点o 2 在 pac中 过点o作oe pa 交pc于点e 3 连接be de bde即为所求作截面 如图所示 由画法中点e的唯一性知这样的截面是唯一的 典例 12分 已知在 abc中 d e分别为ac ab的中点 沿de将 ade折起 m是pb的中点 求证 me 平面pcd 审题指导 由题意得de bc且在折叠后仍然成立 可以利用这一信息 在 pbc中过pb的中点m作出bc的平行线 构成平行四边形 在平面pcd中找到与me平行的直线 规范解答 过m作mf bc 交pc于点f 连接df 2分又 m为pb的中点 f为cp的中点 4分又 d e分别为ac ab的中点 de bc且 6分 de mf且de mf 四边形demf是平行四边形 8分 me fd 10分又 me平面pcd fd 平面pcd me 平面pcd 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 如图所示 已知四边形abcd是正方形 四边形acef是矩形 ab 2 af 1 m是线段ef的中点 求证 am 平面bde 证明 记ac与bd的交点为o 连接oe o m分别是ac ef的中点 四边形acef是矩形 oa em且oa em 四边形aoem是平行四边形 am oe oe 平面bde am 平面bde am 平面bde 1 能保证直线a与平面 平行的条件是 a a b a b b b a b c b c a c且a b d b a a b a c b d b 且ac bd 解析 选a 根据线面平行的判定定理可知a正确 对于b c都有a 的可能 对于d有可能a b在平面 的异侧 2 a b a b 下列说法正确的是 a 若a与b相交 则 与 相交 b 若a与b相交 则 c 若a b 则 与 相交 d 若a b 则 解析 选b 根据面面平行的判定定理可知b正确 3 正六棱柱的底面和侧面中互相平行的面有 a 1对 b 2对 c 3对 d 4对 解析 选d 正六棱柱中除了两个底面平行外 侧面中有3对互相平行的平面 4 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e是ab的中点 则和平面c1d1e平行的棱为 解析 在正方体abcd a1b1c1d1中 因为cd c1d1且cd 平面c1d1e 所以cd 平面c1d1e 同理可得a1b1 平面c1d1e 答案 cd和a1b1 5 如图 在长方体abcd a b c d 中 1 与直线cd平行的平面是 2 与直线cc 平行的平面是 3 与直线cb平行的平面是 4 与直线ac平行的平面是 5 与直线ad 平行的平面是 6 与直线ab 平行的平面是 解析 利用长方体的性质和线面平行的判定定理解答 答案 1 平面a c 平面a b 2 平面a b 平面a d 3 平面a d 平面a c 4 平面a c 5 平面bc 6 平面c d 6 如图 在几何体abc a b c 中 1 2 180 3 4 180 求证 平面abc 平面a b c 证明 在四边形abb a 中 1 2 180 a b ab 又 a b 平面abc ab 平面abc a b 平面abc 同理可证b c 平面abc 又 a b b c b 平面abc 平面a b c 一 选择题 每题4分 共16分 1 2011 浙江高考 若直线l不平行于平面 且l 则 a 内的所有直线与l异面 b 内不存在与l平行的直线 c 内存在唯一的直线与l平行 d 内的直线与l都相交 解析 选b 由题意可得直线l与平面 相交 如图 对a 由于 内的所有不过交点的直线与l异面 故a错误 对b 如果 内存在与l平行的直线 则直线l与 平行 故直线不存在 故b正确 对c 可得直线l与 平行 与题设不符 故c错误 对d 内的所有不过交点的直线与l异面 故d错误 2 平面 与平面 平行的条件可以是 a 内有无穷多条直线都与 平行 b 直线a a 且直线a不在 与 内 c 直线a 直线b 且b a d 内的任何直线都与 平行 解析 选d 对于a项 若 与 相交时 内也有无数条直线都与交线平行 即 内有无数条直线与 平行 故a错 对于b项 若a平行于 与 的交线时 也能满足 但此时 与 相交 故b错 对于c项 若a和b都与 与 的交线平行时 也能满足 但此时 与 相交 故c错 对于d项 内的任何直线都与 平行 故在一个平面内存在两条相交直线平行于另一个平面 故d正确 3 在正方体abcd a1b1c1d1中 下列四对截面中彼此平行的一对截面是 a a1bc1与acd1 b bdc1与b1d1c c b1d1d与bda1 d adc1与ad1c 解析 选a 如图所示 平面a1bc1与平面acd1平行 4 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 e是ab的中点 点f在bc上 则bf等于多少时 ef 平面a1c1d 解析 选b 当点f是bc的中点时 即有ef 平面a1c1d ef ac ac a1c1 ef a1c1 又 ef 平面a1c1d a1c1 平面a1c1d ef 平面a1c1d 二 填空题 每题4分 共8分 5 如图 在空间四边形abcd中 m ab n ad 若则直线mn与平面bdc的位置关系是 解析 在平面abd内 mn bd 又mn 平面bcd bd 平面bcd mn 平面bcd 答案 平行 6 若直线a b相交 且a 则b与平面 的位置关系是 解析 b与平面 相交或平行答案 相交或平行 三 解答题 每题8分 共16分 7 如图所示 已知a1b1c1 abc是正三棱柱 e e1分别是ac a1c1的中点 求证 平面ab1e1 平面bec1 解题提示 先证明四边形bb1e1e aec1e1是平行四边形 再证明be 平面ab1e1 c1e 平面ab1e1 最后用面面平行的判定定理证明平面ab1e1 平面bec1 证明 连接ee1 四边形aa1c1c是矩形且点e e1分别是ac a1c1的中点 ec e1c1且ec e1c1 四边形ecc1e1是平行四边形 ee1 cc1且ee1 cc1 又bb1 cc1且bb1 cc1 四边形bb1e1e是平行四边形 be b1e1 又be 平面ab1e1 b1e1 平面ab1e1 be 平面ab1e1 四边形aec1e1是平行四边形 c1e ae1 又c1e 平面ab1e1 ae1 平面ab1e1