河北省石家庄市第二实验中学高中数学 2.2等差数列课件 新人教A版必修1 .ppt

2 2等差数列 第二章数列 第一课时 一 数列的定义 通项公式 按一定次序排成的一列数叫做数列 一般写成a1 a2 a3 an 如果数列 an 的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 二 数列的简单表示 三 给出数列的方法 复习 某此系统抽样所抽取的样本号分别是 7 19 31 43 55 67 79 91 103 115 某长跑运动员7天里每天的训练量 单位 m 是 7500 8000 8500 9000 10000 10500 观察以下数列 引入 这三个数列有何共同特征 从第2项起 每一项与其前一项之差等于同一个常数 请尝试着给具有上述特征的特殊数列用数学的语言下定义 交流 1 等差数列的定义如果一个数列从第2项起 每一项与其前一项的差等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母d表示 1 指出定义中的关键词 从第2项起 等于同一个常数 由定义得等差数列的递推公式 说明 此公式是判断 证明一个数列是否为等差数列的主要依据 每一项与其前一项的差 探究 练习 判断下列数列中哪些是等差数列 哪些不是 如果是 写出首项a1和公差d 如果不是 说明理由 2 等差数列的通项公式 根据等差数列的定义得到 方法一 不完全归纳法 2 等差数列的通项公式 将所有等式相加得 方法二累加法 例1 求等差数列8 5 2 的第20项 401是不是等差数列 5 9 13 的项 如果是 是第几项 解 由a1 8 d 5 8 3 n 20 得a20 8 20 1 3 49 由a1 5 d 9 5 4 得到这个数列的通项公式为an 5 4 n 1 由题意得 401 5 4 n 1 解这个关于n的方程 得n 100 即 401是这个数列的第100项 例2在等差数列 an 中 已知a5 10 a12 31 求首项a1与公差d 这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组 解之得 小结 已知数列中任意两项 可求出首项和公差 主要是联立二元一次方程组 这种题型有简便方法吗 请同学们思考并做以下练习 1 已知等差数列的首项与公差 可求得其任何一项 2 在等差数列的通项公式中 a1 d n an四个量中知三求一 结论 跟踪训练 3 等差中项 如果a a b成等差数列 那么a叫做a与b的等差中项 由等差中项的定义可知 a a b满足关系 意义 任意两个数都有等差中项 并且这个等差中项是唯一的 当a b时 a a b 例3 1 在等差数列 an 中 是否有 2 在数列 an 中 如果对于任意的正整数n n 2 都有那么数列 an 一定是等差数列吗 4 等差数列通项公式的推广 解析 由等差数列的通项公式得 思考 已知等差数列 an 中 a3 9 a9 3 求a12 a3n 解法一 依题意得 a1 2d 9a1 8d 3解之得a1 11d 1 这个数列的通项公式是 an 11 n 1 12 n故a12 0 a3n 12 3n 解法二 课本p40 a 1 3 b 2 作业 2 2等差数列 第二章数列 第二课时 2 等差数列的通项公式 1 等差数列的定义 3 等差数列的中项 复习 通项公式的证明及推广 100与180 例4 例5已知三个数成等差数列 它们的和是12 积是48 求这三个数 解 设三个数为a d a a d 则 解之得 故所求三数依次为2 4 6或6 4 2 例6如图 三个正方形的边ab bc cd的长组成等差数列 且ad 21cm 这三个正方形的面积之和是179cm2 1 求ab bc cd的长 2 以ab bc cd的长为等差数列的前三项 以第9项为边长的正方形的面积是多少 3 7 11 a9 35 s9 1225 5 等差数列的通项及图象特征 解析 思考 结论 首项是1 公差是2的无穷等差数列的通项公式为 an 2n 1 相应的图象是直线y 2x 1上均匀排开的无穷多个孤立的点 如右图 例如 5 等差数列的性质 已知数列为等差数列 那么有 性质1 若成等差数列 则成等差数列 证明 根据等差数列的定义 即成等差数列 如成等差数列 成等差数列 推广 在等差数列有规律地取出若干项 所得新数列仍然为等差数列 如奇数项 项数是7的倍数的项 性质2 设若则 性质3 设c b为常数 若数列为等差数列 则数列及为等差数列 性质4 设p q为常数 若数列 均为等差数列 则数列为等差数列 例8 1 已知等差数列 an 中 a3 a15 30 求a9 a7 a11 解 1 a9是a3和a15的等差中项 2 已知等差数列 an 中 a3 a4 a5 a6 a7 150 求a2 a8的值 7 11 3 15 2 3 7 4 6 5 5 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 150 即a5 30 故a2 a8 2a5 60 a7 a11 a3 a15 30 a3 a7 a4 a6 2a5 1 等差数列 an 中 a3 a9 a15 a21