高中数学 1.5.2.1直线与平面平行的性质课件 北师大版必修2 .ppt

如何理解直线与平面平行的性质定理 线面平行性质定理的简单应用 应用线面平行性质定理时 必须 找 或 作 辅助平面与已知平面相交 这是空间问题向平面问题转化的桥梁 例1 已知直线a 平面 直线a 平面 平面 平面 b 求证 a b 审题指导 利用公理4 寻求一条直线分别与a b都平行 从而达到证明a b的目的 这可以借助已知条件a a 来实现 规范解答 经过a作两个平面 和 与平面 和 分别相交于直线c和d a 平面 a 平面 a c a d c d 又 d 平面 c 平面 c 平面 又c 平面 平面 平面 b c b 又 a c a b 变式训练 已知直线a b 平面 且a b a a b都在平面 外 求证 b 解题提示 根据a 可利用线面平行的性质过a作平面与 相交证明线线平行 再用公理4证明b与平面 内的直线平行 得到b 证明 过a作平面 使它与平面 相交 交线为c a a c a c 又 a b b c 又 c b b 对线面平行的判定定理与性质定理的理解 线面平行判定定理和性质定理的综合应用 线面平行的性质定理是证明线线平行的一种新的方法 应在解题过程中建立应用新知识的意识 例2 如图 在空间四边形abcd中 e f g h分别为ab bc cd da上的点 且四边形efgh为平行四边形 试求证 ac 平面efgh bd 平面efgh 审题指导 要证ac 平面efgh 只要证ac ef 而由题目条件ef gh 可证ef 平面acd 进而可证ac ef 规范解答 四边形efgh为平行四边形 ef gh 又ef 平面acd gh 平面acd ef 平面acd 又 ef 平面abc 平面abc 平面acd ac ac ef 又ac 平面efgh ef 平面efgh ac 平面efgh 同理可证bd 平面efgh 互动探究 将本例条件改为 在空间四边形abcd中 e f g h分别为ab bc cd da上的点 若ac 平面efgh bd 平面efgh 求证 四边形efgh为平行四边形 解题提示 由ac 平面efgh 应寻找过ac与平面efgh相交的平面 及其交线的位置 由此得到线线平行关系 同理分析条件bd 平面efgh 证明 ac 平面efgh ac 平面abc 平面abc 平面efgh ef ac ef ac 平面efgh ac 平面acd 平面acd 平面efgh gh ac gh ef gh 同理由bd 平面efgh可证eh fg 四边形efgh为平行四边形 例 已知如图所示 四边形abcd是平行四边形 点p是平面abcd外一点 m是pc的中点 在dm上取一点g 过g和ap作平面交平面bdm于gh 求证 ap gh 审题指导 解答本题的 入手点 是 作出ac的中点o 又由m是pc的中点推导出om pa 于是可得众多线面平行关系 此时结合结论ap gh 可思考如何得到与直线ap平行的平面 gh是哪两个平面的交线 利用线面平行的性质定理证明 规范解答 连接ac交bd于点o 连接mo 四边形abcd是平行四边形 o是ac的中点 又m是pc的中点 ap om 又ap 平面bmd om 平面bmd ap 平面bmd 又 ap 平面pahg 平面pahg 平面bmd gh ap gh 变式备选 如图 p为平行四边形abcd所在平面外一点 m n分别为ab pc的中点 平面pad 平面pbc 直线l 1 求证 bc l 2 试判断mn与平面pad是否平行 并证明你的结论 解题提示 1 根据线面平行的性质定理 要证线线平行 只要证线面平行 即证bc 平面pad 2 可连接cm 并延长与da延长线相交 用三角形中位线的性质在平面pad中找到与mn平行的直线 解析 1 在平行四边形abcd中 bc ad 且ad 平面pad bc 平面pad bc 平面pad 又 平面pad 平面pbc 直线l bc 平面pbc bc l 2 平行 证明如下 连接cm并延长交da的延长线于点q 连接pq m是ab的中点 qam cbm qm mc 即m是cq的中点 又 n是pc的中点 mn pq 又 pq 平面pad mn 平面pad mn 平面pad 典例 12分 如图所示 三棱柱abc a1b1c1中 d是bc边上一点 a1b 平面ac1d d1是b1c1的中点 求证 平面a1bd1 平面ac1d 审题指导 由a1b 平面ac1d思考过a1b有 或可作 哪些平面与平面ac1d相交 交线是什么 要证平面a1bd1 平面ac1d 思考如何在平面a1bd1内找两条相交直线与平面ac1d平行即可 规范解答 连接a1c交ac1于点e 连接ed 2分 四边形a1acc1是平行四边形 e是a1c的中点 4分 a1b 平面ac1d 平面a1bc 平面ac1d ed a1b ed 又e是a1c的中点 6分 d为bc的中点 8分又 d1是b1c1的中点 bd1 c1d a1d1 ad 10分又a1d1 bd1 d1 平面a1bd1 平面ac1d 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 如图 空间四边形abcd的对角线bd上的任意一点s e f分别在ad cd上 且ae ad cf cd be与as相交于点r bf与sc相交于点q 求证 rq ef 证明 ae ad cf cd ef ac 又 ef 平面asc ac 平面asc ef 平面asc 又ef 平面bef 平面bef 平面asc rq rq ef 1 已知a b 则直线a与直线b的位置关系是 a 平行 b 相交或异面 c 异面 d 平行或异面 解析 选d 由a 知a与 无公共点 又b 所以a与b无公共点 所以a与b平行或异面 2 对于直线a b和平面 给出下列说法 1 若a平行于平面 内的无数条直线 则a 2 若a b 且b 则a 3 若a 则a与平面 内的任意直线都不相交 4 若a与 不平行 则a与 内任一直线都不平行 其中正确说法的个数为 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 选a 对于 1 如图所示 a与平面 内的无数条直线平行 但是a 因此错误 对于 2 应该有a 或a 因此错误 对于 3 若a 则a与 无公共点 因此a与 内任一直线都无公共点 故 3 正确 对于 4 若a与 不平行 则a与 相交或a 当a 时 内有直线与a平行 故 4 错误 3 在梯形abcd中 ab cd ab 平面 cd 平面 则直线cd与平面 的位置关系是 a 平行 b 平行或异面 c 平行或相交 d 异面或相交 解析 选a 因为在梯形abcd中 ab cd ab 平面 cd 平面 所以cd 平面 4 如图所示 直线a 平面 点a 平面 并且直线a和点a位于平面 两侧 点b c d a ab ac ad分别交平面 于点e f g 若bd 4 cf 4 af 5 则eg 解析 由于点a不在直线a上 则a与a确定一个平面 eg a 平面 eg a 有答案 5 如图 cd ef ab ab 求证 cd ef 证明 ab ab cd ab cd 同理可证ab ef cd ef 一 选择题 每题4分 共16分 1 已知直线a b和平面 下列说法正确的是 a 若a b 则a b b 若a a 则 c 若a b a 则b 或b d 若b a与b不相交 则a 解析 选c 对于a 如图在正方体中a b 但a与b相交 故a错误 对于b 如图在正方体中a a 但是 与 相交 故b错误 对于c可由线面平行的性质知其正确 对于d如图可知其错误 2 已知下列叙述 1 一条直线和另一条直线平行 那么它就和经过另一条直线的任何平面平行 2 一条直线平行于一个平面 则这条直线与这个平面内的所有直线都没有公共点 因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行 3 若直线l上有无数个点不在平面 内 则l 4 若a b为异面直线 则过a且与b平行的平面有且只有一个 其中正确的个数是 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 选a 1 错误 一条直线和另一条直线平行 那么它就和经过另一条直线的平面平行或两条直线在同一平面内 2 错误 一条直线平行于一个平面 则这条直线与这个平面内的所有直线都没有公共点 但是这条直线与这个平面内的直线可能平行也可能异面 3 错误 若直线l上有无数个点不在平面 内 则l与平面 平行或相交 4 正确 如图所示 在a上任取一点a 过a作c b 由于a b为异面直线 所以a与c相交 因此a与c确定平面 且b 在a上再任取一点a 过a 作d b 可知c与d确定的平面与 重合 由此可知平面的唯一性 3 正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是aa1 cc1的中点 p是cc1上的动点 包括端点 过点e d p作正方体的截面 若截面为四边形 则p的轨迹是 a 线段c1f b 线段cf c 线段cf和一点c1 d 线段c1f和一点c 解析 选c 如图 de 平面bb1c1c 平面dep与平面bb1c1c的交线pm ed 连接em 易证mp ed 则m到达b1时仍可构成四边形 即p到f 而p在c1f之间 不满足要求 p到点c1仍可构成四边形 4 如图 四棱锥s abcd的所有的棱长都等于2 e是sa的中点 过c d e三点的平面与sb交于点f 则四边形defc的周长为 解题提示 先证明ef ab 再根据三角形中位线等知识求解 解析 选c ab bc cd ad 2 四边形abcd为菱形 cd ab 又cd 平面sab ab 平面sab cd 平面sab 又cd平面cdef 平面cdef 平面sab ef cd ef ef ab 又 e为sa的中点 又 sad和 sbc都是等边三角形 四边形defc的周长为 二 填空题 每题4分 共8分 5 2011 宁德高一检测 空间四边形abcd中 对角线ac bd 4 e是ab中点 过e与ac bd都平行的截面efgh分别与bc cd da交于f g h 则四边形efgh的周长为 解析 ac 平面efgh 平面abc 平面efgh ef ac 平面abc ac ef 同理可得gh ac ef gh 同理可得eh fg 四边形efgh为平行四边形 又e为ab中点 ef ac efac 同理 四边形efgh的周长为 ef eh 2 2 2 2 8 答案 8 6 2011 福建高考 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 ab 2 点e为ad的中点 点f在cd上 若ef 平面ab1c 则线段ef的长度等于 解析 ef 平面ab1c ef 平面adc 平面adc 平面ab1c ac 得ef ac 又 e为ad的中点 f为cd的中点 即ef为 adc的中位线 又正方体的棱长为2 答案 三 解答题 每题8分 共16分 7 如图所示 e f g h为空间四边形abcd的边ab bc cd da上的点 且eh fg 求证 eh bd 证明 eh fg eh 平面bcd fg 平面bcd eh 平面bcd 又 eh 平面abd 平面abd 平面bcd bd eh bd 方法技巧 立体几何证明题的基本思路立体几何证明题往往从以下三个方面思考 1 从题目的结论出发去选择相应的证明方法并进行 逆向思维 2 当逆推出现困难时 可根据已知条件联想或推导出有关的性质 使题设和结论逐步靠近 3 及时进行条件与结论之间的联系和沟通 找到证明思路 这种 两头凑 的方法其实是解决数学问题的常用思维方法 8 2010 辽宁高考改编 如图 在棱柱abc a1b1c1中 d是a1c1上的点 且a1b 平面b1cd 求a1d dc1的值 解析 设bc1交b1c于点e 连接de 则平面a1bc1 平面b1cd de a1b 平面b1cd a1b de 又e是bc1的中点 d为a1c1的中点 即a1d dc1 1 挑战能力 10分 如图所示 一平面与空间四边形abcd的对角线ac bd都平行 且交空间四边形的边ab bc cd da分别于e f g h 1 求证 efgh为平行四边形 2 若ac bd 四边形efgh能否为菱形 3 在什么情况下