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文档简介
第三章 11 1 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 考点一 考点二 考点三 1 1导数与函数的单调性 问题2 试判断所求导数的符号 提示 1 3 5 的导数为正 2 4 6 的导数为负 问题3 试判断上面六个函数的单调性 提示 1 3 5 在定义域上是增加的 2 4 6 在定义域上是减少的 问题4 试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系 提示 当f x 0时 f x 为增加的 当f x 0时 f x 为减少的 函数在区间 a b 上的单调性与其导函数的符号有如下关系 增加减少常数函数 1 若在某个区间上有有限个 或无限个不连续 点使f x 0 而其余点恒有f x 0 或f x 0 或f x 0 是函数y f x 在该区间上为增加 或减少 的充分不必要条件 而不是充要条件 思路点拨 要证函数f x 在 0 2 上为增加的 只要证f x 0在 0 2 上恒成立即可 一点通 利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性 实质上就是判断或证明不等式f x 0 f x 0 在给定区间上恒成立 一般步骤为 求导f x 判断f x 的符号 给出单调性结论 1 下列函数中 在 0 上为增加的是 a y sinxb y x exc y x3 xd y lnx x 答案 b 3 判断y ax3 1 a r 在r上的单调性 解 y 3ax2 又x2 0 1 当a 0时 y 0 函数在r上单调递增 2 当a 0时 y 0 函数在r上单调递减 3 当a 0时 y 0 函数在r上不具备单调性 思路点拨 先确定函数的定义域 再对函数求导 然后求解不等式f x 0 f x 0 并与定义域求交集从而得到相应的单调区间 一点通 利用导数求函数f x 的单调区间 实质上是转化为解不等式f x 0或f x 0 但要特别注意的是 不能忽略函数的定义域 应首先求出函数的定义域 在定义域内解不等式 另外 如果函数的单调区间不止一个时 应用 及 和 等连接 而不能写成并集的形式 4 函数f x 的导函数y f x 的图像如右图 则函数f x 的递增区间为 解析 当 1 x 0或x 2时f x 0 可得递增区间为 1 0 和 2 答案 1 0 和 2 答案 b 例3 若函数f x ax3 x2 x 5在r上是增加的 求实数a的取值范围 一点通 已知函数y f x x a b 的单调性 求参数的取值范围的步骤 1 求导数y f x 2 转化为f x 0或f x 0在x a b 上恒成立问题 3 由不等式恒成立求参数范围 4 验证等号是否成立 7 若函数f x x3 x2 mx 1是r上的单调函数 则m的取值范围是 1 在利用导数来讨论函数的单调性时 首先要确定函数的定义域 解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来确定函数的单调区间 2 已知函数的单调性求参数的范围 这类问
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