高中数学 第一部分 第二章 §1 1.2 余弦定理课件 北师大版必修5.ppt

1 2余弦定理 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 1正弦定理与余弦定理 考点一 考点三 4 考点二 第二章解三角形 1正弦定理与余弦定理 1 2余弦定理 如图 在 abc中 设 a b c问题1 如果c 90 如何求ab边的长 提示 利用勾股定理求ab的边长 问题2 当c 90 时 如何用向量的数量积表示ab边的长 提示 c 2 c c a b a b a2 2a b b2 a2 b2 2 a b cosc c2 a2 b2 2abcosc 问题3 能否用同样的方法求ab ac的长吗 结论是什么 提示 能 结论 a2 b2 c2 2bccosab2 a2 c2 2accosb 余弦定理 其他两边平方的和 这两边与它们夹角的余弦的积 b2 c2 2bccosa c2 a2 2cacosb a2 b2 2abcosc 1 余弦定理揭示了三角形的三边与一角的关系 也是解三角形的重要工具 2 当三角形的某一内角等于90 时 余弦定理就变成了勾股定理 所以勾股定理是余弦定理的特殊情况 余弦定理是勾股定理的推广 一点通 1 已知两边及夹角解三角形 方法有两种 方法一 利用余弦定理求出第三边 利用正弦定理求出一个角 利用三角形内角和定理求出第三个角 方法二 利用余弦定理求出第三边 利用余弦定理求出一个角 利用三角形内角和定理求出第三个角 2 已知两边及一边的对角解三角形 方法有两种 法一是利用余弦定理 列出关于a的一元二次方程 从而解出a 然后用正弦定理和三角形内角和定理解出角a c 法二是直接利用正弦定理求出角c 进而求角a及边a 答案 b 思路点拨 解答本题可由余弦定理求出角的余弦值 进而求得各角的值 一点通 已知三角形三边求角可先用余弦定理求解 再用正弦定理求解 用正弦定理求解时 要根据三边的大小确定角的大小 防止产生增解或漏解 答案 d 例3 12分 在 abc中 已知 a b c a b c 3ab 且2cosasinb sinc 试确定 abc的形状 思路点拨 充分运用正弦定理和余弦定理 可利用边的关系判断 也可转化为角的关系来判断 所以a b 6分 又因为 a b c a b c 3ab 所以 a b 2 c2 3ab 所以4b2 c2 3b2 所以b c 所以a b c 因此 abc为等边三角形 12分 法二 利用角的关系来判定 因为a b c 180 所以sinc sin a b 2分 又因为2cosasinb sinc 所以2cosasinb sinacosb cosasinb 所以sin a b 0 6分 因为a b均为三角形的内角 所以a b 一点通 1 判断三角形的形状 可以从考察三边的关系入手 即把条件中的 边角关系 利用正弦定理或余弦定理转化为 边边关系 进行判断 也可以从三个角的关系入手 即把条件转化为角与角的关系 结合内角和定理作出判断 2 判断三角形形状时要注意 等腰直角三角形 与 等腰或直角三角形 的区别 7 若在 abc中 acos b c bcos a c 则 abc一定是 a 等边三角形b 等腰三角形c 等腰或直角三角形d 直角三角形 答案 c 答案 a 1 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律 也是解三角形的重要工具 1 在余弦定理中 每一个等式均含有四个量 利用方程的观点 可以知三求一 2 余弦定理也为求三角形的有关量 如面积 外接圆 内切圆等 提供了工具 它可以用来判定三角形的形状 证明三角形中的有关等式 在一定程度上 它比正弦定理的应用更加广泛 2 根据余弦定理 可得以下结论 在 abc中 设a为最大角 若a2 b2 c2 则0 a 90 且三角形为锐角三角形 反之 若0 a 90 则a2 b2 c2 在 abc中 若a2 b2 c2 则三角形为直角三角形 则a 90 反之 若a 90 则a2 b2 c2 在 abc中 若a2 b2 c2 则90 a 180 则三角形为钝角三角形 反之 若90 a 180 则a2 b2 c2 3 判断三角形的形状 应围绕三角形的边角关系进行思考 依据已知条件中的边角关系判断时 主要有如下两条途径 1 利用正 余弦定理把已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 2 利用正