高中数学 1.3.3第1课时 函数的最大（小）值与导数课件 新人教A版选修22.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教a版 选修2 2 导数及其应用 第一章 1 3导数在研究函数中的应用 第一章 1 3 3函数的最大 小 值与导数 第1课时函数的最大 小 值与导数 1 理解函数最值的概念及闭区间上函数存在最值的定理 2 掌握用导数求闭区间上函数最大值和最小值的方法 重点 函数在闭区间上最值的概念与求法 难点 极值与最值的区别与联系 求最值的方法 1 如果函数f x 在r上是单调递增 或递减 的函数 是否存在这样的实数a 使得对一切x r 都有f x f a 或f x f a 2 如果f x 的图象是一条连续不断的曲线 定义域为 a b 当f x 单调递增 或单调递减 时 是否存在x0 a b 使对一切x a b 都有f x f x0 当f x 不是单调函数时 是否存在x0 a b 使对一切x a b 都有f x f x0 函数最值的概念 思维导航 1 下图中的函数f x 的最大值为 最小值为 而极大值为 极小值为 新知导学 f g f b f d f g f c f e 2 由上图还可以看出 假设函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是一条连续不断的曲线 该函数在 a b 上一定能够取得 与 若该函数在 a b 内是 该函数的最值必在极值点或区间端点取得 但在开区间 a b 内可导的函数f x 有最大值与最小值 最大值 最小值 可导的 不一定 1 2014 营口三中期中 若a 0 b 0 且函数f x 4x3 ax2 2bx在x 1处有极值 则a b等于 a 2b 3c 6d 9 答案 c 解析 f x 12x2 2ax 2b 由条件知x 1是方程f x 0的实数根 a b 6 牛刀小试 2 若函数f x x4 2x2 3 则f x a 最大值为4 最小值为 4b 最大值为4 无最小值c 最小值为 4 无最大值d 既无最大值 也无最小值 答案 b 解析 f x 4x3 4x 由f x 0得x 1或x 0 易知f 1 f 1 4为极大值也是最大值 故应选b 答案 a 解析 f x x2 2bx c 由条件知 1 3是方程f x 0的两个实根 b 2 c 3 f 1 8 故选a 4 2015 龙海市高二期中 已知函数f x x3 12x 8在区间 3 3 上的最大值与最小值分别为m m 则m m 答案 32 解析 令f x 3x2 12 0 得x 2或x 2 列表得 5 已知f x x2 mx 1在区间 2 1 上的最大值就是函数f x 的极大值 则m的取值范围是 答案 4 2 2014 2015 郑州登封市高二期中 函数f x x3 3x 1 x 3 2 则f x 的最大值与最小值的差为 a 20b 18c 4d 0 答案 a 分析 首先求f x 在 3 2 上的极值 然后计算f 1 与f 1 通过比较找出最大值与最小值 即可获解 利用导数求函数的最大值与最小值 解析 f x x3 3x 1 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 当x 1 和 1 时 f x 0 当x 1 1 时 f x 0 f x 在 1 和 1 上是增函数 在 1 1 上是减函数 而f 3 27 9 1 19 f 1 1 f 1 3 f 2 8 6 1 1 fmax x 1 fmin x 19 故f x 的最大值与最小值的差为20 故选a 方法规律总结 1 求可导函数y f x 在 a b 上的最大 小 值步骤如下 1 求f x 在开区间 a b 内所有极值点 2 计算函数f x 在极值点和端点的函数值 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 含参数的函数最值问题 设函数f x x3 ax2 a2x m a 0 1 求函数f x 的单调区间 2 若函数f x 在x 1 1 内没有极值点 求a的取值范围 3 若对任意的a 3 6 不等式f x 1在x 2 2 上恒成立 求m的取值范围 分析 1 求f x 的单调区间 可解不等式f x 0 f x 0 由于f x 表达式中含参数 故需注意是否需要分类讨论 2 f x 在x 1 1 内没有极值点的含义是f x 0在 1 1 内没有实数根 故f x 在 1 1 内单调 3 f x 1在 2 2 内恒成立 则f x 在 2 2 内的最大值 1 而f 2 f 2 16 4a2 0 f x max f 2 8 4a 2a2 m 又 f x 1在 2 2 上恒成立 8 4a 2a2 m 1 即m 9 4a 2a2 在a 3 6 上恒成立 9 4a 2a2的最小值为 87 m 87 方法规律总结 1 由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化 从而导致最值的变化 故含参数时 需注意是否分类讨论 2 1 当f x 的图象连续不断且在 a b 上单调时 其最大值 最小值在端点处取得 2 当图象连续不断的函数f x 在 a b 内只有一个极大 或极小 值 则可以断定f x 在该点处取到最大 或最小 值 这里 a b 也可以是无穷区间 3 已知函数最值求参数 可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值 通过比较它们的大小 判断出哪个是最大值 哪个是最小值 结合已知求出参数 进而使问题得以解决 与函数最值有关的综合问题 2014 2015 山东省菏泽市期中 已知函数f x ax3 bx c在x 2处取得极值为c 16 1 求a b的值 2 若f x 有极大值28 求f x 在 3 3 上的最小值 分析 求a b的值需建立a b的方程组求解 求f x 在 3 3 上的最值 需按照 用导数求函数最值 的一般步骤进行 f x 在x 2处取得极值c 16 应从以下三方面把握 一 f 2 c 16 二 f 2 0 三 c 16可能是极大值 也可能是极小值 需依据解题过程和条件判断 解答本题应先求f x 利用极值条件建立a b的方程组 解方程组求a b 从而得到f x 解析式 再解不等式f x 0 或f x 0 确定f x 的单调性 最后由极大值求c 再求f x 在 3 3 上的最小值 2 由 1 知f x x3 12x c f x 3x2 12 令f x 0 得x1 2 x2 2 当x 2 或x 2 时 f x 0 f x 在 2 和 2 上为增函数 当x 2 2 时 f x 0 f x 在 2 2 上为减函数 由此可知f x 在x1 2处取得极大值f 2 16 c f x 在x2 2处取得极小值f 2 c 16 由题设条件知16 c 28得c 12 此时f 3 9 c 21 f 3 9 c 3 f 2 c 16 4 因此f x 上 3 3 的最小值为f 2 4 方法规律总结 1 证明不等式 研究方程根的个数 两函数图象的交点个数 图象的分布范围等问题 导数和数形结合法是一种很有效的方法 经常通过分析函数的变化情况 结合图形分析求解 2 恒成立问题向最值转化也是一种常见题型 3 已知函数的最值求待定系数的值或参数的取值范围是函数最值应用的常见题型之一 由于参数会对函数的最值点有影响 所以解决这类问题常需要分类讨论 并结合不等式的知识进行求解 准确把握条件 辨析 1 正确 2 中错误的认为直线l与曲线c相切 则c上所有点都在直线l的同侧 从而导致解答错误 错因可能是受直线与二次曲线相切的迁移影响 没有准确地理解导数的几何意义