高中数学（自主初探+核心归纳+案例展示）第二章 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课件 新人教A版必修2.ppt

2 1 2空间中直线与直线之间的位置关系 一 空间中两条直线的位置关系 有且只有一个 没有 任何一平面内 没有 判断 正确的打 错误的打 1 空间中不相交的两条直线是异面直线 2 既不相交 又不平行的两条直线是异面直线 3 一条直线和两条平行直线的一条相交 那么它也和另一条相交 4 一个平面内的直线与这个平面外的直线一定异面 提示 1 错误 空间中不相交的两条直线是异面直线或平行直线 2 正确 因为空间中两条直线的位置关系只有相交 平行和异面三种 3 错误 一条直线和两条平行直线的一条相交 那么它和另一条相交或异面 4 错误 如图中的ad与ab ad与ac 答案 1 2 3 4 二 公理4和等角定理1 公理4 1 文字表述 的两条直线互相平行 2 符号表述 3 含义 揭示了空间平行线的 性 2 等角定理 1 研究对象 在空间中的两个角 2 条件 两边分别 3 结论 这两个角 平行于同一条直线 a b且b c a c 传递 对应平行 相等或互补 思考 平面内有些公理和定理推广到空间中也成立 如公理4和等角定理 那么 若两条直线都与第三条直线垂直 则这两条直线平行 推广到空间中是否成立 提示 此结论推广到空间中不成立 如长方体abcd a1b1c1d1中 a1d1 bb1与a1b1都垂直 但是a1d1与bb1不平行 三 异面直线所成的角 锐角 或直角 0 90 90 a b 思考 在两条异面直线所成的角的定义中 点o的选取是否会影响两条异面直线所成的角的大小 提示 不会 由定义知 点o选取位置不同时 得到的两条相交直线所成的锐角 或直角 的两条边是分别对应平行的 根据 等角定理 可知这些角必然相等 知识点拨 1 对异面直线的三点说明 1 异面直线和平行直线都没有公共点 区别是平行直线可以确定一个平面 而异面直线不同在任何一个平面内 2 不能把异面直线误解为 分别在不同平面内的两条直线为异面直线 如图 虽然有a b 即a b分别在两个不同的平面内 但是由于a b o 所以a与b不是异面直线 3 异面直线的画法 一个平面衬托画法 如图1 两个平面衬托画法 如图2 2 公理4的意义和作用 1 意义 揭示了空间中线线平行关系的传递性 2 作用 证明直线与直线平行 为引入异面直线所成角奠定理论依据 3 等角定理的意义和作用 1 意义 揭示了空间中两边分别对应平行的两个角的大小关系 2 作用 证明角相等 为引入异面直线所成的角奠定理论依据 4 对异面直线所成角的理解 1 两条异面直线所成的角 是借用平面几何中的角的概念定义的 是研究空间两条直线位置关系的基础 2 等角定理 为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与惟一性 即过空间任一点 引两条直线分别平行于两条异面直线 它们所成的锐角 或直角 都是相等的 而与所取点的位置无关 5 空间中直线与直线垂直包括的两种情况 6 一个重要结论若一条直线垂直于两条平行直线中的一条 则它一定与另一条直线垂直 即若a b a c 则b c 理由 因为a c 所以a与c所成的角大小为90 又因为a b 所以b与c所成的角大小也为90 所以b c 类型一空间中两条直线位置关系的判断 典型例题 1 2013 重庆高一检测 分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是 a 异面b 平行c 相交d 以上都有可能 2 如图是一个正方体的展开图 如果将它还原为正方体 那么nc de af bm这四条线段所在的直线是异面直线的有多少对 试以其中一对为例进行证明 解题探究 1 根据题目条件 如何构建几何模型判断两条直线的位置关系 2 由正方体的展开图如何还原为正方体 如何判断两条直线是异面直线 探究提示 1 根据题目条件 画出两个相交的平面 并在两个平面内尝试是否可以画两条直线平行 相交和异面 2 固定正方体的展开图的一个面 将其他面翻折还原为正方体 判断两条直线是异面直线的主要方法 1 说明两条直线既不平行 又不相交 2 连接平面内一点与平面外一点的直线 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 解析 1 选d 如图 1 所示 直线a与b互相平行 如图 2 所示 直线a与b相交 如图 3 所示 直线a与b异面 2 将展开图还原为正方体 如图 nc与de nc与af nc与bm de与af de与bm af与bm 都是异面直线 共有6对 以nc与af是异面直线为例证明如下 方法一 若nc af 则由nc be 可知af be 这与af与be相交矛盾 故nc与af不平行 若nc与af相交 则平面abfe与平面cdnm有公共点 这与正方体的性质矛盾 故nc与af不相交 所以nc与af异面 方法二 如图 因为直线cn 平面bcne 直线af 平面bcne o o 直线cn 所以nc与af异面 拓展提升 1 判断空间中两条直线位置关系的诀窍 1 建立空间观念 全面考虑两条直线平行 相交和异面三种位置关系 特别关注异面直线 2 重视正方体等常见几何体模型的应用 会举例说明两条直线的位置关系 2 判定两条直线是异面直线的方法 1 方法一 证明两条直线既不平行又不相交 2 重要结论 连接平面内一点与平面外一点的直线 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 用符号语言可表示为a b l b l ab与l是异面直线 如图 变式训练 1 如图 在长方体abcd a1b1c1d1的12条棱中 所在直线与棱a1b1所在直线不相交的有 a 10条b 9条c 8条d 7条 2 2013 长春高一检测 下列说法中 正确的个数是 1 a与b异面 b与c异面 则a与c异面 2 a与b相交 b与c相交 则a与c相交 3 a与b平行 b与c平行 则a与c平行 4 a与b垂直 b与c垂直 则a与c垂直 a 4b 3c 2d 1 解析 1 选d 所在直线与棱a1b1所在直线不相交的棱有cd c1d1 ab cc1 dd1 ad bc共7条 2 选d 1 错误 若直线a b异面 b c异面 则a c可以异面 也可以相交或平行 2 错误 若直线a b相交 b c相交 则a c异面 平行 相交都有可能 3 正确 由公理4可知 4 错误 若a b b c 则a c异面 平行 相交都有可能 只有 3 正确 故选d 类型二公理4和等角定理的应用 典型例题 1 如图 在三棱锥a bcd中 e f g分别是ab bc ad的中点 gef 120 则bd和ac所成角的度数为 2 已知 四边形abcd是空间四边形 四顶点不共面的四边形 e h分别是边ab ad的中点 f g分别是边cb cd上的点 且求证 四边形efgh是梯形 解题探究 1 如果一个角的两条边和另一个角的两条边分别平行 这两个角有什么关系 异面直线所成的角的取值范围是什么 2 根据题目条件 可以利用哪些方法证明哪两条直线平行 探究提示 1 如果一个角的两条边和另一个角的两条边分别平行 这两个角相等或互补 异面直线所成的角 的取值范围是0 90 2 根据题目条件 可以利用三角形中位线的性质和公理4证明两条直线平行 解析 1 因为e f g分别是ab bc ad的中点 所以eg bd ef ac 因此eg ef所成的锐角是异面直线bd ac所成的角 所以bd和ac所成的角的度数是180 120 60 答案 60 2 连接bd 因为eh是三角形abd的中位线 所以eh bd eh bd 又在 bcd中 所以fg bd fg bd 根据公理4 所以eh fg 又因为fg eh 所以四边形efgh是梯形 拓展提升 1 证明两条直线平行的方法 1 公理4 2 三角形中位线的性质 3 平行四边形的性质 4 同位角 内错角 相等两直线平行 同旁内角互补两直线平行 5 平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行 2 证明角相等的方法 1 利用题设中的条件 将要证明的两个角放在两个三角形中 利用三角形全等或三角形相似证明两个角相等 2 在题目中若不好构造三角形或不能利用三角形全等或相似来证明角相等 可考虑两个角的两边 可利用定理证明这两个角的两边分别对应平行且方向相同或相反 从而达到目的 变式训练 已知正方体abcd a1b1c1d1 e f分别为aa1 cc1的中点 求证 bf ed1 解题指南 取bb1的中点g 根据公理4利用 中间线 gc1将平行关系传递 进而证明bf ed1 证明 如图 取bb1的中点g 连接gc1 ge 因为f为cc1的中点 所以bgc1f 所以四边形bgc1f为平行四边形 所以bf gc1 又因为ega1b1 a1b1c1d1 所以egc1d1 所以四边形egc1d1为平行四边形 所以ed1 gc1 所以bf ed1 类型三异面直线所成角的计算 典型例题 1 2013 杭州高一检测 如图是正方体的平面展开图 则在这个正方体中的ab与cd的位置关系为 a 平行b 相交成60 角c 异面成60 角d 异面且垂直 2 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 pa ab pa ac e是pc的中点 已知ab 2 ad pa 2 求异面直线bc与ae所成的角的大小 解题探究 1 正方体的六个面都是正方形 这些正方形的对角线 也叫面对角线 长度有什么关系 哪些是互相平行的 2 题2中求异面直线bc与ae所成的角 关键应该如何处理 探究提示 1 正方体的面对角线长度相等 正方体相对面上的面对角线 若共面则平行 2 题2中求异面直线bc与ae所成角的关键是转化为两相交直线所成的角 解析 1 选c 将展开图还原为正方体 如图 可证直线ab与cd是异面直线 易证ad ce ad ce 所以四边形adce是平行四边形 所以ae cd 所以 bae是异面直线ab与cd所成的角 或其补角 又ab be ae 所以 bae 60 即异面直线ab与cd所成的角为60 2 取pb的中点f 连接ef af 则ef bc 所以 aef 或其补角 是异面直线bc与ae所成的角 在 aef中 由pa ab pa ac 则所以 aef是等腰直角三角形 所以 aef 45 所以异面直线bc与ae所成的角大小为45 互动探究 题1的正方体中 求ac与bd所成的角的正弦值 解析 如图 连接ac af 因为cf bd 所以 acf 或其补角 是异面直线ac与bd所成的角 设正方体的棱长为a 则在 acf中 cf a 所以af2 cf2 ac2 所以 afc 90 sin acf 拓展提升 1 求两异面直线所成的角的一般步骤 2 求两条异面直线所成角的技巧 1 求两异面直线所成角的关键在于作角 总结起来有如下 口诀 中点 端点定顶点 平移常用中位线 平行四边形柱中见 指出成角很关键 求角构造三角形 锐角 钝角要明辨 平行线若在外 补上原体在外边 2 如果求得的角的余弦值为负值的话 这说明两条异面直线所成的角应该是所求角的补角 所以在指明所求角的时候 应该说 这个角或其补角 即为所求的角 变式训练 在正方体abcd a1b1c1d1中 点p在线段ad1上运动 则异面直线cp与ba1所成的角 的取值范围是 a 0 90 b 0 90 c 0 60 d 0 60 解析 选d 易证四边形a1bcd1是平行四边形 所以a1b cd1 所以 d1cp 或其补角 是异面直线cp与ba1所成的角 因为ac cd1 d1a 所以 acd1 60 所以0 60 规范解答 求异面直线所成的角 典例 条件分析 规范解答 取bd的中点g 连接ge gf 1分因为be ea bg gd 所以ge ad ge ad 1 3分因为df fc dg gb 所以gf bc gf bc 1 5分所以 egf 或其补角 是异面直线ad与bc所成的角 6分在 gef中 ge 1 gf 1 ef 如图 取ef的中点o 连接go 则go ef 8分所以 ego 60 9分所以 egf 2 ego 120 10分所以异面直线ad与bc所成的角是180 120 60 12分 失分警示 防范措施 1 结合题目条件作辅助线一般来说 作平行线的方法有利用三角形中位线的性质和平行四边形的性质 另外要注意恰当利用题目条件 如本例中 取bd 或ac 的中点g 连接ge gf不仅可以作出直线ad和bc的平行线 而且可以求出ge gf的长度 2 重视异面直线所成角的取值范围异面直线所成角 的取值范围是0 90 而根据 等角定理 可知 所作的角有可能是所求角的补角 如本例中所作的角为钝角 应是所求角的补角 类题试解 如图 四棱锥p abcd中 底面是正方形 中心为o 且底面边长和侧棱相等 m是pc中点 求mo与ab所成的角 解析 如图 取bc的中点n 连接on mn ac 因为四边形abcd是正方形 中心为o 所以o为ac的中点 因为on是 abc的中位线 所以on ab 所以 mon 或其补角 是异面直线mo与ab所成的角 设该四棱锥的底面边长和侧棱都是2a 因为mn是 pbc的中位线 所以mn pb mn pb a 因为om是 apc的中位线 所以om pa a 又因为on ab a 所以 omn是等边三角形 所以 mon 60 所以异面直线mo与ab所成的角的大小为60 1 已知ab pq bc qr 若 abc 30 则 pqr等于 a 30 b 30 或150 c 150 d 以上结论都不对 解析 选b 因为ab pq bc qr 所以 pqr与 abc相等或互补 因为 abc 30 所以 pqr 30 或150 2 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 a 一定平行b 一定相交c 一定