玉林高中2015级培优班数学补充资料(7)解析几何的存在性问题、定点定值问题与最值问题.doc

玉林高中2015级培优班数学补充资料（7）存在性问题、定点定值问题与最值问题班别：_ 姓名：_1、椭圆两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点. （1）求P点坐标； （2）求证直线AB的斜率为定值； （3）求PAB面积的最大值。2、已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率（I）求椭圆E的方程；（II）求的角平分线所在直线的方程；（III）在椭圆E上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.3、已知椭圆的两焦点为，离心率.（1）求此椭圆的方程；（2）设直线，若与此椭圆相交于，两点，且等于椭圆的短轴长，求的值； （3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.4、已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线 （1）求椭圆E的方程； （2）过点，斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由5、已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点（1）求椭圆方程； （2）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；（3）设点是点关于轴对称点，在轴上是否存在一个定点，使得三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由 6.如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为,线段的中点分别为,且 是面积为4的直角三角形.()求该椭圆的离心率和标准方程; ()过做直线交椭圆于P,Q两点,使,求直线的方程玉林高中2015级数学培优资料（7）答案 存在性问题、定点定值问题与最值问题1、解：（1）由题得，设， ，点在曲线上，则，从而，得.则点P的坐标为. （2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为， 则BP的直线方程为：.由得 ，设，则，同理可得，则，.所以：AB的斜率为定值. （3）设AB的直线方程：.由，得，由，得P到AB的距离为，则。当且仅当取等号 三角形PAB面积的最大值为。2、解析（I）设椭圆E的方程为将A（2，3）代入上式，得椭圆E的方程为（II）解法1：由（I）知，所以直线AF1的方程为：直线AF2的方程为：由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数.设上任一点，则 若（因其斜率为负，舍去）.所以直线l的方程为：解法2： （III）解法1：假设存在这样的两个不同的点由于M在l上，故 又B，C在椭圆上，所以有两式相减，得即将该式写为，并将直线BC的斜率和线段BC的中点，表示代入该表达式中，得 2得，即BC的中点为点A，而这是不可能的.不存在满足题设条件的点B和C.解法2：假设存在，则得一元二次方程则是该方程的两个根，由韦达定理得于是B，C的中点坐标为又线段BC的中点在直线即B，C的中点坐标为（2，3），与点A重合，矛盾.不存在满足题设条件的相异两点.3、解：（1）设椭圆方程为，则，所求椭圆方程为. （2）由，消去y，得，则得 （*）设，则，解得.，满足（*）（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为（不妨设k0），则BC边所在直线的方程为，由，得A用代替上式中的k，得，由，得k0，解得：或，故存在三个内接等腰直角三角形.- 4、解：（1）依题意椭圆的焦点在x轴，且 即 （2）假设存在点M符合题意，设AB：代入得： 则 要使上式与K无关，则有，存在点满足题意 5、解：（1）由题意知，又，所以，所以（2）由（1）得，所以，设的方程为，联立得，（*），由题意得，代入可得，所以得 （3）设，则有，所以，所以，整理得： 代入（*）式解得来源：学科网所以在轴上存在一个定点，使得三点共线 6. 解:设所求椭圆的标准方程为,右焦点为. 因是直角三角形,又,故为直角,因此,得. 结合得,故,所以离心率. 在中,故 由题设条件,得,从而. 因此所求椭圆的标准方程为: (2)由(1)知,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方