高考数学大一轮复习 9.3圆的方程课件 理 苏教版.ppt

9 3圆的方程 数学苏 理 第九章平面解析几何 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 圆的定义在平面内 到的距离等于的点的叫圆 2 确定一个圆最基本的要素是和 3 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 其中为圆心 为半径 定点 定长 集合 圆心 半径 a b r 4 圆的一般方程x2 y2 dx ey f 0表示圆的充要条件是 其中圆心为 半径r d2 e2 4f 0 5 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法 大致步骤为 1 根据题意 选择标准方程或一般方程 2 根据条件列出关于a b r或d e f的方程组 3 解出a b r或d e f代入标准方程或一般方程 6 点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 点m x0 y0 1 点在圆上 2 点在圆外 3 点在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 确定圆的几何要素是圆心与半径 2 已知点a x1 y1 b x2 y2 则以ab为直径的圆的方程是 x x1 x x2 y y1 y y2 0 3 方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆的充要条件是a c 0 b 0 d2 e2 4af 0 4 方程x2 2ax y2 0一定表示圆 2 3 1 a 1 x 2 2 y2 10 2 解析 设圆心坐标为 a 0 圆c的方程为 x 2 2 y2 10 例1根据下列条件 求圆的方程 1 经过p 2 4 q 3 1 两点 并且在x轴上截得的弦长等于6 思维点拨 解析 思维升华 题型一求圆的方程 设圆的一般方程 利用待定系数法求解 思维点拨 解析 思维升华 例1根据下列条件 求圆的方程 1 经过p 2 4 q 3 1 两点 并且在x轴上截得的弦长等于6 题型一求圆的方程 例1根据下列条件 求圆的方程 1 经过p 2 4 q 3 1 两点 并且在x轴上截得的弦长等于6 题型一求圆的方程 解设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 将p q两点的坐标分别代入得 又令y 0 得x2 dx f 0 设x1 x2是方程 的两根 由 x1 x2 6有d2 4f 36 思维点拨 解析 思维升华 例1根据下列条件 求圆的方程 1 经过p 2 4 q 3 1 两点 并且在x轴上截得的弦长等于6 题型一求圆的方程 由 解得d 2 e 4 f 8 或d 6 e 8 f 0 故所求圆的方程为x2 y2 2x 4y 8 0 或x2 y2 6x 8y 0 思维点拨 解析 思维升华 例1根据下列条件 求圆的方程 1 经过p 2 4 q 3 1 两点 并且在x轴上截得的弦长等于6 题型一求圆的方程 1 直接法 根据圆的几何性质 直接求出圆心坐标和半径 进而写出方程 2 待定系数法 若已知条件与圆心 a b 和半径r有关 则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a b r的方程组 从而求出a b r的值 若已知条件没有明确给出圆心或半径 则选择圆的一般方程 依据已知条件列出关于d e f的方程组 进而求出d e f的值 思维点拨 解析 思维升华 2 圆心在直线y 4x上 且与直线l x y 1 0相切于点p 3 2 思维点拨 解析 思维升华 求圆心和半径 确定圆的标准方程 2 圆心在直线y 4x上 且与直线l x y 1 0相切于点p 3 2 思维点拨 解析 思维升华 2 圆心在直线y 4x上 且与直线l x y 1 0相切于点p 3 2 解方法一如图 故圆的方程为 x 1 2 y 4 2 8 思维点拨 解析 思维升华 2 圆心在直线y 4x上 且与直线l x y 1 0相切于点p 3 2 方法二设所求方程为 x x0 2 y y0 2 r2 因此所求圆的方程为 x 1 2 y 4 2 8 思维点拨 解析 思维升华 2 圆心在直线y 4x上 且与直线l x y 1 0相切于点p 3 2 1 直接法 根据圆的几何性质 直接求出圆心坐标和半径 进而写出方程 2 待定系数法 若已知条件与圆心 a b 和半径r有关 则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a b r的方程组 从而求出a b r的值 若已知条件没有明确给出圆心或半径 则选择圆的一般方程 依据已知条件列出关于d e f的方程组 进而求出d e f的值 思维点拨 解析 思维升华 跟踪训练1 2014 陕西 若圆c的半径为1 其圆心与点 1 0 关于直线y x对称 则圆c的标准方程为 解析由题意知圆c的圆心为 0 1 半径为1 所以圆c的标准方程为x2 y 1 2 1 x2 y 1 2 1 题型二与圆有关的最值问题例2已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 求 1 的最大值和最小值 2 y x的最小值 3 x2 y2的最大值和最小值 题型二与圆有关的最值问题例2已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 求 1 的最大值和最小值 2 y x的最小值 3 x2 y2的最大值和最小值 思维点拨显然实数x y所确定的点在圆x2 y2 4x 1 0上运动 而则可看成是圆上的点与原点连线的斜率 y x可以转化为截距 x2 y2可以看成是圆上点与原点距离的平方 题型二与圆有关的最值问题例2已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 求 1 的最大值和最小值 2 y x的最小值 3 x2 y2的最大值和最小值 则圆心 2 0 到直线y kx的距离为半径时直线与圆相切 斜率取得最大 最小值 题型二与圆有关的最值问题例2已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 求 1 的最大值和最小值 2 y x的最小值 3 x2 y2的最大值和最小值 题型二与圆有关的最值问题例2已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 求 1 的最大值和最小值 2 y x的最小值 3 x2 y2的最大值和最小值 2 设y x b 则y x b 仅当直线y x b与圆切于第四象限时 截距b取最小值 由点到直线的距离公式 题型二与圆有关的最值问题例2已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 求 1 的最大值和最小值 2 y x的最小值 3 x2 y2的最大值和最小值 3 x2 y2是圆上点与原点的距离的平方 故连结oc 与圆交于b点 并延长交圆于c 则 题型二与圆有关的最值问题例2已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 求 1 的最大值和最小值 2 y x的最小值 3 x2 y2的最大值和最小值 思维升华 1 与圆相关的最值 若几何意义明显时 可充分利用几何性质 借助几何直观求解 否则可转化为函数求最值 2 形如u 形式的最值问题 可转化为动直线斜率的最值问题 形如t ax by形式的最值问题 可转化为动直线的截距的最值问题 形如 x a 2 y b 2形式的最值问题 可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 跟踪训练2已知两点a 1 0 b 0 2 点p是圆 x 1 2 y2 1上任意一点 则 pab面积的最大值与最小值分别是 解析如图 圆心 1 0 到直线ab 例3设定点m 3 4 动点n在圆x2 y2 4上运动 以om on为两边作平行四边形monp 求点p的轨迹 思维点拨 解析 思维升华 题型三与圆有关的轨迹问题 结合图形寻求点p和点m坐标的关系 用相关点法 代入法 解决 例3设定点m 3 4 动点n在圆x2 y2 4上运动 以om on为两边作平行四边形monp 求点p的轨迹 题型三与圆有关的轨迹问题 思维点拨 解析 思维升华 例3设定点m 3 4 动点n在圆x2 y2 4上运动 以om on为两边作平行四边形monp 求点p的轨迹 题型三与圆有关的轨迹问题 解如图所示 设p x y n x0 y0 由于平行四边形的对角线互相平分 思维点拨 解析 思维升华 例3设定点m 3 4 动点n在圆x2 y2 4上运动 以om on为两边作平行四边形monp 求点p的轨迹 题型三与圆有关的轨迹问题 n x 3 y 4 在圆上 故 x 3 2 y 4 2 4 因此所求轨迹为圆 x 3 2 y 4 2 4 思维点拨 解析 思维升华 求与圆有关的轨迹问题时 根据题设条件的不同常采用以下方法 直接法 直接根据题目提供的条件列出方程 定义法 根据圆 直线等定义列方程 例3设定点m 3 4 动点n在圆x2 y2 4上运动 以om on为两边作平行四边形monp 求点p的轨迹 题型三与圆有关的轨迹问题 思维点拨 解析 思维升华 几何法 利用圆的几何性质列方程 代入法 找到要求点与已知点的关系 代入已知点满足的关系式等 例3设定点m 3 4 动点n在圆x2 y2 4上运动 以om on为两边作平行四边形monp 求点p的轨迹 题型三与圆有关的轨迹问题 思维点拨 解析 思维升华 跟踪训练3 2014 课标全国 已知点p 2 2 圆c x2 y2 8y 0 过点p的动直线l与圆c交于a b两点 线段ab的中点为m o为坐标原点 1 求m的轨迹方程 解圆c的方程可化为x2 y 4 2 16 所以圆心为c 0 4 半径为4 故x 2 x y 4 2 y 0 即 x 1 2 y 3 2 2 由于点p在圆c的内部 所以m的轨迹方程是 x 1 2 y 3 2 2 2 当op om时 求l的方程及 pom的面积 由于op om 故o在线段pm的垂直平分线上 又p在圆n上 从而on pm 典例 在平面直角坐标系xoy中 曲线y x2 6x 1与坐标轴的交点都在圆c上 求圆c的方程 思想与方法系列16利用几何性质巧设方程求半径 思维点拨 规范解答 温馨提醒 典例 在平面直角坐标系xoy中 曲线y x2 6x 1与坐标轴的交点都在圆c上 求圆c的方程 思想与方法系列16利用几何性质巧设方程求半径 本题可采用两种方法解答 即代数法和几何法 思维点拨 规范解答 温馨提醒 典例 在平面直角坐标系xoy中 曲线y x2 6x 1与坐标轴的交点都在圆c上 求圆c的方程 思想与方法系列16利用几何性质巧设方程求半径 解一般解法 代数法 曲线y x2 6x 1与y轴的交点为 0 1 设圆的方程是x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 思维点拨 规范解答 温馨提醒 典例 在平面直角坐标系xoy中 曲线y x2 6x 1与坐标轴的交点都在圆c上 求圆c的方程 思想与方法系列16利用几何性质巧设方程求半径 故圆的方程是x2 y2 6x 2y 1 0 思维点拨 规范解答 温馨提醒 典例 在平面直角坐标系xoy中 曲线y x2 6x 1与坐标轴的交点都在圆c上 求圆c的方程 思想与方法系列16利用几何性质巧设方程求半径 几何法 曲线y x2 6x 1与y轴的交点为 0 1 巧妙解法 思维点拨 规范解答 温馨提醒 典例 在平面直角坐标系xoy中 曲线y x2 6x 1与坐标轴的交点都在圆c上 求圆c的方程 思想与方法系列16利用几何性质巧设方程求半径 所以圆c的方程为 x 3 2 y 1 2 9 思维点拨 规范解答 温馨提醒 典例 在平面直角坐标系xoy中 曲线y x2 6x 1与坐标轴的交点都在圆c上 求圆c的方程 思想与方法系列16利用几何性质巧设方程求半径 1 一般解法 代数法 可以求出曲线y x2 6x 1与坐标轴的三个交点 设圆的方程为一般式 代入点的坐标求解析式 思维点拨 规范解答 温馨提醒 典例 在平面直角坐标系xoy中 曲线y x2 6x 1与坐标轴的交点都在圆c上 求圆c的方程 思想与方法系列16利用几何性质巧设方程求半径 巧妙解法 几何法 利用圆的性质 知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上 从而设圆的方程为标准式 简化计算 显然几何法比代数法的计算量小 因此平时训练多采用几何法解题 思维点拨 规范解答 温馨提醒 方法与技巧 1 选形式 定参数 是求圆的方程的基本方法 是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式 进而确定其中的三个参数 2 解答圆的问题 应注意数形结合 充分运用圆的几何性质 简化运算 失误与防范 1 求圆的方程需要三个独立条件 所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程 2 过圆外一定点 求圆的切线 应该有两个结果 若只求出一个结果 应该考虑切线斜率不存在的情况 1 设圆的方程是x2 y2 2ax 2y a 1 2 0 若0 a 1 则原点与圆的位置关系是 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析将圆的一般方程化成标准方程为 x a 2 y 1 2 2a 因为00 原点在圆外 2 点p 2 1 为圆 x 1 2 y2 25内弦ab的中点 则ab的方程为 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 解析由题意可知圆心q 1 0 故kpq 1 kab 1 ab的方程为y 1 1 x 2 即x y 3 0 x y 3 0 3 已知点a 2 0 b 0 2 点c是圆x2 y2 2x 0上任意一点 则 abc面积的最小值是 2 4 5 6 7 8 9 1 10 3 解析圆的标准方程为 x 1 2 y2 1 直线ab的方程为x y 2 0 2 4 5 6 7 8 9 1 10 3 4 点p 4 2 与圆x2 y2 4上任一点连线的中点的轨迹方程是 2 3 5 6 7 8 9 1 10 4 解析设圆上任一点坐标为 x0 y0 x 2 2 y 1 2 1 2 3 4 6 7 8 9 1 10 5 解析由题意知圆心c 2 1 在直线ax 2by 2 0上 2a 2b 2 0 整理得a b 1 2 3 4 6 7 8 9 1 10 5 6 2013 江西 若圆c经过坐标原点和点 4 0 且与直线y 1相切 则圆c的方程是 2 3 4 5 7 8 9 1 10 6 解析如图 设圆心坐标为 2 y0 7 若方程x2 y2 2x 2my 2m2 6m 9 0表示圆 则m的取值范围是 当半径最大时 圆的方程为 2 3 4 5 6 8 9 1 10 7 解析 原方程可化为 x 1 2 y m 2 m2 6m 8 r2 m2 6m 8 m 2 m 4 0 2 m 4 当m 3时 r最大为1 圆的方程为 x 1 2 y 3 2 1 2 m 4 x 1 2 y 3 2 1 8 已知圆x2 y2 2x 4y a 0关于直线y 2x b成轴对称 则a b的取值范围是 2 3 4 5 6 7 9 1 10 8 解析 圆的方程可化为 x 1 2 y 2 2 5 a 其圆心为 1 2 且5 a 0 即a 5 又圆关于直线y 2x b成轴对称 2 2 b b 4 a b a 4 1 1 9 一圆经过a 4 2 b 1 3 两点 且在两坐标轴上的四个截距的和为2 求此圆的方程 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 解设所求圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 令y 0 得x2 dx f 0 所以x1 x2 d 令x 0 得y2 ey f 0 所以y1 y2 e 由题意知 d e 2 即d e 2 0 又因为圆过点a b 所以16 4 4d 2e f 0 1 9 d 3e f 0 解 组成的方程组得d 2 e 0 f 12 故所求圆的方程为x2 y2 2x 12 0 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 10 已知圆c和直线x 6y 10 0相切于点 4 1 且经过点 9 6 求圆c的方程 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解因为圆c和直线x 6y 10 0相切于点 4 1 其方程为y 1 6 x 4 即y 6x 23 又因为圆心在以 4 1 9 6 两点为端点的线段的中垂线 2 3 4 5