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函数的奇偶性 x y o x y o 观察下列两个函数图象并思考以下问题 1 这两个函数图象有什么共同特征吗 2 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的 我们得到 这两个函数图象都关于y轴对称 从函数值对应表可以看到 当自变量x取一对相反数时 相应的两个函数值相同 即点 x f x 在图象上 相应的点 x f x 也在函数图象上 我们能否利用函数解析式来描述函数图象的特征呢 y x2 x x 当x1 1 x2 1时 f 1 f 1 当x1 2 x2 2时 f 2 f 2 对任意x f x f x 偶函数定义 如果对于函数定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么f x 就叫偶函数 奇函数定义 如果对于函数定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么f x 就叫奇函数 思考 偶函数与奇函数图象有什么特征呢 偶函数的图象关于y轴对称 函数y x2的图像 偶函数的图像特征 奇函数的图像特征 函数y x3的图像 o 奇函数的图象关于原点对称 例1 根据下列函数图象 判断函数奇偶性 y x y x y x 1 2 y x 1 1 例1 判断下列函数的奇偶性 解 1 对于函数 其定义域为 因为对定义域内的每一个x 都有所以函数为奇函数 1 2 先确定定义域 再验证f x 与f x 之间的关系 3 2 对于函数 其定义域为 x x0 定义域内每个x 都有故f x 为偶函数 3 f x 定义域为r 定义域内每个x都有故f x 为奇函数 5 4 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 定义域不关于原点对称 所以f x 为非奇非偶函数 解 4 变式 1 若f x 2x呢 2 f x 2x b呢 5 故函数f x 为非奇非偶函数 解 1 f x 2x的定义域为r 其内每个x 都有f x f x 故f x 为奇函数 2 f x 2x b的定义域为r f x 2x b 又f x 2x b 当b 0时 f x f x 故f x 是奇函数 当b0时 f x f x 且f x f x 故f x 是非奇非偶函数 判断函数奇偶性步骤 1 先确定函数定义域 并判断定义域是否关于原点对称 2 确定f x 与f x 的关系 3 作出结论 若f x f x 或f x f x 0 则f x 是偶函数 若f x f x 或f x f x 0 则f x 是奇函数 思考 1 判断函数的奇偶性 2 如果右图是函数图象一部分 你能根据f x 的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗 y x 0 f x 是奇函数 其图象关于原点对称 小结 奇偶性定义 对于函数f x 在它的定义域内 把任意一个x换成 x x x均在定义域内 若有f x f x 则f x 叫做奇函数 若有f x f x 则f x 叫做偶函数 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 性质 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 判断奇偶性方法 图象法
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