高中数学 3.4.2 简单线性规划同步课件 北师大版必修5.ppt

1 了解线性规划的有关概念 重点 2 求线性目标函数的最大值 最小值 重点 3 图解法解决线性规划问题的过程及其应用 难点 易错点 一 线性规划中的基本概念 最优解一定唯一吗 提示 不一定 当线性目标函数对应的直线与可行域多边形的一条边平行时 最优解可能有多个甚至无数个 二 图解法求线性规划问题图解法的步骤 1 求可行域将约束条件中的每一个不等式 当作等式作出相应的直线 并确定原不等式表示的半平面 然后求出所有半平面的交集 即可行域 2 作出目标函数的等值线 目标函数z ax by a b r且a b为常数 当z是一个指定的常数时 就表示一条直线 位于这条直线上的点 具有相同的目标函数值z 因此称之为等值线 当z为参数时 就得到一组平行线 这一组平行线完全刻画出目标函数z的变化状态 3 求出最终结果 在可行域内平行移动目标函数等值线 从图中能判定问题是有唯一最优解 或是有无穷最优解 亦或是无最优解 对目标函数z ax by c b 0 的变化规律的理解 当b 0时 将z ax by c b 0 化为 y 于是可看成是直线l0 y 平行的动直线在y轴上的截距 根据截距的几何意义可理解为 直线l0的截距越大 z的值越大 截距越小 z的值越小 当b 0时 目标函数z ax by c的变化情况正好与上述情况相反 线性目标函数的最值问题解线性规划问题的一般步骤 1 画 画出线性约束条件所表示的可行域 2 移 利用平移的方法在线性目标函数所表示的一组平行线中 找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线 3 求 通过解方程组求出最优解 4 答 给出答案 最优解通常在可行域的顶点或边界处取得 例1 已知关于x y的二元一次不等式组求函数z 3x y的最大值和最小值 审题指导 根据线性约束条件画出可行域 再利用平移法 求得最值 规范解答 画出由线性约束条件确定的可行域 如图所示 由z 3x y 得y 3x z 得到斜率为3 在y轴上的截距为 z 随z变化的一组平行线 由图可知 当直线经过可行域上的c点时 截距 z最大 即z最小 解方程组 得c 2 3 zmin 3 2 3 9 当直线经过可行域上的b点时 截距 z最小 即z最大 解方程组 得b 2 1 zmax 3 2 1 5 所以z 3x y的最大值为5 最小值为 9 互动探究 将本例中的目标函数z 3x y改为z x 2y 2 求z的最值 解析 作出二元一次不等式组表示的可行域 如图所示 由z x 2y 2 得y 1 得到斜率为 在y轴上截距为 1的一组平行线 当直线经过可行域上的a点时 截距 1最小 即z最小 解方程组 得a 2 3 zmin 2 2 3 2 6 当直线y 1与直线x 2y 4重合时 截距 1最大 即z最大 解方程组 得c 2 3 zmax 2 2 3 2 6 z x 2y 2的最大值是6 最小值是 6 误区警示 解题时要注意目标函数所表示直线的斜率与线性约束条件中直线斜率的大小关系 非线性目标函数的最值问题非线性目标函数的最值的求法 1 z x a 2 y b 2型的目标函数可转化为点 x y 与点 a b 距离的平方 2 z 型的目标函数可转化为点 x y 与点 a b 连线的斜率 3 z ax by c 可转化为点 x y 到直线ax by c 0的距离的倍 特别地 z x2 y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方 例2 实数x y满足 1 若z 求z的最大值和最小值 并求z的取值范围 2 若z x2 y2 求z的最大值与最小值 并求z的取值范围 审题指导 先画出不等式组所表示的平面区域 再根据各个目标函数的几何意义求解 规范解答 由作出可行域 如图中阴影部分所示 1 z 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率 因此的取值范围为直线ob的斜率到直线oa的斜率 oa斜率不存在 而由 得b 1 2 则kob 2 zmax不存在 zmin 2 z的取值范围是 2 2 z x2 y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方 因此x2 y2的范围最小为 oa 2 取不到 最大为 ob 2 由得a 0 1 oa 2 1 ob 2 5 z的最大值为5 没有最小值 故z的取值范围是 1 5 变式训练 2011 石家庄高二检测 已知x y满足约束条件则x2 y2 2x的最小值是 a b 1 c d 1 解题提示 把求x2 y2 2x的最小值转化为定点到可行域的最小距离 解析 选d 画出平面区域如图所示 x2 y2 2x x 1 2 y2 1 而 x 1 2 y2表示可行域上一点到定点c 1 0 的距离的平方 由图可知 ac 最小 所以x2 y2 2x的最小值为 ac 2 1 2 1 1 已知目标函数的最值求参数如何由目标函数的最值求参数已知目标函数的最值 求线性约束条件的参数问题 可以先画出线性约束条件中的已知部分 由于最值一般在可行域的顶点或边界处取得 常常利用数形结合的方法求解 解题时要注意边界直线的斜率与目标函数的斜率的关系 例 若实数x y满足不等式组且z x y的最大值为9 求实数m的值 审题指导 根据线性约束条件画出可行域 由目标函数和最大值 判断取得最大值满足的条件 再求参数的值 规范解答 由x y有最大值易知0 m 2 则不等式组对应可行域如图阴影部分所示 则x y在点a处取得最大值 解得a 4 5 而点a在直线x my 1 0上 代入可求得m 1 变式备选 给出平面区域如图阴影部分所示 其中a 5 3 b 1 1 c 1 5 若使目标函数z ax y a 0 取得最大值的最优解有无穷多个 则a的值是 a b c 2 d 解析 选b 由z ax y y ax z 当直线y ax z在y轴上截距最大时z最大 因为最优解有无穷多个 故 a kac时 满足题意 由kac a 即a 故选b 典例 设二元一次不等式组所表示的平面区域为m 使函数y ax a 0 a 1 的图像过区域m的a的取值范围是 a 1 3 b 2 c 2 9 d 9 审题指导 作出可行域 由题设条件判断函数y ax的单调性 再结合图形求a的取值范围 规范解答 选c 作出平面区域m 求直线ac ab bc交点 得a 2 10 c 3 8 b 1 9 由图可知 欲满足条件必有a 1且图像在过b c两点的图像之间 当图像过b时 a1 9 a 9 当图像过c时 a3 8 a 2 故a的取值范围为 2 9 故选c 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 2011 济南高二检测 已知实数x y满足 若z ax y的最大值为3a 9 最小值为3a 3 则实数a的取值范围为 a a 1 b a 1 c 1 a 1 d a 1或a 1 解析 选c 作出可行域如图中阴影部分所示 则z在点a处取得最大值 在点c处取得最小值 又kbc 1 kab 1 1 a 1 即 1 a 1 1 若实数x y满足 则s 2x y 1的最大值为 a 6 b 4 c 3 d 2 解析 选a 可行域为如图所示的阴影部分 当可行解为a 2 3 时smax 6 2 将目标函数z 3x y看成直线方程时 z的意义是 a 该直线的截距 b 该直线的纵截距 c 该直线的纵截距的相反数 d 该直线的横截距 解析 选c 把目标函数整理可得y 3x z z为直线纵截距的相反数 3 若变量x y满足约束条件 则z x 2y的最小值为 a 4 b 3 c 2 d 1 解析 选b 画出可行域 如图 由图可知 当直线l经过点a 1 1 时 z最小 且最小值为zmin 1 2 1 3 4 若x 0 y 0 且x y 1 则z x y的最大值是 解析 由不等式组画出可行域如图 当直线x y z 0过点a 1 0 时 z x y取得最大值 zmax 1 0 1 答案 1 5 如图 点 x y 在四边形abcd内部和边界上运动 那么2x y的最小值为 解析 令l 2x y 0 kab kdc 所以l平移过a 1 1 时在y轴上截距最大 即x 1 y 1时 2x y有最小值为2 1