（固体力学专业论文）无网格自然元法及其应用.pdf

硕士学位论文 摘要 无网格法的研究至今已有2 0 多年的历史。与基于网格的有限元、边界元等方 法相比，无网格法具有许多突出的优点。近年来，国内外学者己提出多种无网格 方法并将其应用于工程实际，取得了许多理论和应用成果。 无网格自然元法是一种基于随机分布结点的v o r o n o i 图形和相应的d e l a u n a y 三角化几何结构，以自然邻结点插值函数为试函数，以三结点有限元形状函数为 权函数或以三结点有限元形函数为变量构造的b e r n s t e i n b 6 z i e r 基函数为权函数， 并利用局部p e t r o v - g a l e r k i n 方法建立离散的系统方程的新型数值求解方法。无 网格自然元法在分析如复合材料、相变、不同材料基体中的夹杂这样一些材料不 连续问题，裂纹扩展的奇异性问题，固体和流体中的大变形问题以及四阶微分方 程控制的板弯曲问题中具有许多优越性，是一种发展前景广阔的数值求解方法。 本文首先将无网格自然元法应用于求解多相材料弹性力学问题和裂纹扩展问 题，并讨论了自然元法对不连续问题的处理方法；研究了求解区域有凹边界存在 时边界结点数对求解精度的影响。 然后将无网格自然元法应用于求解k i r c h h o f f 板弯曲问题，构造了具有c 1 连续性 的板挠度的自然邻结点插值函数，提出了以三结点有限元形函数为变量的b e m s t e i n - - b 6 z i e r 基函数为权函数，采用局部p e t r o v - - g a l e r k i n 法建立离散系统方程。 最后，利用无网格自然元法求解了在不同荷载及边界条件下，各种形状的 k i r c h h o f f 板弯曲问题。算例表明，无网格自然元法求解k i r c h h o f f 板弯曲问题时 具有收敛快、精度高、稳定性好的优点。 关键词：无网格自然元法；局部p e t r o v g a l e r k i n 法；b e r n s t e i n - b 6 z i e r 曲面理论 k i r c h h o f f 板 无风格自然元法及其应用 a b s t r c t t h er e s e r e c hw o r kf o rm e s h l e s sm e t h o d sh a sb e e nl a s t e df o rt w e n t ya n dm o r e y e a r s t h em e s h l e s sm e t h o dp o s s e s s e sm a n yo u t s t a n d i n ga d v a n t a g e sc o m p a r e dw i t h e l e m e n t b a s e dm e t h o d ss u c ha st h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，t h eb o u n d a r ye l e m e n t m e t h o de ta 1 i nr e c e n ty e a r s ，al o to fs o r t so fm e s h l e s sm e t h o d sw e r ep r e s e n t e db y n a t i v eo rf o r e i g ns c h o l a r sa n da p p l i e dt ot h ee n g i n e e r i n gp r a c t i c e m a n yt h e o r e t i ca n d a p p l i e da c h i e v e m e n t sw e r ea c q u i r e d t h em e s h l e s sn a t u r a le l e m e n tm e t h o di san e wn u m e r i c a lm e t h o db a s e do nt h e v o r o n o id i a g r a ma n dd u a ld e l a u n a yt r i a n g u l a r i z a t i o ns t r u c t u r ef o ras e to fr a n d o m l y d i s t r i b u t e dn o d e s i nt h em e s h l e s sn a t u r a ie l e m e n tm e 恤o d al o c a ip c t r o v - g a l e r k i n f o r m u l a t i o ni se m p l o y e dt oa b t a i nt h ed i s c r e t es y s t e me q u a t i o n s ，w h e r et r i a lf u n c t i o n s a r ec o n s t r u c t e du s i n gn a t u r a ln e i g h b o u ri n t e r p o l a n t s ，a n dt e s tf u n c t i o n s a r e c o n s t r u c t e du s i n gt h ef i n i t ee l e m e n ts h a p ef u n c t i o n sf o rat r i a n g l e 诵也t h r e en o d e so r i t sb e r n s t e i n b 6 z i e rb a s i sf u n c t i o n s t h em e s h l e s sn a t u r a le l e m e n tm e t h o dh a ss o m e a d v a n t a g e sw h e n i ti se m p l o y e dt oa n a l y z em a t e r i a ld i s c o n t i n u o u sp r o b l e m s ，s u c ha s c o r n ；) o s i t em a t e r i a l s ，p h a s et r a n s f o r m a n t i o n s ，i n c l u s i o n si nam a t r i xw i t hd i f f e r e n t m a t e r i a lp r o p e r t i e se ta 1 ，a n ds i n g u l a r i t yp r o b l e m ss u c ha sac r a c kp r o p a g a t i o n ，l a r g e d e f o r m a t i o np r o b l e m si ns o l i da n df l u i dm e c h a n i c s ，a n dp l a t eb e n d i n gp r o b l e m s g o v e r n i n gb y t h ef o u r t h o r d e rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h i sn u m e r i c a lm e t h o d h a sb r o a dp r o s p e c t sf o ra p p l i c a t i o n s f i r s t l y i nt h et h e s i st h em e s h l e s sn a t u r a le l e m e n tm e t h o di sa p p l i e dt o s l o v e e l a s t i c i t yp l o b l e m sw i t hh e t e r o g e n e o u sm a t e r i a l sa n dc r a c kp r o p a g a t i o np l o b l e m s t h e t r e a t m e n to fm a t e r i a ld i s c o n t i n u i t i e su s i n gt h em e s h l e s sn a t u r a le l e m e n tm e t h o di s p r e s e n t e d t h ei n f l u e n c eo fn o d en u m b e r si nan o n c o n v e xb o u n d a r yo nt h es o l u t i o n a c c u r a c yi si n v e s t i g a t e d t h e nt h em e s h l e s sn a t u r a le l e m e n tm e t h o di sa p p l i e dt os l o v eb e n d i n gp r o b l e m s f o rt h ek i r c h h o f fp l a t e s h a p ef u n c t i o n sf o rp l a t ed e f l e c t i o nf u n c t i o n ，w h i c hp o s s e s s c 1c o n t i n u o u sr e q u i r e m e n ta r ec o n s t r u c t e du s i n gn a t u r a ln e i g h b o u ri n t e r p o l a n t s t e s t f u n c t i o n sa r ec o n s t r u c t e db yu s i n gf i n i t ee l e m e n ts h a p ef u n c t i o n sf o rat r i a n g l ew i t h t h r e en o d e sa sv a r i a b l e so fb e r n s t e i n b 6 z i e rb a s i sf u n c t i o n s t h ed i s c r e t es y s t e m e q u a t i o n sa r ef o r m u l a t e db yt h el o c a lp e t r o v g a l e r k i nm e t h o d l a s t l y , t h em e s h l e s sn a t u r a le l e m e n tm e t h o di se m p l o y e dt os l o v eb e n d i n g i i p r o b l e m sf o rt h ek i r c h h o f fp l a t eu n d e rd i f f e r e n tl o a d sa n db o u n d a r yc o n d i t i o n sw i t h d i f f e r e n tg e o m e t r ys h a p e s t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h em e s h l e s sn a t u r a l e l e m e n tm e t h o dt os l o v eb e n d i n gp r o b l e m sf o rt h ek i r c h h o f fp l a t eh a v ear a p i d c o n v e r g e n c e ，ah i g ha c c u r a c ya n dag o o ds t a b i l i t y k e yw o r d s ：m e s h l e s sn a t u r a le l e m e n tm e t h o d ；l o c a lp e t r o v - g a l e r k i nm e t h o d ； b e r n s t e i n b 6 z i e rs u r f a c et h e o r y ；k i r c h h o f fp l a t e i i l 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除t s c c p 特别加以标注引用的i a 容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名：戌枇红 日期：叮年町碉7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“”) 日期：叮年。，月日 日期：。，年。厂月2 - 日 1 1 引言 第1 章绪论 工程实际中许多力学问题和物理问题都可以归结为在给定的边界条件下，求 解一个或组常微分方程或偏微分方程。在理论上，这些边值问题有唯一确定的 解，但由于求解域边界的几何形状或问题本身的一些特性很复杂，实际上依靠现 有的数学工具和方法只能够求出少数问题的解析解。克服这些困难的办法，一是 对问题作较多的假设，使问题简化到能够求出解析解来，但这种解答往往与实际 情况相差甚远，得不出实用的解答。二是采用求解问题的近似解答的方法，即采 用数值解法。 数值解法按照分析方法不同可分为区域法、边界法和混合法三类。区域法是 把问题的区域离散为有限个单元或网格，采用在区域上全部或部分满足问题的边 界条件的试函数来近似目标函数，如有限差分法【1 1 、有限单元法【2 】和有限条法【3 j 等。边界法采用在区域内部满足控制微分方程但不满足边界条件的试函数来近似 目标函数，如边界单元法【4 】等；混合法就是在部分区域上满足问题的边界条件的 区域法而在其余区域上采用边界法的组合。 有限差分法把基本方程和边界条件近似地改用差分方程( 代数方程) 来表示， 把求解微分方程问题转换成求解代数方程的问题以获得近似的数值解。有限差分 法求解建立于空间坐标系的流体流动问题有自己的优势，e l 前在流体力学当中仍 占支配地位。但是它应用于几何形状复杂的固体力学阔题时，精度降低，甚至发 生困难。有限单元法是首先将求解域离散为单元组合，在单元的基础上选取近似 试函数，然后建立与原问题的基本方程及边界条件相等效的积分方程或能量泛函， 求解积分方程或泛函变分的近似解；边界元法基于边界积分方程法，将边界积分 方程和有限元离散技术相结合，对边界积分方程在边界上划分单元进行离散，从 而求得数值解。 有限元法的思想最早出现在c o u r a n t 发表于1 9 4 3 的一篇著作中【5 】。1 9 5 6 年， t u r n e r 、c l o u g h 等人应用有限元法在分析飞机结构时取得了成果1 6 j 。1 9 6 0 年c l o u g h 进一步用有限元思想处理了弹性力学平面问题，并第一次提出了“有限单元法” 的名称【7 1 。 有限单元法将所要分析的连续体或工程结构分割成许多较小的区域( 称为单 元或网格) ，由这些单元的集合体代表原来的物体或工程结构，然后以变分原理作 为推导的依据，建立每个单元的有关特性的关系式，再组合起来形成系统的代数 方程就能求得相应物体或工程结构问题的解答。从数学角度来说，有限单元法是 从变分原理或加权残值法出发，通过区域剖分和分片插值，把微分方程问题化为 等价的一组线性代数方程来获得求解的过程。 有限元法最终求解的是线性代数方程组，它的系数矩阵总是对称的、稀疏的， 对于正定的变分问题，有限元离散化后保持了正定性。四十多年来，人们把有限 元方法求解各种问题的计算机程序纳入到一个程序系统中以形成通用程序包，使 有限元方法在科学研究和工程应用中起到了越来越大的作用。它的应用范围也已 由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题：由静力问题扩展到稳定问题、 动力问题和波动问题；分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复 合材料等；从固体力学扩展到流体力学、传热学等领域f 2 】。 尽管有限元法所取得的成就与日俱增，还是面临许多需要解决的问题，主要 有： ( 1 ) 有限元法需要在整个求解域内进行网格划分，划分单元时要注意防止单 元畸变或缠结等现象，如单元不能太狭长、不能局部内凹等，前处理信息量大， 容易出错。尤其是对形状非常复杂的三维体进行网格划分不是一件容易的事情。 ( 2 ) 有限元法不大适合求解无限边界场的边值问题，而只能求解有限边界问 题，因为用有限个单元离散无限区域显然是不可能的。而人为地截取有限的区域 来求解无限区域问题就降低了求解精度。 ( 3 ) 用有限元法难以求解问题域内具有应力奇异特性的问题。例如所求解的 问题具有不规则的凹角或孔洞，因为在奇异点处，理论上应力为无穷大，用有限 元法求解可能产生毫无意义的分析结果。而且由于应力奇异可能弓f 起裂纹扩展， 为了跟踪裂纹尖端的扩展，必须在这个求解域内进行网格重划，给问题的求解带 来了极大的困难。类似的情况还可能发生在有集中荷载作用处或势论问题中有点 源存在处，这时无论单元划分得多么细小，用有限元法得到的结果通常不能反映 出应力在奇异点附近的迅速变化。 ( 4 ) 有限元法的离散技术本身也存在缺陷，它把本来连续的介质用仅在结点 处连续的有限个单元的集合来模拟，不仅带来了离散的误差，而且在单元之间的 连续性要求较高时，单元的构造将变得十分困难。 ( 5 ) 有限元法用位移为求解变量，求解出的应力精度低于位移的精度，对于 不可压缩物体用有限元法求解时存在体积闭锁现象。 上述问题说明有限元方法不是十全十美的，甚至某些不足是有限元方法本身 所固有的，是无法克服的。 为了弥补有限元法的不足，许多科学工作者不断地致力于研究新的数值方法。 边界元法就是继有限元法之后的一种新的数值方法，它起源于经典的积分方程方 法，最初的工作可以追溯到1 9 0 3 年f r e d h o l m 发表的一篇关于积分方程的文章【8 1 。 硕士学位论文 边界积分方程法的基本思想是将描述弹性力学闯题的偏微分方程边值问题归结为 求解一组边界积分方程，若在边界上己知了三个位移分量和三个面力分量中的三 个分量，则可以由边界积分方程确定其他三个未知分量，而任意域内点的位移和 应力可由6 个边界分量通过边界积分来确定。边界元法将边界积分方程和有限元 离散技术相结合，对边界积分方程在边界上划分单元进行离散。所得结果就是由 全部边界结点的三个己知分量来求出全部边界结点的其他三个未知分量。所以边 界元法中包含着有限元法的思想，但边界元法不是有限元法的改进或发展，而是 有着本质的差异。 湖南大学龙述尧把边界元法与有限元法作了比较【4 j 。边界元法的主要优点 有： ( 1 ) 边界元法把所考虑问题的区域的维数降低了一维，模拟问题的区域的边 界比模拟整个区域快而简便。这样求解问题时数据前后处理的时间比有限元法大 大减少。 ( 2 ) 边界元法容易改变网格或单元的离散化格式。 ( 3 ) 边界元法单元的数目大大少于有限元法。 ( 4 ) 边界元法的求解精度比有限元法高。 ( 5 ) 边界元法可以精确地处理不可压缩材料的问题，而有限元法不可能做到。 ( 6 ) 对于无限区域问题，有限元法只能用有限区域来模拟，而边界元法的基 本解已自动满足了无限远处的边界条件，是边界元法最宜应用的领域。 同样，边界元法也有它自身难以克服的缺点。用边界元求解边值问题需要找 到控制微分方程的一个基本解或控制微分方程在无限空间上的格林函数，这对于 某些问题是十分困难的。为了保证边界元法求解的控制方程为常系数偏微分方程， 一般还要求求解区域是均匀介质的。因此，边界元法比较难于求解控制微分方程 为非线性的问题和包含有非均匀介质的问题；虽然边界元法可以把问题的维数减 少一维，但所得的影响系数矩阵是一个非对称、非带状和非稀疏的满秩矩阵。而 在求解非线性问题时，不可避免地包含非线性项的域积分，因此就必须在求解域 内划分网格用以计算非线性项的域积分，而这些积分的精度在非线性问题的收敛 性中起支配作用，那么域内单元或网格的划分就不能太粗糙。这样边界元法可以 把问题的维数降低一维的优越性就不明显了。 总之，有限元、边界元等方法都是以单元为基础的，因此存在的一个共同缺 点是：每次计算前划分网格的工作量大，尤其是对三维问题。当这类方法用于自 适应计算或模拟裂纹扩展时，由于要不断更新网格，使得计算不经济。虽然目前 已有一些网格生成器，但人们还是觉得数据准备占用机时多，不方便 9 a o 。因此 人们呼唤一种不用划分网格的数值方法，即无网格法( m e s h l e s sm e t h o d ：m m ) 或无单元法( e l e m e n tf r e em e t h o d ：e f m ) 。 1 2 无网格法的研究历史和现状 无网格法或无单元法是在有限元法等基础上并针对其网格单元存在的问题而 提出的一类新的数值方法，它用一些随机分布于所考虑问题的求解域内和边界上 的点来模拟而不是用单元来离散求解域及其边界，采用目标函数在这些随机分布 点的值( 或名义结点值) 的局部插值函数( 形函数) 作为近似函数( 试函数) ，来 满足数值求解的局部性要求。再根据变分原理或加权残值法建立系统的控制方程 从而求得问题的解。这样一种在离散模型中仅基于随机分布的结点而不需要划分 单元和网格的数值方法，使分析问题的前处理过程变得简单，在涉及网格畸变、 网格移动等问题中显示出明显的优势。所以，无网格方法被认为是一种很有发展 前途的数值分析方法，是目前国内外计算力学界的热点研究领域之一【l “。 追溯起来，无网格数值方法的研究已有2 0 多年的历史，已提出的无网格数值 方法有2 0 多种。根据前面对无网格方法的定义，可以把对无网格方法的研究归纳 为集中在两个方面，即对构造插值形函数或试函数方法的研究和建立系统控制方 程的方法( 离散原理) 的研究，二者是不可分割的，它们相互影响、相互渗透。 目前在无网格法中使用的插值函数构造方法主要有：核函数法、最小二乘法、 单位分解法和径向基函数法等l l “。 采用核函数近似及再生核函数近似的无网格方法有光滑粒子流体动力学 ( s m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ：s p h ) 方法1 1 3 , 1 “、重构或再生核粒子法 ( r e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d ：r k p m ) 1 5 , 1 6 j 等。s p h 法由l u c y 和g i n g o l d 等在1 9 7 7 年分别提出，被公认为是第一种无网格方法。近十年来，s w e g l e ( 1 9 9 5 ) 、 d y k a ( 1 9 9 4 ) 和c h e n 等( 1 9 9 9 ) 分析了s p h 法不稳定的起因并提出各种稳定化 方案 1 7 - 1 9 1 ，j o n h s o n 等( 1 9 9 6 ) 提出了归一化光滑函数算法 2 0 1 ，v i g n j e v i c 等( 2 0 0 0 ) 提出了克服s p h 法零能模态的方案2 1 , 2 2 1 ，使s p h 法不断完善并成功地应用于天 体物理领域和复杂流体动力学等问题。国内学者也对s p h 法进行了研究，如中科 院应用数学所张锁春( 1 9 9 6 ) 对s p h 法进行了综述【2 3 1 ，国防科大贝新源等( 1 9 9 7 ) 将其应用于高速碰撞问题【2 4 1 。总体说来，s p h 法计算效率不高，计算精度和稳定 性也还存在一些问题。 1 9 9 5 年，美国西北大学计算力学学者l i uw k 等【l 副在s p h 法基础上并基于 g a l e r k i n 法和积分变换思想提出了再生核粒子法( r k p m ) ，目前，r k p m 已能对 大量的科学与工程问题进行了数值模拟分析，如结构力学分析【2 5 】、应力集中问题 1 2 6 1 、流体动力学问题1 2 7 , 2 8 】、动态断裂问题和局部化分析【2 9 , 3 0 、大变形分析【3 1 】、金 属加工成形问题【3 2 1 、中厚梁板3 3 i 和微电子机械系统中的应用【3 4 1 等。最近，西安交 通大学周进雄等1 3 5 ( 2 0 0 2 ) r l ir k p m 做了很好的综述。 1 9 8 1 年，l a n c a s t e r 等提出了移动最小二乘法( m o v i n gl e a s ts q u a r e sm e t h o d ： m l s ) 1 3 6 。m l s 是无网格方法中构造插值函数韵主要方法，为无网格法的发展奠 定了重要基础，并成为目前最流行的试函数构造方法。 1 9 9 2 年，n a y r o l e s 等将移动最小二乘法( m l s ) 用于g a l e r k i n 方法中，并使 用了一种称之为散射元( d i f f u s ee l e m e n t ) 的新单元，他们将其称为散射元法 ( d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d s ：d e m ) 【3 ”。在这种方法中，位移函数的形成和区域积 分的实现都已经做到了脱离单元。 1 9 9 4 年，美国西北大学著名学者b e l y t s c h k o 等对d e m 进行了改进，即在计 算形函数导数时保留下被n a y r o l e s 忽略掉的项，利用l a g r a n g e 乘子法施加本质 边界条件和采用高阶高斯积分完成区域积分等，提出了无单元伽辽金法( t h e e l e m e n t f r e eg a l r k i nm e t h o d s ：e f g m ) 3 8 , 3 9 1 ，并成功地解决了一系列有限元法不 能很好解决的问题【4 0 t 4 。近十年来，人们对e f g m 投入了大量的研究，已经把 e f g m 成功地应用于结构动力分析4 2 l 裂纹扩展与断裂、弹塑性问题4 4 ，45 1 、几 何非线性问题4 6 l 、功能梯度材料断裂和压电材料行为 4 7 , 4 8 1 、复杂流体和渗流问题 4 9 , 5 0 1 以及岩土工程5 1 。5 3 】、材料加工和表面处理【5 4 s 6 等问题中。所以，e f g m 是无 网格方法中发展比较成熟、应用比较广泛的一种方法；研究表明，：e f g m 精度和 收敛速度都高于有限元法，而且没有体积锁死现象。 e f g m 有其不足之处，那就是其近似函数不通过结点变量，即不满足万函数 性质，使得所求解问题的本质边界条件不能直接施加。对此人们提出了多种处理 的方法，如直接配点法【5 7 l ；修正的配点法1 5 8 】；拉格朗日乘子法 5 9 】；基于达朗伯原 理的方法【6 0 】：修正的变分原理法【6 l l ：罚因子( 函数) 法【6 2 ；与有限元耦合法 6 3 ； 节点值变换法【6 4 l 和把边界力作为拉氏乘子、利用本质边界条件的弱形式、修正的 权函数法【6 5 等。用拉格朗日乘子法施加本质边界条件时，增加了未知量的数目， 同时，离散线性系统也不再是对称正定的。在修正的变分原理中，由所假定的位 移场而得到的面力作为拉氏乘子当然可以减少未知量的数目，但是它们也可能是 不稳定的解，而且不如直接加上本质边界条件那样方便。与有限元耦合法则在某 种程度上削弱了方法的无网格特征。总的说来，该方法的应用还是比较麻烦。同 时该方法计算系统方程时需要背景积分网格，因此不是真正的无网格法。 1 9 9 8 年，美国c a l i f o r n i a 大学的z h ut 和a t l u r i 等基于m l s 法，通过对控制 积分方程分部积分两次，提出了局部边界积分方程法( l o c a lb o u n d a r yi n t e g r a l e q u a t i o n ：l b i e ) 6 6 - 6 8 1 ，该方法既不需要插值网格，也不需要积分网格，是一种“真 正的无网格法”。后来，湖南大学龙述尧等研究了弹性力学问题( 2 0 0 0 ) 和薄板问 题( 2 0 0 3 ) 的局部边界积分方程方法【6 9 , 7 0 】，并对其“友解( c o m p a n i o ns o l u t i o n ) ” 和权函数基函数等问题( 2 0 0 4 ) 进行了系统研究1 7 1 , 7 2 。 同年，a t l u r i 和z h ut 等又基于m l s 法和局部p e t r o v g a l e r k i n 离散法，提出 了无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法( m e s h l e s sl o c a lp e t r o v g a l e r k i n ：m l p g ) 7 3 , 7 4 ，用 于求解带调和算子的拉普拉斯方程和泊松方程，近年又用于解稳态不可压流的 n a v i e r s t o k e s 方程 7 5 】和具应变梯度的材料分析【7 6 1 。湖南大学龙述尧等对m l p g 方法进行了系统地研究，并分别提出弹性力学问题77 1 、地基上梁问题 7 8 , 7 9 】、弹性 扳和各向异性板问题、弹塑性和几何非线性等问题的m l p g 分析。 m l p g 法采用m l s 近似函数的权函数作为加权残值法的加权函数，这种方 法只包含中心在所考虑点处的规则局部区域及其边界上的积分，所得系统矩阵是 一个带状稀疏矩阵。所以该方法是一种“真正的无网格法”，且具有收敛快、精度 高、稳定性好等优点。 由于m l p g 法采用m l s 法构造试函数，显然也会有本质边界条件难以直接 旌加的困难。因此人们开始考虑采用其它试函数构造方法替代最小二乘法以避免 试函数不满足占函数特性的情况，并取得了一些成果。如最近r a i u 等( 2 0 0 3 ) 提 出基于径向基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n sm e t h o d ：r b f ) 梁问题的m l p g 分析 哺o ，“j ；s h e ns p 和a t l u r is n 从m l p g 法可采用的各种函数近似方式和不同离散 格式进行全面研究，提出了m l p g 法的六种不同形式，拓展了m l p g 法理论和应 用范围 8 2 , 8 3 1 。 1 9 9 6 年，美国计算数学著名学者b a b u s k a 与他的学生m e l e n k 等将单位分解 法与有限元法相结合，提出了单位分解有限元法一( t h ep a r t i t i o no fu n i t ym e t h o d ： p u m ) 8 4 , 8 5 】和广义有限元法 8 6 】。该方法在标准有限元空间中加入一系列能够反映 待求边值问题特性的函数( 如由角点附近精确解的局部渐进展开而得到的奇异函 数) ，并将这些特殊函数与单位分解函数相乘后和原有的有限元函数一起构成了新 的增广协调有限元空间。用该方法求解动态裂纹扩展问题时【87 1 ，可以处理任意裂 纹形状，并且不需要重新划分网格。清华大学刘欣等将p u m 用于求解奇异问题 中【9 8 】。 1 9 9 5 年，b r a u n 和s a m b r i d g e 基于自然邻域插值( n a t u r a ln e i g h b o ri n t e r p o l a t i o n ： n n i ) 构造试函数与权函数，提出了一种求解偏微分方程的自然单元方法( n a t u r a l e l e m e n tm e t h o d ：n e m ) 眇j 。n e m 是一种基于v o r o n o i 图形和d e l a u n a y 三角化几 何结构、以自然邻点插值为试函数的一种新的求解偏微分方程的数值解法。 “v o r o n o i 图形”概念由d i r i c h l e t ( 1 8 5 0 ) 和v o r o n o i ( 1 9 0 5 ) 提出，最初应用于 计算几何学中曲线曲面拟合和地质学中绘制地形图 9 0 - 9 2 。e a u r e n h a m m e r 等对用 点的v o r o n o i 结构再现任意曲面和三维实体作了详细的论述 9 3 1 。b r a u n 和 s a m b r i d g e 将力学问题中的目标解变量看成空间中的某任意曲面，由此提出了自 然元法。由于形函数各分量非负且之和为1 ，因此后来人们把自然单元法归为单 位分解法一类。s u k u m a r 等1 9 9 8 年将n e m 用于弹性力学应力高梯度和平面裂纹 问题分析【9 ，后于1 9 9 9 年又提出c 1 连续型的自然元插值试函数求解了四阶椭圆 型微分方程问题【9 5 1 。2 0 0 1 年提出了基于非s i b s o n 插值( l a p l a c e 插值) 的自然元 硕士学位论文 g a l e r k i n 法( n a t u r a ln e i g h b o u rg a l e r k i nm e t h o d s ：n n g ) 9 6 ，97 1 ，求解线弹性力学中的 椭圆型偏微分方程。国内北京大学朱怀球等( 2 0 0 1 ) 基于v o r o n o i 元胞与c 。插值基 函数提出了一种流体力学的自然元方法【9 。 自然元法是本文研究的中心内容，该方法与其它无网格法的最根本的区别在 于其插值格式不同，它使用自然邻点的l e b e s g u e 测度( 在一维、二维、三维问题 中分别是长度、面积和体积) 为插值依据而不是使用预先选取的基函数。将自然 邻插值用于g a l e r k i n 过程，就得到自然元g a l e r k i n 法。同济大学蔡永昌等1 9 9 】( 2 0 0 3 ) 将自然邻插值用于m l p g 方法中提出了自然元m l p g 方法，求解了弹性力学平面 问题。该方法不用背景积分网格，又由于自然邻插值形函数满足艿函数性质，不 存在m l s 插值方法遇到的不能直接施加本质边界条件的困难。因此应具有广阔 的发展空间，值得作进一步研究。 除了上述几种方法以外，人们还提出了许多其它种类的无网格方法，如： 2 0 0 1 年，新加坡华裔学者l i ug r 等 1 0 0 基于g a l e r k i n 法和局部p e t r o v g a l e r k i n 法，用点插值法( p o i n ti n t e r p o l a t i o nm e t h o d ：p i m ) 取代移动最小二乘法来构造形函 数，提出了一系列无网格点插值法，并很好地分析了带孔无限板、桥墩、地基固 结、坝体等问题。 2 0 0 1 年，清华大学张雄、陆明万等在f p m 法格式基础上引入辅助点和采用加 权残值法、最小二乘法求解，提出了最小二乘配点无网格法【l “1 ( l e a s t s q u a r e s c o l l o c a t i o n m e s h l e s s m e t h o d ：l s c m ) 和加权最小二乘配点无网格法1 1 0 2 】( w e i g h t e d l e a s t s q u a r e sc o l l o c a t i o nm e s h l e s sm e t h o d ：w l s c m ) ( 2 0 0 3 ) ，同时还在子域插值 和配点法的基础上提出分阶拟合直接配点无网格法 1 0 3 ，是有发展前途的无网格方 法亨一。 1 3 论文的研究内容及意义 无网格方法的发展仅二十多年时间，许多关键阎题有待开展更深入的研究。 在未来的发展中，无网格法的主要工作将集中于如何选择适当的权函数并选取高 效合理的积分方案，方便准确地描述边界条件并进行多尺度分析，同时计算效率和 并行计算技术也将成为无网格法研究的一个主要方面。 如前所述，m l p g 法是一种积分型“纯”无网格法，它既保留了g a l e r k i n 积 分型无单元法求解精度高和稳定性好的优点，又由于采用局部子域上积分方程离 散格式，使所有的积分都在任意规则形状的子域及其边界上进行，不需要g a l e r k i n 积分型无单元法的背景积分网格，所以分析问题更显灵活和方便。但它依据m l s 法构造近似函数，由于近似函数不满足万函数性质，使得问题的本质边界条件难 以直接施加。且近似函数构造过程中如何选取合适的基函数，如何选取合适的权 无网格自然元法及其应用 函数以及如何确定其有关参数的优化方案，如何确定插值点的支持域半径或插值 基点的影响域半径等问题都将直接影响到该方法的求解精度。 自然元法构造的插值函数满足万函数性质，因此问题的本质边界条件可以直 接施加。文献 9 9 在此基础上应用局部p e t r o v - g a l e r k i n 法提出了自然元m l p g 方 法，求解了弹性力学平面问题，并引入了三结点有限元的形函数作为权函数，简 化了系统方程的积分，大大提高了求解效率。本文在此基础上，把基于v o r o n o i 图形的局部p e t r o v g a l e r k i n 法推广应用于裂纹问题的分析。根据应用表明：该方 法还有许多领域有待开发，如接触问题、场耦合问题、板壳问题等。因此，本文 尝试将该方法进一步推广应用于k i r c h h o f f 板弯曲问题的求解。 k i r c h h o f f 板的实际应用很广，随着现代航空、航天、造船、建筑、公路等工 业或工程的发展，对板结构的分析和计算提出了更高的要求。板所包含的问题很 多，有静力问题也有动力问题，有线性问题也有非线性和奇异性问题。k i r c h h o f f 板弯曲的控制微分方程为四阶偏微分方程，解这种高阶偏微分方程边值问题，除 少数几个简单规则板能得到解析解外，对一般形状和边界支撑( 约束) 的板往往 需要采用有限元等数值方法来求解。用有限元法求解薄板问题所存在的困难有： ( 1 ) 划分单元网格等烦琐的前处理过程，且网格划分的疏密直接影响有限元 解的精度和效率； ( 2 ) 要求单元交界面保证c 1 连续性，这给单元的构造带来相当大的困难， 板壳问题有限元法的中心问题一直是如何构造合乎要求的单元： ( 3 ) 内力或应力解不连续，其精度低于位移精度，且需要后处理分析； ( 4 ) 难于处理开孔板、裂纹板等具有应力奇异的问题。采用无网格法可以很 好地解决上述问题。 所以，选择研究基于自然元法的无网格局部彼得洛夫一伽辽金方法及其在板 问题中的应用具有理论和实际意义。 本文所研究的课题是导师龙述尧教授的国家自然科学基金资助项目“无网格 局部彼得洛夫一伽辽金法及其在非线性力学中的应用”的一个子项。文中采用自 然元法插值函数作为试函数，讨论了试函数与用m l s 法构造的试函数的区别、 计算过程中权函数的选取和权函数对计算结果的影响。最后用算例验证了本文方 法的可行性，得出了一些结论。 本文的工作主要有： 第一章在大量阅读文献的基础上，系统地综述了无网格方法的发展历史、现 状、特点以及各种无网格方法的优缺点。 第二章详细介绍了c 。连续的自然元插值方法、插值函数的有关性质、证明 了c o 插值试函数在问题域边界的线性连续性。采用三角形内的h a m m e r 数值积分 技术用于自然元法等效积分弱形式的积分计算，通过分片试验验证了其可行性。 第三章基于b e r n s t e i n b 6 z i e r 曲面理论，推导了c 1 连续的自然元插值函数， 并讨论了其性质。 第四章采用c 。自然元插值函数，用无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法求解了弹 性力学平面问题，多相材料平面问题和裂纹扩展问题：考察了权函数的选取以及 问题域凹边界上结点布置对求解精度的影响； 第五章简要地介绍k i r e h h o f f 板微分方程，内力方程，边界条件及动力问题的 初始条件。构造了具有c 1 连续性的挠度函数的自然邻结点插值函数，提出了以三 结点有限元形函数为变量的b e r n s t e i n b z i e r 基函数为权函数，利用 p e t r o v g a l e r k i n 法建立离散系统方程，利用无网格自然元法求解了在不同荷载及 边界条件下，各种形状的k i r e h h o f f 板弯曲问题。 最后对全文进行总结并得出了一些有意义的结论，对以后的研究工作作了一 些展望。 无网格自然元法及其应用 2 1 引言 第2 章c o 自然元插值函数 自然元法( n a t u r a le l e m e n tm e t h o d ：n e m ) 构造插值函数( 形函数) 采用自 然邻插值( n a t u r a ln e i g b o u ri n t e r p o l a t i o n ：n n i ) 算法，自然邻插值算法又分为 s i b s o n 插值【1 0 4 ，1 0 5 】和非s i b s o n 插值 9 7 , 1 0 7 】( l a p a c e 插值) 两种。本文采用s i b s o n 插值，即使用点的l e b e s g u e 测度( 在一维、二维和三维问题中分别为长度、面积 和体积) 进行插