度高中数学 2.2.2直线与圆的位置关系同步辅导与检测课件 苏教版必修2.ppt

2 2圆与方程2 2 2直线与圆的位置关系 平面解析几何初步 为了更好地了解鲸的生活习性 某动物保护组织在受伤的鲸身上安装了电子监测装置 从海岸放归点a处 如下图所示 把它入归大海 并沿海岸线由西到东不停地对鲸进行了长达40分钟的跟踪观测 每隔10分钟踩点测得数据如下表 设鲸沿海面游动 然后又在观测站b处对鲸进行生活习性的详细观测 已知ab 15km 观测站b的观测半径为5km 写出a b近似满足的关系式 并预测 若按此关系式运动 那么鲸经过多长时间可进入观测站b的范围 1 直线与圆的位置关系有 三种 2 1 若直线与圆相交 圆心到直线的距离d 圆的半径r 2 若直线与圆相切 圆心到直线的距离d 圆的半径r 3 若直线与圆相离 圆心到直线的距离d 圆的半径r 1 相交相切相离2 1 3 由方程组消去y 可得关于x的一元二次方程2x2 2bx b2 2 0 方程的根的判别式 1 当 时 0 方程组有两组不同的实数解 因此直线与圆相交 2 当 时 0 方程组有两组相同的实数解 因此直线与圆相切 3 当 时 0 方程组没有实数解 因此直线与圆相离 16 4b2 1 22 4 若p x0 y0 y0 0 是圆x2 y2 r2上一点 过p x0 y0 的直线与圆相切 则切线的斜率为 切线方程为 5 过圆 x a 2 y b 2 r2外一点p x0 y0 作圆的切线pt t为切点 则切线长pt 直线与圆的位置关系 直线与圆相交 有两个公共点 直线与圆相切 只有一个公共点 直线与圆相离 没有公共点 判定直线与圆的位置关系的方法 圆中的弦长公式 直线与圆位置关系的判定 已知圆x2 y2 8 定点p 4 0 问过p点的直线的斜率在什么范围内取值时 这条直线与已知圆 1 相切 2 相交 3 相离 并写出过p点的切线方程 分析 1 代数法 设出直线的点斜式方程 与圆的方程联立 根据直线与圆的位置关系确定 与0的关系 求出k的范围 2 几何法 设直线的点斜式方程 求出圆心到直线的距离d 根据直线与圆的位置关系确定d与r的大小 进而求出k的范围 解析 解法一 设过p点的直线的斜率为k 由已知k存在 则其方程为y k x 4 由消去y 得x2 k2 x 4 2 8 即 1 k2 x2 8k2x 16k2 8 0 8k2 2 4 1 k2 16k2 8 32 1 k2 1 令 0 即32 1 k2 0 解得k 1 当k 1时 直线与圆相切 切线方程为x y 4 0或x y 4 0 2 令 0 即32 1 k2 0 解得1 k 1 当 1 k 1时 直线与圆相交 3 令 0 即32 1 k2 0 解得k 1或k 1 当k 1或k 1时 直线与圆相离 解法二 设过p点直线的斜率为k 由已知k存在 则其方程为y k x 4 即kx y 4k 0 变式训练 1 已知圆c x 1 2 y 2 2 25 直线l 2m 1 x m 1 y 7m 4 0 m r 1 证明直线l与圆相交 2 求直线l被圆c截得的弦长最小时 直线l的方程 切线方程 求经过点 1 7 与圆x2 y2 25相切的切线方程 分析 显然点 1 7 在圆外 因此可用点斜式方程求解 同时也可以求切点 利用两点式求切线方程 解析 点 1 7 代入圆方程12 7 2 50 25 过圆外一点与圆相切的切线方程求法有三种 解法一 设切线的斜率为k 由点斜式有y 7 k x 1 即y k x 1 7 将 代入圆方程x2 y2 25得x2 k x 1 7 2 25 整理得 k2 1 x2 2k2 14k x k2 14k 24 0 2k2 14k 2 4 k2 1 k2 14k 24 0 由此解出再代回 可得切线方程为4x 3y 25 0或3x 4y 25 0 从过程可以看到 利用此法求切线方程 一般过程冗长 计算书写量大而繁杂 容易出现错误 通常情况下不用此法 解法三 设所求切线方程为x0 x y0y 25 将坐标 1 7 代入后得x0 7y0 25 故所求切线方程为4x 3y 25 0或3x 4y 25 0 规律总结 求切线一般有三种方法 1 设切点 用切线公式法 2 设切线斜率 用判别式法 3 设切线斜率 用圆心到切线距离等于圆半径法 一般地 过圆外一点可向圆作两条切线 在后两种方法中 应注意斜率不存在的情况 综合应用 根据气象台预报 在a市正东方向300km的b处有一台风中心形成 并以40km h速度向西北方向移动 在距台风中心250km以内的地区将受其影响 从现在起经过多长时间 台风将影响a市 持续时间多长 精确到0 1h 分析 解决实际问题的关键是如何把实际问题数学化 通常通过建系来实现 解析 以a为圆心 250km为半径作 a 当台风中心移动所经过的直线l与 a相交或相切时 a市将受到台风影响 建立如图所示的坐标系 那么点a b的坐标分别为 0 0 300 0 a的方程为x2 y2 2502 直线l的方程为y x 300 即x y 300 0 y 0 规律总结 1 在学习中要注意联系实际 重视数学在生产 生活及相关学科中的运用 2 解有关实际应用问题时 关键要明确题意 掌握建立数学模型的基本方法 3 数学实际应用问题 在多年来的高考中得到了重视 除了在选择 填空中出现外 近几年都有解答题出现 应引起重视 平时多做练习 以提高解决实际问题的能力 变式训练 2 设有半径为3km的圆形村落 a b两人同时从村落中心出发 a向东而b向北前进 a出村后不久 改变前进方向 斜着沿切于村落周界的方向前进 后来恰好与b相遇 设a b两人的速度都一定 其比为3 1 问a b两人在何处相遇 解析 由题意可设a b两人的速度分别为3vkm h vkm h 再设a出发后x0小时 在点p处改变方向 又经y0小时 在点q处与b相遇 则p q两点的坐标分别为 3vx0 0 0 vx0 vy0 由于a从p到q行走的时间是y0小时 于是由勾股定理有op2 oq2 pq2 有关最值问题 规律总结 涉及与圆有关的最值问题 可借助图形性质 利用数形结合求解 对于 形如u 的最值问题 可转化为动直线斜率的最值问题 形如l ax by的最值问题 可转化为动直线截距的最值问题 形如 x a 2 y b 2的最值问题 可转化为圆上的点到已知定点 a b 的距离的平方的最大值和最小值问题 变式训练 3 圆x2 y2 1上的点到直线3x 4y 25 0的距离的最小值是 4