高考数学大一轮复习 2.2函数的单调性与最值课件 理 苏教版.ppt

2 2函数的单调性与最值 数学苏 理 第二章函数概念与基本初等函数 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 函数的单调性 1 单调函数的定义 f x1 f x2 f x1 f x2 上升的 下降的 2 单调区间的定义如果函数y f x 在区间d上是或 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 叫做函数y f x 的单调区间 增函数 减函数 区间d 2 函数的最值 f x m f x0 m f x m f x0 m 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数y 的单调递减区间是 0 0 2 对于函数f x x d 若x1 x2 d 且 x1 x2 f x1 f x2 0 则函数f x 在d上是增函数 3 函数y x 是r上的增函数 4 函数y f x 在 1 上是增函数 则函数的单调递增区间是 1 5 函数f x log5 2x 1 的单调增区间是 0 6 函数y 的最大值为1 1 2 解析 函数f x x2 2ax 3的图象开口向上 对称轴为直线x a 画出草图如图所示 由图象可知函数在 a 和 a 上都具有单调性 因此要使函数f x 在区间 1 2 上具有单调性 只需a 1或a 2 从而a 1 2 题型一函数单调性的判断 解析 思维升华 题型一函数单调性的判断 解设 1 x1 x2 1 1 x1 x2 1 解析 思维升华 题型一函数单调性的判断 又 a 0 f x1 f x2 0 函数f x 在 1 1 上为减函数 解析 思维升华 题型一函数单调性的判断 对于给出具体解析式的函数 证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法 可以利用定义 基本步骤为取值 作差或作商 变形 定号 下结论 求解 可导函数则可以利用导数解之 解析 思维升华 解析 思维升华 由u x2 x 6 0 得x 3或x 2 解析 思维升华 解析 思维升华 复合函数y f g x 的单调性规律是 同则增 异则减 即y f u 与u g x 若具有相同的单调性 则y f g x 为增函数 若具有不同的单调性 则y f g x 必为减函数 解析 思维升华 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 令u x2 4x 3 0 则x3 函数y x2 4x 3 的定义域为 1 3 又u x2 4x 3的图象的对称轴为x 2 且开口向上 在 3 上是增函数 而函数y u在 0 上是减函数 y x2 4x 3 的单调递减区间为 3 单调递增区间为 1 解析 答案 思维升华 题型二利用单调性求参数范围 例2 1 如果函数f x ax2 2x 3在区间 4 上是单调递增的 则实数a的取值范围是 题型二利用单调性求参数范围 例2 1 如果函数f x ax2 2x 3在区间 4 上是单调递增的 则实数a的取值范围是 当a 0时 f x 2x 3 在定义域r上是单调递增的 故在 4 上单调递增 解析 答案 思维升华 题型二利用单调性求参数范围 例2 1 如果函数f x ax2 2x 3在区间 4 上是单调递增的 则实数a的取值范围是 因为f x 在 4 上单调递增 解析 答案 思维升华 题型二利用单调性求参数范围 例2 1 如果函数f x ax2 2x 3在区间 4 上是单调递增的 则实数a的取值范围是 因为f x 在 4 上单调递增 解析 答案 思维升华 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点 若函数在区间 a b 上单调 则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的 分段函数的单调性 除注意各段的单调性外 还要注意衔接点的取值 题型二利用单调性求参数范围 例2 1 如果函数f x ax2 2x 3在区间 4 上是单调递增的 则实数a的取值范围是 解析 答案 思维升华 答案 思维升华 解析 由已知条件得f x 为增函数 答案 思维升华 解析 由已知条件得f x 为增函数 答案 思维升华 解析 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点 若函数在区间 a b 上单调 则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的 分段函数的单调性 除注意各段的单调性外 还要注意衔接点的取值 答案 思维升华 解析 跟踪训练2 1 若f x x2 2ax与g x 在区间 1 2 上都是减函数 则a的取值范围是 0 1 故0 a 1 4 8 题型三利用函数的单调性求最值 解析 思维升华 题型三利用函数的单调性求最值 解令x1 x2 0 代入得f 1 f x1 f x1 0 故f 1 0 解析 思维升华 题型三利用函数的单调性求最值 解析 思维升华 题型三利用函数的单调性求最值 2 求函数最值的常用方法 单调性法 基本不等式法 配方法 图象法 导数法 解析 思维升华 解析 思维升华 例3 2 证明 f x 为减函数 例3 2 证明 f x 为减函数 解析 思维升华 例3 2 证明 f x 为减函数 即f x1 f x2 0 因此f x1 f x2 所以函数f x 在区间 0 上是减函数 解析 思维升华 例3 2 证明 f x 为减函数 解析 思维升华 例3 2 证明 f x 为减函数 2 求函数最值的常用方法 单调性法 基本不等式法 配方法 图象法 导数法 解析 思维升华 解析 思维升华 例3 3 若f 3 1 求f x 在 2 9 上的最小值 例3 3 若f 3 1 求f x 在 2 9 上的最小值 解 f x 在 0 上是减函数 f x 在 2 9 上的最小值为f 9 解析 思维升华 例3 3 若f 3 1 求f x 在 2 9 上的最小值 f 9 2f 3 2 即f x 在 2 9 上的最小值为 2 解析 思维升华 例3 3 若f 3 1 求f x 在 2 9 上的最小值 解析 思维升华 2 求函数最值的常用方法 单调性法 基本不等式法 配方法 图象法 导数法 例3 3 若f 3 1 求f x 在 2 9 上的最小值 解析 思维升华 跟踪训练3 1 如果函数f x 对任意的实数x 都有f 1 x f x 且当x 时 f x log2 3x 1 那么函数f x 在 2 0 上的最大值与最小值之和为 跟踪训练3 1 如果函数f x 对任意的实数x 都有f 1 x f x 且当x 时 f x log2 3x 1 那么函数f x 在 2 0 上的最大值与最小值之和为 则函数f x 在 2 0 上的最大值与最小值之和为f 2 f 0 f 1 2 f 1 0 f 3 f 1 log28 log22 4 4 6 答题模板系列1利用函数的单调性解不等式 典例 函数f x 对任意的m n r 都有f m n f m f n 1 并且x 0时 恒有f x 1 1 求证 f x 在r上是增函数 规范解答 温馨提醒 思维点拨 对于抽象函数的单调性的证明 只能用定义 应该构造出f x2 f x1 并与0比较大小 答题模板系列1利用函数的单调性解不等式 典例 函数f x 对任意的m n r 都有f m n f m f n 1 并且x 0时 恒有f x 1 1 求证 f x 在r上是增函数 规范解答 温馨提醒 思维点拨 证明设x1 x2 r 且x10 答题模板系列1利用函数的单调性解不等式 典例 函数f x 对任意的m n r 都有f m n f m f n 1 并且x 0时 恒有f x 1 1 求证 f x 在r上是增函数 当x 0时 f x 1 f x2 x1 1 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 1 规范解答 温馨提醒 思维点拨 f x2 f x1 f x2 x1 1 0 f x1 f x2 答题模板系列1利用函数的单调性解不等式 典例 函数f x 对任意的m n r 都有f m n f m f n 1 并且x 0时 恒有f x 1 1 求证 f x 在r上是增函数 f x 在r上为增函数 规范解答 温馨提醒 思维点拨 答题模板系列1利用函数的单调性解不等式 典例 函数f x 对任意的m n r 都有f m n f m f n 1 并且x 0时 恒有f x 1 1 求证 f x 在r上是增函数 本题对函数的单调性的判断是一个关键点 不会运用条件x 0时 f x 1 构造不出f x2 f x1 f x2 x1 1的形式 便找不到问题的突破口 规范解答 温馨提醒 思维点拨 答题模板系列1利用函数的单调性解不等式 典例 函数f x 对任意的m n r 都有f m n f m f n 1 并且x 0时 恒有f x 1 1 求证 f x 在r上是增函数 第二个关键应该是将不等式化为f m f n 的形式 解决此类问题的易错点 忽视了m n的取值范围 即忽视了f x 所在的单调区间的约束 规范解答 温馨提醒 思维点拨 2 若f 3 4 解不等式f a2 a 5 2 规范解答 温馨提醒 思维点拨 答题模板 2 若f 3 4 解不等式f a2 a 5 2 将函数不等式中的抽象函数符号 f 运用单调性 去掉 是本题的切入点 要构造出f m f n 的形式 规范解答 温馨提醒 思维点拨 答题模板 2 若f 3 4 解不等式f a2 a 5 2 解 m n r 不妨设m n 1 f 1 1 f 1 f 1 1 f 2 2f 1 1 f 3 4 f 2 1 4 f 2 f 1 1 4 3f 1 2 4 f 1 2 f a2 a 5 2 f 1 f x 在r上为增函数 a2 a 5 1 3 a 2 即a 3 2 规范解答 温馨提醒 思维点拨 答题模板 2 若f 3 4 解不等式f a2 a 5 2 解函数不等式问题的一般步骤 第一步 定性 确定函数f x 在给定区间上的单调性 第二步 转化 将函数不等式转化为f m f n 的形式 第三步 去f 运用函数的单调性 去掉 函数的抽象符号 f 转化成一般的不等式或不等式组 第四步 求解 解不等式或不等式组确定解集 第五步 反思 反思回顾 查看关键点 易错点及解题规范 规范解答 温馨提醒 思维点拨 答题模板 2 若f 3 4 解不等式f a2 a 5 2 本题对函数的单调性的判断是一个关键点 不会运用条件x 0时 f x 1 构造不出f x2 f x1 f x2 x1 1的形式 便找不到问题的突破口 第二个关键应该是将不等式化为f m f n 的形式 解决此类问题的易错点 忽视了m n的取值范围 即忽视了f x 所在的单调区间的约束 规范解答 温馨提醒 思维点拨 答题模板 方法与技巧 1 利用定义证明或判断函数单调性的步骤 1 取值 2 作差 3 定量 4 判断 2 判断单调性的常用方法 定义法 图象法 导数法 失误与防范 1 区分两个概念 函数的单调区间 和 函数在某区间上单调 前者指函数具备单调性的 最大 的区间 后者是前者 最大 区间的子集 2 若函数在两个不同的区间上单调性相同 则这两个区间要分开写 不能写成并集 例如 函数f x 在区间 1 0 上是减函数 在 0 1 上是减函数 但在 1 0 0 1 上却不一定是减函数如函数f x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析由题意知f x 在 0 上是减函数 中 f x x 1 2在 0 1 上是减函数 在 1 上是增函数 中 f x ex是增函数 中 f x ln x 1 是增函数 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 已知函数f x 2ax2 4 a 3 x 5在区间 3 上是减函数 则a的取值范围是 解析当a 0时 f x 12x 5 在 3 上是减函数 综上a的取值范围是0 a 3 2014 天津改编 函数f x x2 4 的单调递增区间是 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 解析因为y t在定义域上是减函数 所以求原函数的单调递增区间 即求函数t x2 4的单调递减区间 结合函数的定义域 可知所求区间为 2 4 已知f x 为r上的减函数 则满足f f 1 的实数x的取值范围是 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 所以x的取值范围是x 1或x 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5 定义新运算 当a b时 a b a 当a b时 a b b2 则函数f x 1 x x 2 x x 2 2 的最大值等于 解析由已知得当 2 x 1时 f x x 2 当1 x 2时 f x x3 2 f x x 2 f x x3 2在定义域内都为增函数 f x 的最大值为f 2 23 2 6 6 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析设t x2 2x 3 由t 0 即x2 2x 3 0 解得x 1或x 3 所以函数的定义域为 1 3 因为函数t x2 2x 3的图象的对称轴为x 1 所以函数在 1 上单调递减 在 3 上单调递增 又因为y 在 0 上单调递增 所以函数f x 的增区间为 3 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 7 已知函数f x 是 0 上的增函数 若f a2 a f a 3 则实数a的取值范围为 解得 33 所以实数a的取值范围为 3 1 3 3 1 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 函数f x 在区间 2 上是增函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 9 已知函数f x a 0 x 0 1 求证 f x 在 0 上是增函数 证明设x2 x1 0 则x2 x1 0 x1x2 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 由0 x1 x2 2 得x2 x1 0 x1 1 x2 1 0