高中数学 4.1角的概念及任意角的三角函数配套课件 理 新人教A版.ppt

第一节角的概念及任意角的三角函数 三年3考高考指数 1 了解任意角的概念 弧度的意义 2 能正确地进行弧度与角度的换算 3 理解任意角的正弦 余弦 正切的定义 4 了解余切 正割 余割的定义 1 弧度与角度的换算及任意角的三角函数定义是本节的重点 三角函数定义的应用是难点 2 本节一般不会单独命题 但本节内容是后续学习的基础 1 任意角的相关概念 1 任意角 定义 角可以看成平面内 绕着 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 分类 正角 和 2 终边相同的角所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合s 一条射线 端点 负角 零角 k 360 k z 3 象限角 k 360 k 360 90 k z k 360 90 k 360 180 k z k 360 180 k 360 270 k z k 360 270 k 360 360 k z 即时应用 思考 1 始边和终边都分别相同的两个角一定相等吗 2 k 360 90 k z 是第几象限角 3 在平面直角坐标系中 始边与x轴正半轴重合的60 与120 角的终边有什么关系 提示 1 不一定 始边和终边都分别相同的两个角可能相等 也可能相差360 的整数倍 2 不是任何象限的角 k 360 90 k z 是终边落在y轴非负半轴上的角 不是任何象限的角 3 关于y轴对称 数形结合易知 2 角度制与弧度制 1 角度制与弧度制的互化360 rad 1 rad 1rad 57 30 2 扇形的弧长与面积设扇形的弧长为l 圆心角为 rad 半径为r 面积为s 则l s 2 57 18 r 即时应用 1 30 rad 45 rad 60 rad 90 rad 2 3 半径为1 圆心角为120 的扇形的弧长为 面积为 解析 1 30 同理可得45 60 90 2 3 120 角的弧度数为 弧长 面积s 答案 1 2 120150 3 3 任意角的三角函数 1 定义 条件 设 是一个任意角 其终边上任意一点p 除端点外 的坐标是 x y 它与原点的距离 op r 图示 结论 sin cos tan cot sec csc 2 三角函数线 概念 三角函数线是表示三角函数值的有向线段 有向线段的方向表示了三角函数值的 有向线段的长度表示了三角函数值的 正负 绝对值 图示 如图所示 正弦线用线段 表示余弦线用线段 表示正切线用线段 表示 mp om at 即时应用 1 思考 根据三角函数的定义 角 的正弦与余割 余弦与正割 正切与余切有什么关系 各象限角的三角函数值的符号有何规律 提示 由三角函数的定义易知 角 的正弦与余割 余弦与正割 正切与余切分别互为倒数 第一象限角的三角函数值都是正的 第二象限角只有正弦与余割是正的 其他四个值是负的 第三象限角正切与余切是正的 其他四个值是负的 第四象限角只有余弦和正割是正的 其他四个值是负的 可简记为一全正 二正弦 余割 三两切 四余弦 正割 2 结合三角函数的正弦线 在内 与sin 的大小关系为 sin 解析 数形结合易知 在单位圆中 弧长大于垂线段的长度 而在内弧长l 1 所以 sin 答案 3 已知角 终边上一点的坐标为a 2 2 则 解析 由点a的坐标可知角 终边在第二象限 由三角函数的定义可知 所以 答案 角的概念 方法点睛 1 角的范围角的范围由初中熟悉的角的范围0 180 0 推广到任意角 即有负角 零角和正角 正角的度数可以很大 负角的度数可以很小 2 终边相同的角角大小不同 其终边位置可能相同 终边相同 角的性质也相同 这就是角的周期性 与 终边相同的角可表示为 k 2 k z 即与 终边相同的角与 相差2 的整数倍 3 象限角根据角的范围可以确定角的终边的位置 解答与角的终边有关的问题常用数形结合法 例1 1 在 720 720 内写出与45 角终边相同的角构成的集合 2 如果角 是第三象限角 那么角 的终边在第几象限 解题指南 1 写出与45 角终边相同的所有角 再确定在 720 720 内的角 2 根据 的范围 确定 的范围 再根据范围确定所在象限 规范解答 1 与45 角终边相同的角可表示为45 k 360 k z 在 720 720 内 k可取 2 1 0 1 所以与45 角终边相同的角构成的集合为 675 315 45 405 2 终边在第二象限 又由 各边都加上 得 终边在第四象限 终边在第一象限 互动探究 对本例 2 试探究 的终边与 的终边的关系 解析 在同一坐标系里画出角 如图所示 由图易知角 的终边与 的终边关于x轴对称 与 的终边关于y轴对称 与 的终边关于原点对称 此结论对任意角 都成立 的终边 的终边 的终边 的终边 反思 感悟 1 根据角 的取值范围 确定与 有关的角的取值范围时 要注意不等式的变形与应用 2 利用与角 的终边相同的角 的集合s k 2 k z 可以把任意角转化到 0 2 内来研究 变式备选 已知 是第一象限角 试分别确定2 的终边所在位置 解析 为第一象限角 1 4k 2 4k 故2 是第一象限角或第二象限角或其终边在y轴的非负半轴上 2 当k为偶数时 设k 2n n z 则 当k为奇数时 设k 2n 1 n z 则 故是第一象限角或第三象限角 与扇形有关的问题 方法点睛 与扇形弧长 面积有关的问题因为弧度数是借助于扇形定义的 所以有关扇形的周长及面积问题的解答常用到扇形的圆心角的弧度数 设扇形的半径为r 弧长为l 面积为s 圆心角的弧度数为 0 则l r s 例2 1 已知扇形的面积为 半径为4 则扇形的圆心角的弧度数为 2 已知扇形的周长是c c 0 当其圆心角 是多少弧度时 扇形的面积s最大 最大面积是多少 解题指南 1 先求弧长 再求角的弧度数 2 建立s关于 或弧长l 的函数 通过求函数的最值解决问题 规范解答 1 设扇形的弧长为l 圆心角为 则答案 2 设扇形的半径为r 弧长为l 方法一 2r l c 即2r r c r s扇 当且仅当 即 2时等号成立 即当 2时 扇形的最大面积是 方法二 2r l c r s扇 当l 时 s扇 max 此时 即当 2时 扇形的最大面积是 互动探究 试求本例 1 中扇形的弧长所在弓形的面积 解析 如图 由本例 1 知s弓 s扇形aob s aob 反思 感悟 求函数最值时 要分清哪是常数 哪是变量 然后选择正确方法求解 如本例 2 可以创造条件用基本不等式求最值 也可以求二次函数的最值 变式备选 一条弦的长度等于其所在圆的半径r 求这条弦所对的劣弧的长及这条弦和劣弧所组成的弓形的面积 解析 如图所示 在半径为r的 o中弦ab长度为r 则 oab为等边三角形 所以 aob 则弦ab所对的劣弧长为 s aob s扇形aob s弓形 s扇形aob s aob 三角函数定义的应用 方法点睛 三角函数定义的理解与应用 1 根据三角函数的定义可知 角 的各个三角函数值与 终边上取点的位置无关 只与 角的大小有关 当角的终边落在y轴上时 其正切值不存在 2 角 的各个三角函数 比如正弦 中涉及三个量 已知两个量 可以求另一个量 提醒 若角 的终边与单位圆交于点p x y 则sin y cos x 例3 2011 江西高考 已知角 的顶点为坐标原点 始边为x轴的正半轴 若p 4 y 是角 终边上一点 且sin 则y 解题指南 首先根据条件求出 op 的长度 再根据任意角三角函数定义列方程求y的值 规范解答 sin 及p 4 y 是角 终边上一点 可知 为第四象限角 y 0 根据任意角三角函数的定义 得 解得y 8 答案 8 反思 感悟 解答本题易误填 8 出错的原因是解方程时两边平方 扩大了y的取值范围 而忘了检验 在以后的学习中要养成检验的良好习惯 变式训练 1 比较大小 sin10 0 tan10 0 解析 3 10 10rad是第三象限角 sin10 0 tan10 0 答案 2 已知角 的终边在直线3x 4y 0上 求sin cos tan 的值 解析 角 的终边在直线3x 4y 0上 可在角 的终边上任取一点p 4t 3t t 0 则x 4t y 3t r 当 是第四象限角时 t 0 r 5t sin cos tan 当 是第二象限角时 t 0 r 5t sin 综上可知 当 是第四象限角时 sin cos tan 当 是第二象限角时 sin cos tan 易错误区 三角函数定义的应用误区 典例 2012 玉林模拟 设 是第三 四象限角 sin 则m的取值范围是 解题指南 根据三角函数的定义 列关于m的不等式 解答时要注意不等式的等价转化 规范解答 由题意 得 1 sin 0 即 由得 即 m 1 m 4 0 1 m 4 又由 得 2m 3 m 4 0 或m 4 答案 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2012 武威模拟 的终边与的终边关于直线y x对称 则 解析 由题意 得 答案 2 2012 北海模拟 若 是第二