高考数学第一轮总复习 4.2 平面向量的基本定理及向量坐标运算课件 文 新人教A版.ppt

第二节平面向量的基本定理及向量坐标运算 知识梳理 1 平面向量基本定理 1 基底 平面内 的向量e1 e2叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底 2 平面向量基本定理 如果e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这个平面内的任意向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 不共线 1e1 2e2 2 平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 由平面向量基本定理知 该平面内的任一向量a可表示成a xi yj 由于a与数对 x y 是一一对应的 把有序数对 x y 叫做向量a的坐标 记作a 其中a在x轴上的坐标是x a在y轴上的坐标是y x y 3 平面向量的坐标运算 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x y x2 x1 y2 y1 x1y2 x2y1 0 考点自测 1 思考 给出下列命题 平面内的任何两个向量都可以作为一组基底 在 abc中 向量的夹角为 abc 同一向量在不同基底下的表示是相同的 设a b是平面内的一组基底 若实数 1 1 2 2满足 1a 1b 2a 2b 则 1 2 1 2 其中正确的是 a b c d 解析 选d 平面内不共线的两个向量可以组成一组基底 平面内同一向量在不同基底下的表示形式是不同的 故 不正确 向量是有方向的 故在 abc中 的夹角应是 abc的补角 故 不正确 根据平面向量基本定理 同一向量在基底a b下的表现形式是唯一的 故 正确 2 已知a x 1 b 2 y 3 4 则x y a 3b 3c 4d 4 解析 选c 由题意 得所以x y 4 3 2014 宜昌模拟 若向量a 1 1 b 1 1 c 4 2 则c a 3a bb 3a bc a 3bd a 3b 解析 选b 设c xa yb 则故c 3a b 4 下列各组向量中 能作为基底的是 a 1 2 b 2 4 a 1 1 b 1 1 a 2 3 b 3 2 a 5 6 b 7 8 a b c d 解析 选c 对于 显然b 2a 对于 b a 故 不能作为基底 对于 因为2 2 3 3 0 所以a b不共线 故 能作为基底 对于 因为5 8 6 7 0 所以a b不共线 故 能作为基底 综上应选c 5 2014 张家界模拟 在 abcd中 ac为一条对角线 则向量的坐标为 解析 设所以 1 3 2 4 x y 所以所以 1 1 2 4 3 5 答案 3 5 6 已知向量a 2 1 b 1 m c 1 2 若 a b c 则实数m 解析 a b 1 m 1 因为 a b c 所以2 1 m 1 0 所以m 1 答案 1 考点1平面向量基本定理及其应用 典例1 1 2014 临沂模拟 若a与b不共线 已知下列各组向量 a与 2b a b与a b a b与a 2b 其中可以作为基底的是 只填序号即可 2 2014 郑州模拟 如图 已知 ocb中 a是cb的中点 d是将分成2 1的一个内分点 dc和oa交于点e 设 用a和b表示向量 若求实数 的值 解题视点 1 由共线向量定理及基底的定义进行判断 2 由向量加法的平行四边形法则及三角形法则求解 由平面向量基本定理及共线向量定理求解 规范解答 1 因为a与b不共线 所以 对于 显然a与 2b不共线 对于 假设a b与a b共线 则存在实数 使a b a b 则 1且 1 由此得 1且 1矛盾 故假设不成立 即a b与a b不共线 同理 对于 a b与a 2b也不共线 对于 共线 由基向量的定义知 都可以作为基底 不可以 答案 2 由题意知 a是bc的中点 且由平行四边形法则 得所以 由题意知 故设 因为所以因为a与b不共线 由平面向量基本定理 互动探究 本例 1 中 若将条件a与b不共线省去 则情况如何 解析 若a与b共线 不妨令a 0 b 0 则所给4组向量都共线 故4组向量都不能作为基底 规律方法 1 构成平面向量的一组基底的条件 1 一组基底有两个向量 2 这两个向量不共线 其中没有零向量 2 应用平面向量基本定理的注意事项 1 选定基底后 通过向量的加 减 数乘以及向量平行的充要条件 把相关向量用这一组基底表示出来 2 强调几何性质在向量运算中的作用 用基底表示未知向量 常借助图形的几何性质 如平行 相似等 3 强化共线向量定理的应用提醒 在基底未给出的情况下 合理地选取基底会给解题带来方便 变式训练 2014 三明模拟 如图 平面内有三个向量其中与的夹角为120 与的夹角为30 且若 r 则 a 4 2b c 2 d 解析 选c 过点c分别作oa ob的平行线 分别交ob oa的延长线于b1 a1 则 b1oc 120 30 90 故ob1 oc 在rt b1oc中 b1co 30 又故因此故因此 2 加固训练 1 下列各组向量 e1 1 2 e2 5 7 e1 3 5 e2 6 10 e1 2 3 e2 能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是 a b c d 2 如图 在 abc中 de bc交ac于e bc边上的中线am交de于n 设用a b表示向量 解析 1 选a 中的两向量不共线 中e1 e2 故两向量共线 中e2 e1 故两向量共线 综上 只有 中的两向量可作为平面的一组基底 2 因为de bc 所以由 ade abc 得又am是 abc的中线 de bc 所以又因为 adn abm 所以 考点2平面向量的坐标运算 典例2 1 2014 兰州模拟 已知a 1 1 b 2 2 o是坐标原点 则 a 2 4 b 9 3 c 10 4 d 8 4 2 2013 北京高考 向量a b c在正方形网格中的位置如图所示 若c a b r 则 解题视点 1 利用向量坐标运算法则求解 2 结合图形建立适当的平面直角坐标系 利用平面向量的坐标运算及平面向量基本定理列方程组求解 规范解答 1 选d 由题意 得所以 2 以向量a b的交点为原点 原点向右的方向为x轴正方向 正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系 则a 1 1 b 6 2 c 1 3 根据c a b得 1 3 1 1 6 2 即答案 4 互动探究 在本例 2 中 试用a c表示b 解析 建立本例 2 规范解答中的平面直角坐标系 则a 1 1 b 6 2 c 1 3 设b xa yc 则 6 2 x 1 1 y 1 3 规律方法 平面向量坐标运算的技巧 1 向量的坐标运算主要是利用向量加 减 数乘运算的法则来进行求解的 若已知有向线段两端点的坐标 则应先求向量的坐标 2 解题过程中 常利用向量相等则其坐标相同这一原则 通过列方程 组 来进行求解 变式训练 已知点a 1 2 b 2 8 以及求点c d的坐标和的坐标 解析 设点c d的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 得因为 所以点c d的坐标分别是 0 4 2 0 从而 2 4 加固训练 1 设平面向量a 3 5 b 2 1 则a 2b a 6 3 b 7 3 c 2 1 d 7 2 解析 选b a 2b 3 5 2 2 1 7 3 2 已知点a 2 1 b 0 2 c 2 1 o 0 0 给出下面的结论 直线oc与直线ba平行 其中正确结论的个数是 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 选c 由题意得又无公共点 故oc ba 正确 因为故 错误 因为故 正确 因为故 正确 所以选c 3 已知a 2 4 b 3 1 c 3 4 且则向量 解析 因为a 2 4 b 3 1 c 3 4 所以所以所以答案 9 18 考点3平面向量共线的坐标表示及运算 考情 平面向量共线的坐标表示以其承前启后的连接形式成为高考命题的亮点 常以选择 填空题的形式出现 作为载体有时也在解答题的某一步中出现 考查解方程 函数式化简等问题 高频考点通关 典例3 1 2013 陕西高考 已知向量a 1 m b m 2 若a b 则实数m等于 a b c d 0 2 2014 石家庄模拟 已知向量且则点p的坐标为 a 2 4 b c d 2 4 解题视点 1 根据平面向量共线的坐标表示直接列方程求解 2 设点p的坐标为 x y 由可得 x 1 y 3 2 3 x 1 y 解出x y的值 即可得到点p的坐标 规范解答 1 选c 因为a 1 m b m 2 a b 所以1 2 m2 0 即m2 2 故 2 选c 设点p的坐标为 x y 由可得 x 1 y 3 2 3 x 1 y 故有x 1 6 2x 且y 3 2 2y 通关锦囊 通关题组 1 2014 西宁模拟 已知向量a 2 3 b 1 2 若ma 4b与a 2b共线 则m的值为 a b 2c d 2 解析 选d ma 4b 2m 4 3m 8 a 2b 4 1 若ma 4b与a 2b共线 则4 3m 8 2m 4 1 0 解得m 2 2 2014 咸宁模拟 已知向量a 1 1 b 3 m a a b 则m a 2b 2c 3d 3 解析 选c 因为a b 2 m 1 又a a b 所以得m 3 3 2014 邵阳模拟 已知向量a 1 2 b m 1 m 3 在同一平面内 若对于这一平面内的任意向量c 都有且只有一对实数 使c a b 则实数m的取值范围是 a m b m 5c m 7d m 解析 选b 对于平面内的任意向量c 都有且只有一对实数 使c a b 则a与b不共线 由于a 1 2 b m 1 m 3 所以1 m 3 2 m 1 解得m 5 加固训练 1 2014 郑州模拟 已知向量且a b c三点共线 则k的值是 解析 选a 因为a b c三点共线 所以共线 所以 2 4 k 7 2k 解得 2 2014 大庆模拟 已知向量a 1 sin 1 b 若a b 则锐角 等于 a 30 b 45 c 60 d 75 解析 选b 由a b得 1 sin 1 sin 1 0 解得又 为锐角 所以 45 3 2011 北京高考 已知向量a 1 b 0 1 c k 若a 2b与c共线 则k 解析 因为a 1 b 0 1 所以a 2b 1 2 0 1 3 又c k 所以解得k 1 答案 1 易错误区12 应用平面向量基本定理中的易错点 典例 2013 广东高考 设a是已知的平面向量且a 0 关于向量a的分解 有如下四个命题 给定向量b 总存在向量c 使a b c 给定向量b和c 总存在实数 和 使a b c 给定单位向量b和正数 总存在单位向量c和实数 使a b c 给定正数 和 总存在单位向量b和单位向量c 使a b c 上述命题中的向量b c和a在同一平面内且两两不共线 则真命题的个数是 a 1b 2c 3d 4 解析 误区警示 规避策略