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文档简介

5.3 平面向量数量积【套路秘籍】-千里之行始于足下1向量的夹角已知两个非零向量a和b,作a,b,则AOB就是向量a与b的夹角,向量夹角的范围是0,2平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为,则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积),记作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影,|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积拓展:向量数量积不满足:消去律,即abacbc;结合律,即(ab)ca(bc)3向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)ab.(3)(ab)cacbc.4平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1,y1),b(x2,y2),a与b的夹角为.结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|5向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧:问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ababx1y2x2y10,其中a(x1,y1),b(x2,y2),a0垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20,其中a(x1,y1),b(x2,y2),且a,b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a,b的夹角),其中a,b为非零向量长度问题数量积的定义|a|,其中a(x,y),a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题6向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答,坐标的运算是考查的主体【修炼套路】-为君聊赋今日诗,努力请从今日始考向一 数量积基本运算【例1】(1)平面向量a与b的夹角为45,a(1,1),|b|2,则|3ab|等于()A136 B2 C. D.(2)已知向量a,b满足(2ab)(ab)6,且|a|2,|b|1,则a与b的夹角为_(3)已知点A,B,C在圆x2y21上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则|的最大值为()A6 B7 C8 D9【答案】(1)D (2) (3)B【解析】(1)依题意得|a|,ab2cos 452,|3ab|,故选D.(2)(2ab)(ab)6,2a2abb26,又|a|2,|b|1,ab1,cosa,b,又a,b0,a与b的夹角为.(3)解法一:由圆周角定理及ABBC,知AC为圆的直径故2(4,0)(O为坐标原点)设B(cos,sin),(cos2,sin),(cos6,sin),|7,当且仅当cos1时取等号,此时B(1,0),故|的最大值为7.故选B.解法二:同解法一得2(O为坐标原点),又,|3|3|3217,当且仅当与同向时取等号,此时B点坐标为(1,0),故|max7.故选B.【套路总结】一平面向量数量积的类型及求法:1.平面向量数量积有两种计算公式:一是夹角公式;二是坐标公式.2.求较复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.二求解平面向量模的方法1.写出有关向量的坐标,利用公式|a|即可2.当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解,|a|.三求平面向量的夹角的方法1.定义法:cos ,注意的取值范围为0,2.坐标法:若a(x1,y1),b(x2,y2),则cos .3.解三角形法:可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解四求向量模及最值(范围)的方法1代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解2几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解3利用绝对值三角不等式|a|b|ab|a|b|求模的取值范围【举一反三】1.设向量a,b满足|a|2,|b|1,a(ab)3,则a与b的夹角为_【答案】【解析】由题意得a(ab)a2ab421cos 42cos 3,cos ,0,.2已知向量与的夹角为120,且|3,|2.若,且,则实数的值为_答案【解析】,0,()0,即()()220.向量与的夹角为120,|3,|2,(1)|cos120940,解得.3.设向量a,b,c满足|a|b|2,ab2,ac,bc60,则|c|的最大值为_【答案】4【解析】因为|a|b|2,ab2,所以cosa,b,a,b120.如图所示,设a,b,c,则ac,bc,AOB120.所以ACB60,所以AOBACB180,所以A,O,B,C四点共圆不妨设为圆M,因为ba,所以2a22abb212.所以|2,由正弦定理可得AOB的外接圆即圆M的直径为2R4.所以当|为圆M的直径时,|c|取得最大值4.4.已知向量a,b,c,满足|a|2,|b|ab3,若(c2a)0,则|bc|的最小值是()A2 B2 C1 D2【答案】A【解析根据条件,设a(1, ),b(3,0),设c(x,y),则(c2a)(x2,y2)(x2,y)0;(x2)2(y)23;c的终点在以(2,)为圆心,为半径的圆上,如图所示:|bc|的最小值为2.故选A.5.在ABC中,已知(2,3),(1,k),且ABC的一个内角为直角,则实数k的值为_【答案】或或【解析】若A90,则有0,即23k0,解得k.若B90,则有0,因为(1,k3),所以23(k3)0,解得k.若C90,则有0,即1k(k3)0,解得k.综上所述,得k或或.考向 二 平面向量与其他知识的综合【例2】如图,在ABC中,已知点D,E分别在边AB,BC上,且AB3AD,BC2BE.(1)用向量,表示;(2)设AB9,AC6,A60,求线段DE的长【答案】【解析】(1)AB3AD,BC2BE,(),.(2)281,236,96cos6027,222,DE|.【套路总结】向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用:利用abab0(a,b为非零向量),abba(a0),可解决垂直、平行问题,特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法【举一反三】1.已知O是ABC内部一点,0,2且BAC60,则OBC的面积为()A. B. C. D.【答案】A【解析】0,O为三角形的重心,OBC的面积为ABC面积的.2,|cosBAC2.BAC60,|4,ABC面积为|sinBAC,OBC的面积为.故选A.2过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A,与抛物线的准线的交点为B,点A在抛物线的准线上的射影为C,若,48,则抛物线的方程为()Ay28xBy24xCy216xDy24x【答案】B【解析】如图所示,F为线段AB中点,AFAC,ABC30.由48,得BC4,得AC4.由中位线的性质有pAC2.故抛物线的方程为y24x.故选B.3.已知O是坐标原点,点A(1,2),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则的取值范围是_【答案】1,4【解析】作出点M(x,y)满足的平面区域如图阴影部分所示(含边界),设z,因为A(1,2),M(x,y),所以zx2y,即yxz.平移直线yx,由图象可知,当直线yxz经过点C(0,2)时,截距最大,此时z最大,最大值为4,当直线yxz经过点B时,截距最小,此时z最小,最小值为1,故1z4,即14.【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1向量的夹角为,则的最大值为( )ABCD【答案】C【解析】又本题正确选项:2设向量,满足,则()A2BC4D【答案】B【解析】,向量,满足则故选:B3已知正三角形的边长为2,设,则()ABCD【答案】C【解析】如图,正三角形的边长为2,取中点,设,故A错误;的夹角为120,故B错误;,故C正确;,故D错误故选:C4已知的边,的长分别为20,18,则的角平分线的长为( )ABCD【答案】C【解析】如图,因为是的角平分线,所以,所以,即.两边平方得,所以,故选C.5在ABC中,|,AB2,AC1,E,F为BC的三等分点,则等于()A.B.C.D.答案B解析由|,化简得0,又因为AB和AC为三角形的两条边,它们的长不可能为0,所以AB与AC垂直,所以ABC为直角三角形以A为原点,以AC所在直线为x轴,以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(0,2),C(1,0)不妨令E为BC的靠近C的三等分点,则E,F,所以,所以.6若O为ABC所在平面内任一点,且满足()(2)0,则ABC的形状为()A正三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形【答案】C【解析】因为()(2)0,即()0,因为,所以()()0,即|,所以ABC是等腰三角形,故选C.7平行四边形中,在上投影的数量分别为,-1,则在上的投影的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】建立直角坐标系:设,则,解得:,所以,则在上的投影,令,则,令,则有,在上,单调递增,故,故,则在上的投影的取值范围是8设向量且 ,则( )ABCD【答案】B【解析】因为,所以x-2=0,所以x=2.所以.故选:B9在中,若且,则的面积为( )ABCD【答案】C【解析】由得,由三角形面积公式得,故选C.10已知中,是边上一动点,则()ABCD无法确定【答案】C【解析】本题正确选项:11已知向量与方向相同,则_。【答案】2.【解析】,与方向相同,且,.故答案为:2.12在平面直角坐标系xOy中,在x轴、y轴正方向上的投影分别是3、4,则与平行的单位向量是_【答案】【解析】在x轴、y轴正方向上的投影分别是3、4,=(3,4),|5则的单位向量故答案为:13已知向量,则向量的单位向量为_,向量在方向上的正射影的数量为_【答案】【解析】设向量的单位向量为则向量与单位向量为共线,又所以 解得所以向量的单位向量为设向量与的夹角为,则则向量在向量方向的投影为代入可得14设数轴上有四个点A,B,C,D,其中A,C对应的实数分别是1和-3,且AC=CB,CD是单位向量,则点B对应的实数为_;点D对应的实数为_;BC=_【答案】-7-4或-2 4 【解析】记B,D对应的实数分别是b,d.由AC=CB可得点B在点C的左边且|AC|=|CB|,则1-3=-3-b,解得b=-7,即点B对应的实数为-7.由CD是单位向量可得|CD|=1,则|-3-d|=1,解得d=-4或d=-2.BC=-3-7=4.15直线2x+y-3=0与圆x2+y2-2x-2y=0相交于A,B两点,O为坐标原点,则OA+OB=_【答案】22【解析】设Ax1,y1,Bx2,y2,AB的中点为M,联立直线方程与圆的方程:x2+y2-2x-2y=0y=-2x+3,整理可得:5x2-10x+3=0,故x1+x2=2,y1+y2=(-2x1+3)+(-2x2+3)=-2(x1+x2)+6=2,据此可得:M1,1,|OM|=1+1=2,结合平面向量的运算法则有:OA+OB=2OM=22.故答案为:2216已知向量,则向量的夹角为_【答案】【解析】根据题意,设向量,向量,向量的夹角为,向量,则,则有,变形可得,即,则,则有,变形可得,将联立可得:,解可得,又由,则则,则;故答案为:17在中,为的中点,点满足,若,则_.【答案】200【解析】中,为的中点,点满足,且,故答案为200.18已知向量满足:,当取最大值时, _【答案】【解析】当且仅当与反向时取等号又整理得:本题正确结果:19若两个非零向量满足,则向量与的夹角为_【答案】60【解析】,如图,由题意,|OC|2|OA|,AOC60,即向量与向量的夹角为60,故答案为:6020设非零向量的夹角为,若,且不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是_【答案】【解析】由得:即:则:为非零向量 则:恒成立,解得:本题正确结果:21.已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则()的最小值是 。【答案】【解析】解法一:设BC的中点为D,AD的中点为E,则有2,则()22()()2(22)而22,当P与E重合时,2有最小值0,故此时()取最小值,最小值为222.故选B.解法二:以AB所在直线为x轴,AB的中点O为原点建立平面直角坐标系,如图,则A(1,0),B(1,0),C(0,),设P(x,y),取BC的中点D,则D.()22(1x,y)22.因此,当x,y时,()取得最小值,最小值为2.22.已知a,b是两个互相垂直的单位向量,且cacb1,则对任意的正实数t,的最小值是 。【答案】2【解析】设a(1,0),b(0,1),c(x,y),则由cacb1,得c(1,1),ctab(1,1)t(1,0)(0,1),2,当且仅当t1时等号成立.23 已知a,b是单位向量,ab0.若向量c满足|cab|1,则|c|的取值范围是 。【答案】1,1 【解析】以a和b分别为x轴和y轴正方向的单位向量建立直角坐标系,则a(1,0),b(0,1),设c(x,y),则cab(x1,y1),|cab|1,(x1)2(y1)21.即(x,y)是以点M(1,1)为圆心,1为半径的圆上的点,而|c|.所以|c|可以理解为圆M上的点到原点的距离,由圆的性质可知,|OM|r|c|OM|r,

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