高考数学一轮复习专题10.10定点问题练习（含解析）.docx

第十讲 定点问题【套路秘籍】-千里之行始于足下1 直线的斜率和截距都未知时，设直线的方程为，利用题意找出k和m的关系式，即只要截距位置和斜率位置的参数是齐次的且为同一个参数都可以求出所过的定点。2 斜率未知时，证明的过定点的直线的斜率位置必定含有参数，只需要令含有参数部分的x等于零即可消去参数.三若动直线的参数位置在截距上，则此时动直线并不是以定点为对称点转动，因此无法证明直线过定点；注意：在圆锥曲线中证明动直线过定点，则直线方程必定含有一个或两个参数，若含有一个参数，则参数位置肯定不能只在截距上；若含有两个参数，则根据圆锥曲线中给出的条件必定可以求出两个参数之间的等量关系，因此题目的关键即为求出直线方程。【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 找出k与m得关系【例1】已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.【答案】（1）（2）（2，-1）【解析】（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为.(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1、k2如果l与x轴垂直，设l:x=t由题意设知设直线l的方程由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而由题设，故.即.解得.当且仅当时，欲使l：，即，所以l过定点（2，-1）【举一反三】1.过上一点，作两条射线交抛物线于两点，且，则证明恒过一定点。【解析】设直线AB的方程为x=ky+b，设联立由韦达定理得,解得当时，AB的方程为，此时恒过（1，2）点当时，AB的方程为，此时恒过（5，-2）点2.已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点B(1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点【答案】（1）；（2）(1,0)【解析】（1）如图1，设动圆得圆心O1（x,y),由题意得当O1不在y轴上时，过又又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0，0)也满足方程所以动圆圆心的轨迹C的方程为（2） 如图2，由题意，设直线l的方程为ykxb()，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20，其中32kb640由根与系数的关系得，x1x2 ，x1x2 因为x轴是PBQ的角平分线，所以，即y1(x21)y2(x11)0即(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，即2kx1x2(bk)(x1x2)2b0将代入得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，即kb，此时0所以直线l的方程为yk(x1)，即直线l过定点(1，0)图1 图2考向二 利用直线系中参得系数为0【例2】对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为利用此结论解答下列问题点是椭圆上的点，并且椭圆在点处的切线斜率为（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点在直线上，经过点的直线，与椭圆相切，切点分别为，求证：直线必经过一定点【答案】（1）（2）直线MN必经过一定点（2）设，则切线，切线都经过点，即直线的方程为又，直线MN必经过一定点【举一反三】1已知点G在抛物线C：x2=4y的准线上，过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)（1）证明：x1x2+y1y2为定值；（2）当点G在y轴上时，过点A作直线AM，AN交抛物线C于M，N两点，满足.问：直线MN是否恒过定点P，若存在定点，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）-3 （2）直线MN过定点P (2,5).【解析】（1）法1：抛物线C：x2=4y的准线为l：y=-1，故可设点G(a,-1)，由x2=4y，得，所以.所以直线GA的斜率为.因为点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线C上，所以所以直线GA的方程为因为点G在直线GA上，所以,同理，.所以x1，x2是方程x2-2ax-4=0的两个根，所以x1x2=-4.又（2）存在，由（1）知x1x2=-x12=-x22=-4.不妨设x10,x20，所以所以直线MQ的方程为y=m(x+2)，必过定点(-2,0).4.已知抛物线，直线y=x-1与C相交所得的长为8求p的值；过原点的直线与抛物线C交于M点，与直线x=-1交于H点，过点H作轴的垂线交抛物线C于N点，求证：直线MN过定点【答案】(1)2 （2）见证明【解析】(1)解得p=2或p=-4舍去(2)由(1)可得y2=4x，设，直线OM的方程，当x=-1时，代入抛物线方程y2=4x，可得直线MN的斜率直线MN的方程为整理可得，故直线MN过点(1,0)5在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，-3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C。（1）求曲线C的方程； （2）过点(0,3)作直线l与曲线C交于点A、B，以线段AB为直径的圆能否过坐标原点，若能，求出直线l的方程，若不能请说明理由.【答案】（1）x2+y24=1；（2）能，直线l的方程为：y=112x+3.【解析】(1)设Px,y，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以0，-3，0，3为焦点，长半轴为2的椭圆.它的短半轴b=22-32=1，故曲线C的方程为x2+y24=1.(2)设直线l：y=kx+3，分别交曲线C于Ax1,y1，Bx1,y1，其坐标满足 x2+y24=1y=kx+3,消去并整理得k2+4x2+23kx-1=0.故x1+x2=-23kk2+4 ，x1x2=-1k2+4.若以线段AB为直线的圆过坐标原点，则OAOB，即x1x2+y1y2=0,而y1y2=k2x1x2+3kx1+x2+3，于是x1x2+y1y2=-1k2+4-k2k2+4-6k2k2+4+3=0化简得，所以-4k2+11=0，所以k=112 所以直线l的方程为：y=112x+36.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点1,32，焦距长23.（I）求椭圆C的标准方程；（II）没不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于不同的两点P、Q，点N4,0.设O为坐标原点，且ONP=ONQ.证明：动直线PQ经过定点.【答案】（I）x24+y2=1；（II）见解析【解析】（I）由题意知c=3.又因为1a2+34b2=1，即13+b2+34b2=1，解得b2=1，a2=4.故椭圆C的标准方程是x24+y2=1.（II）设直线l的方程为y=kx+b(k0)，联立y=kx+bx2+4y2=4，消去y得，1+4k2x2+8kbx+4b2-4=0，=164k2-b2+1.设Px1,kx1+b，Qx1,kx1+b，则x1+x2=-8kb1+4k2，x1x2=4b2-41+4k2.于是kPN+kQN=kx1+bx1-4+kx2+bx2-4=2kx1x2-(4k-b)x1+x2-8bx1-4x1-4.由ONP=ONC知，kPN+kQN=0.即2kx1x2-(4k-b)x1+x2-8b=2k4b2-41+4k2-(4k-b)-8kb1+4k2-8b=8k3-8k1+4k2+32k2b-8kb21+4k2-8b=0，得b=-k，=163k2+10.故动直线l的方程为y=kx-k，过定点1,0.7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F，A，B是其左右顶点，点P是椭圆C上任一点，且PF1F2的周长为6，若PF1F2面积的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同点，证明：直线AM与BN的交点在一条定直线上.【答案】(1) x24+y23=1 (2)见解析【解析】（1）由题意得2a+2c=6,122bc=3,a2=b2+c2,c=1,b=3,a=2,椭圆C的方程为x24+y23=1；（2）由（1）得A(-2,0)，B(2,0)，F2(1,0)，设直线MN的方程为x=my+1，Mx1,y1，Nx2,y2，由x=mx+1x24+y23=1，得4+3m2y2+6my-9=0，y1+y2=-6m4+3m2，y1y2=-94+3m2，my1y2=32y1+y2，直线AM的方程为y=y1x1+2(x+2)，直线BN的方程为y=y2x2-2(x-2)，y1x1+2(x+2)=y2x2-2(x-2)，x+2x-2=y2x1+2y1x2-2=my1y2+3y2my1y2-y1=3，x=4，直线AM与BN的交点在直线x=4上.8已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为3.（1）求双曲线C的方程；（2）设A1，A2分别为C的左右顶点，P为C异于A1，A2一点，直线A1P与A2P分别交y轴于M,N两点，求证：以线段MN为直径的圆D经过两个定点.【答案】（1）x2-y23=1；（2）详见解析.【解析】（1）设C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)，因为离心率为2，所以c=2a，b=3a所以C的渐近线为3xy=0，由3=|3c-0|(3)2+(1)2，得c=2于是a=1，b=3，故C的方程为x2-y23=1（2）设P(x0,y0)（x01），因为A1(-1,0)，A2(1,0)，可得直线A1P与A2P方程为y=y0x0+1(x+1)，y=y0x0-1(x-1)由题设，所以M(0,y0x0+1)，N(0,-y0x0-1)，|MN|=2x0y0x02-1，MN中点坐标(0,y01-x02)，于是圆D的方程为x2+(y-y01-x02)2=x02y02(x02-1)2因为x02-y023=1，所以圆D的方程可化为x2+y2+6y0y-3=0当y=0时，x=3，因此D经过两个定点(-3,0)和(3,0)9.已知动圆P过点F22,0并且与圆F1:x+22+y2=4相外切，动圆圆心P的轨迹为C.（1）求曲线C的轨迹方程；（2）过点F22,0的直线l1与轨迹C交于A、B两点，设直线l:x=12，点D-1,0，直线AD交l于M,求证：直线BM经过定点1,0.【答案】（1）x2-y23=1(x0)；（2）证明见解析.【解析】（1）由已知得|PF1=|PF2+2，即|PF1-|PF2=2，所以P的轨迹C为双曲线的右支，且2a=2，a=1，|F1F2=2c=4，c=2，b=c2-a2=3，曲线C的标准方程为x2-y23=1(x0).（2）当直线l1的斜率不存在时，A2,3，B2,-3，M12,32，则直线BM经过点E1,0；当直线l1的斜率存在时，不妨设直线l1:y=kx-2，Ax1,y1，Bx2,y2，则直线AD：y=y1x1+1x+1，当x=12时，yM=3y12x1+1，M12,3y12x1+1，由y=kx-23x2-y2=3得3-k2x2+4k2x-4k2+3=0，所以x1+x2=-4k23-k2，x1x2=4k2+3k2-3，下面证明直线BM经过点E1,0，即证kEM=kEB，即-3y1x1+1=y2x2-1，即-3y1x2+3y1=x1y2+y2，由y1=kx1-2k，y2=kx2-2k，整理得，4x1x2-5x1+x2+4=0，即44k2+3k2-3-54k2k2-3+4k2-3k2-3=0恒成立.即kEM=kEB，即BM经过点E1,0，故直线BM过定点1,0.10已知动圆P过点F2(2,0)并且与圆F1:(x+2)2+y2=4相外切，动圆圆心P的轨迹为C。（1）求曲线C的轨迹方程；（2）过点F2(2,0)的直线l1与轨迹C交于A、B两点，设直线l:x=12，设点D(-1,0)，直线AD交l于M,求证：直线BM经过定点.【答案】（1）x2-y23=1(x0)；（2）见解析【解析】（1）由已知PF1=PF2+2，PF1-PF2=2P轨迹C为双曲线的右支，2a=2，a=1，F1F2=2c=4，c=2曲线C标准方程x2-y23=1(x0)（2）由对称性可知，直线BM必过x轴的定点当直线l1的斜率不存在时， A(2,3)，B(2,-3)，M(12,32)，知直线BM经过点P(1,0)当直线l1的斜率存在时，不妨设直线l1:y=k(x-2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)直线ADy=y1x1+1(x+1)，当x=12时，yM=3y12(x1+1)，M(12,3y12(x1+1)y=k(x-2)3x2-y2=3得(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0，x1+x2=-4k23-k2，x1x2=4k2+3k2-3下面证明直线BM经过点P(1,0)，即证kPM=kPB，即-3y1x1+1=y2x2-1,即-3y1x2+3y1=x1y2+y2,由y1=kx1-2k，y2=kx2-2k整理得，4x1x2-5(x1+x2)+4=0，即44k2+3k2-3-54k2k2-3+4(k2-3)k2-3=0即证BM经过点P(1,0)，直线BM过定点(1,0)11已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=52，虚轴长为2（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线l:y=kx+m与双曲线C相交于A,B两点（A,B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标【答案】(1) x24-y2=1 (2) 证明见解析，定点坐标为-103,0【解析】（1）设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0), 由已知得ca=52,2b=2,又a2+b2=c2,解得a=2,b=1,所以双曲线的标准方程为x24-y2=1.（2）设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+mx24-y2=1,得(1-4k2)x2-8mkx-4(m2+1)=0,有=64m2k2+16(1-4k2)(m2+1)0x1+x2=8mk1-4k20,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=m2-4k21-4k2,以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(-2,0),kADkBD=-1,即y1x1+2y2x2+2=-1,y1y2+x1x2+2(x1+x2)+4=0,m2-4k21-4k2+-4(m2+1)1-4k2+16mk1-4k2+4=0,3m2-16mk+20k2=0,解得m=2k或m=10k3.当m=2k时,l的方程为y=k(x+2),直线过定点(-2,0),与已知矛盾；当m=10k3时,l的方程为,直线过定点(-103,0),经检验符合已知条件, 所以直线l过定点,定点坐标为(-103,0).12已知点E(m,0)为抛物线y2=2x内一定点，过E作两条直线交抛物线于A,B,C,D，且M,N分别是线段AB,CD的中点（1）当ABCD时，求EMN的面积的最小值；（2）若m=2且kAB+kCD=2，证明：直线MN过定点，并求定点坐标。【答案】（1）1；（2）详见解析【解析】AB所在直线的方程为x=t1y+m，代入y2=2x中，得y2-2t1y-2m=0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有y1+y2=2t1，从而x1+x2=t1(y1+y2)+2m=t1(2t1)+2m则M(t12+m,t1)设CD所在直线的方程为x=t2y+m，同理可得N(t22+m,t2) （1）|EM|=|t1|1+t12，|EN|=|t2|1+t22 又ABCD，故t1t2=-1，于是EMN的面积S=12|EM|EN|=12|t1t2|(1+t12)(1+t22)=122+t12+t22124=1，当且仅当|t1|=|t2|=1时等号成立所以，EMN的面积的最小值为1.（2）kMN=(t1-t2)(t12-t22)=1(t1+t2)，MN所在直线的方程为y-t1=1(t1+t2)x-(t12+m)，即y(t1+t2)-t1t2=x-m又kAB+kCD=1t1+1t2=2，即t1t2=t1+t22，代入上式，得y(t1+t2)-t1+t22=x-m，即 (t1+t2)(y-12)=x-mm=2，(2,12)是此方程的一组解，所以直线MN恒过定点(2,12)13已知动圆P过定点F12,0，且和直线x=-12相切，动圆圆心P形成的轨迹是曲线C，过点Q4,-2的直线与曲线C交于A,B两个不同的点.（1）求曲线C的方程；（2）在曲线C上是否存在定点N，使得以AB为直径的圆恒过点N？若存在，求出N点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）y2=2x（2）见解析【解析】（1）设动圆圆心P到直线x=-12的距离为d，根据题意，d=PF动点P形成的轨迹是以F12,0为焦点，以直线x=-12为准线的抛物线，抛物线方程为y2=2x.（2）根据题意，设Ax1,y1,Bx2,y2，直线的方程为lAB:x=ny+2+4，代入抛物线方程，整理得y2-2ny-4n-8=0,=4n2+16n+2=4n2+4n+80,y1+y2=2n,y1y2=-4n-8若设抛物线上存在定点N，使得以AB为直径的圆恒过点N，设Nx0,y0，则y02=2x0KNA=y1-y0x1-x0=y1-y0y122-y022=2y1+y0，同理可得KNB=2y2+y0KNAKNB=2y1+y02y2+y0=4y1y2+y1+y2y0+y02=4-4n-8+2ny0+y02=-12y0-4n+y02-4=0,2y0-4=0,y02-4=0,解得y0=2,x0=2,在曲线C上存在定点N2,2，使得以AB为直径的圆恒过点N.14已知抛物线C:y2=2pxp0的焦点为F，点P1,a在此抛物线上，PF=2，不过原点的直线l与抛物线C交于A，B两点，以AB为直径的圆M过坐标原点(1)求抛物线C的方程；(2)证明：直线l恒过定点；(3)若线段AB中点的纵坐标为2，求此时直线l和圆M的方程【答案】（1）y2=4x；（2）定点4,0；（3）y=x-4，x-62+y-22=40【解析】（1）抛物线C:y2=2pxp0，其准线为x=-p2点P1,a在此抛物线上，PF=2，点P到准线的距离等于PF,即1+p2=2，得p=2所求抛物线方程为y2=4x（2）当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，Ax1,y1,Bx2,y2，易知k0,m0.联立方程组得y2=4xy=kx+m，从而可得方程k2x2+(2km-4)x+m2=0由题意可知=(2km-4)2-4k2m20x1+x2=4-2kmk2,x1x2=m2k2所以y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+kmx1+x2+m2=4mk因为以AB为直径的圆M过坐标原点，所以OAOB=0，即x1x2+y1y2=0，所以m2k2+4mk=0，所以m=-4k.所以直线l的方程为y=kx-4k，即y=kx-4，所以直线l恒过定点4,0.当直线l的斜率不存在时，易求得点A,B坐标分别为4,4，4,-4，直线l也过点4,0.综合可知，直线l恒过定点4,0.（3）由题意可知直线l斜率存在，设线段AB中点坐标为x0,2由（2）中所得x1+x2=4-2kmk2,x1x2=m2k2，则y1+y2=kx1-4+kx2-4=kx1+x2-8k=4k所以2+4k2k2=x02k=2，解得k=1,x0=6所以直线l方程为y=x-4.因为线段AB中点坐标为6,2，即为圆M的圆心坐标，设圆M:(x-6)2+(y-2)2=r2.代入0,0，得r2=40所以圆M的方程为(x-6)2+(y-2)2=4015已知双曲线T1：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2，若抛物线T2:y2=2px(p0)的焦点到双曲线T1的渐近线的距离为24已知点E(2,0)为抛物线T2内一定点，过E作两条直线交抛物线T2于A,B,C,D，且M,N分别是线段AB,CD的中点