高考数学大一轮复习 第11章 第4节 数学归纳法及其应用课件 理.ppt

第十一章算法初步 推理证明 复数 第四节数学归纳法及其应用 考情展望 1 考查数学归纳法的原理和证明步骤 2 用数学归纳法证明与等式 不等式或数列有关的命题 固本源练基础理清教材 基础梳理 1 判断正误 正确的打 错误的打 1 用数学归纳法证明问题时 第一步是验证当n 1时结论成立 2 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 3 用数学归纳法证明问题时 归纳假设可以不用 4 不论是等式还是不等式 用数学归纳法证明时 由n k到n k 1时 项数都增加了一项 5 用数学归纳法证明等式 1 2 22 2n 2 2n 3 1 验证n 1时 左边式子应为1 2 22 23 6 用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时 n0 3 基础训练 答案 1 2 3 4 5 6 解析 因为假设n k k 2且k为偶数 时命题成立 故下一个偶数为k 2 解析 从n到n2共有n2 n 1个数 所以f n 中共有n2 n 1项 4 凸k边形内角和为f k 则凸k 1边形的内角和为f k 1 f k 解析 易得f k 1 f k 答案 答案 2k 精研析巧运用全面攻克 考点一 用数学归纳法证明等式 自主练透型 1 用数学归纳法证明等式问题是常见题型 其关键点在于弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始值n0是几 2 由n k到n k 1时 除等式两边变化的项外还要充分利用n k时的式子 即充分利用假设 正确写出归纳证明的步骤 从而使问题得以证明 自我感悟解题规律 考点二 用数学归纳法证明不等式 自主练透型 1 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式 一是直接给出不等式 按要求进行证明 二是给出两个式子 按要求比较它们的大小 对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较 以免出现判断失误 最后猜出从某个n值开始都成立的结论 常用数学归纳法证明 2 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k时成立得n k 1时成立 主要方法有 放缩法 利用均值不等式法 作差比较法等 自我感悟解题规律 调研3 用数学归纳法证明42n 1 3n 2能被13整除 其中n为正整数 思路点拨 当n k 1时 把42 k 1 1 3k 3配凑成42k 1 3k 2的形式是解题的关键 考点三 用数学归纳法证明整除性问题 师生共研型 用数学归纳法证明整除问题 p k p k 1 的整式变形是个难点 找出它们之间的差异 然后将p k 1 进行分拆 配凑成p k 的形式 也可运用结论 p k 能被p整除且p k 1 p k 能被p整除 p k 1 能被p整除 名师归纳类题练熟 已知n为正整数 a z 用数学归纳法证明 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 好题研习 证明 当n 1时 an 1 a 1 2n 1 a2 a 1 能被a2 a 1整除 假设n k时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 那么当n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 a 1 2 ak 1 a 1 2k 1 ak 2 ak 1 a 1 2 a 1 2 ak 1 a 1 2k 1 ak 1 a2 a 1 能被a2 a 1整除 即当n k 1时命题也成立 根据 可知 对于任意n n an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 思路点拨 关键是搞清n k到n k 1时对角线增加的条数 看顶点的变化可知对角线的变化从而可解 考点四 用数学归纳法证明几何问题 自主练透型 2 平面上有n个圆 每两圆交于两点 每三圆不过同一点 求证这n个圆分平面为n2 n 2个部分 证明 当n 1时 n2 n 2 1 1 2 2 而一个圆把平面分成两部分 所以n 1命题成立 设n k时 k个圆分平面为k2 k 2个部分 则n k 1时 第k 1个圆与前k个圆有2k个交点 这2k个交点分第k 1个圆为2k段 每一段都将原来所在的平面一分为二 故增加了2k个平面块 共有 k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2个部分 对n k 1也成立 由 可知 这n个圆分割平面为n2 n 2个部分 用数学归纳法证明几何问题的关键是 找项 即几何元素从k个变成k 1个时 所证的几何量将增加多少 这需用到几何知识或借助于几何图形来分析 事实上 将n k 1和n k分别代入所证的式子 然后作差 即可求出增加量 这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧 自我感悟解题规律 学方法提能力启智培优 审题视角 1 将n 1 2 3代入已知等式得a1 a2 a3 从而可猜想an 并用数学归纳法证明 2 利用分析法 结合x 0 y 0 x y 1 利用基本不等式可证 规范答题 归纳 猜想 证明 答题模板 第一步 寻找特例a1 a2 a3等 第二步 猜想an的公