高中数学 第1章 4数学归纳法课件 北师大版选修22.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 2 推理与证明 第一章 4数学归纳法 第一章 1 了解数学归纳法的原理 掌握用数学归纳法证明命题的步骤与格式 2 能够利用数学归纳法证明代数恒等式和不等式 3 能够利用数学归纳法解决整除性问题和几何中的计算问题 本节重点 数学归纳法证明命题的步骤与格式 本节难点 数学归纳法第二步证明中使用归纳假设 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法 它的基本步骤是 1 验证 时 命题成立 2 在 的前提下 推出 时 命题成立 根据 1 2 可以断定命题对一切正整数n都成立 数学归纳法的概念及基本步骤 n n0 假设当n k k n0 时命题成立 当n k 1 1 数学归纳法的原理和步骤的几个注意点 1 奠基步骤和递推步骤这两个步骤缺一不可 只完成第一步而缺少第二步就作出判断可能得出不正确的结论 因为单靠第一步 无法递推下去 即n取n0以后的数时的命题是否正确 我们无法判定 同样 只有第二步而缺少第一步时 也可能得出不正确的结论 缺乏第一步这个基础 假设就失去了成立的前提 第二步也就没有意义了 2 用数学归纳法证明有关问题的关键在于第二步 即n k 1时为什么成立 n k 1时成立是利用假设n k时成立 根据有关的定理 定义 公式 性质等数学结论推证出n k 1时成立 而不是直接代入 否则n k 1时也成假设了 命题并没有得到证明 3 用数学归纳法可证明有关的正整数问题 但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的 学习时要具体问题具体分析 2 数学归纳法的核心在验证命题n n0正确的基础上 证明命题具有传递性 第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程 所以说数学归纳法是一种合理 切实可行的科学证题方法 实现了有限到无限的飞跃 2 n为正奇数 求证 xn yn能被x y整除 当第二步假设n k k n 命题为真时 则需证n 时命题也为真 答案 k 2 解析 n为正奇数 现在n k 说明k为正奇数 下一个正奇数应为k 2 用数学归纳法证明恒等式 点评 在进行第二步的证明时 要注意观察等式的结构特征 弄清第二步证明中 已知 与 求证 的差异 然后对 已知 进行变形 最后得到所要证的 结论 点评 在推证 n k 1 命题也成立时 必须把 归纳假设 n k时的命题 作为必备条件使用上 否则不是数学归纳法 证明不等式 用数学归纳法证明下列问题 1 求证 3 52n 1 23n 1是17的倍数 2 证明 3n 1 7n 1能被9整除 证明整除问题 证明 1 当n 1时 3 53 24 391 17 23是17的倍数 假设3 52k 1 23k 1 17m m是整数 则3 52 k 1 1 23 k 1 1 3 52k 1 2 23k 1 3 3 52k 1 25 23k 1 8 3 52k 1 23k 1 8 17 3 52k 1 8 17m 3 17 52k 1 17 8m 3 52k 1 m k都是整数 17 8m 3 52k 1 能被17整除 即n k 1时 3 52n 1 23n 1是17的倍数 综合 知对任意正整数3 52n 1 23n 1是17的倍数 2 令f n 3n 1 7n 1 f 1 4 7 1 27能被9整除 假设f k 能被9整除 k n f k 1 f k 3k 4 7k 1 3k 1 7k 7k 18k 27 9 7k 2k 3 能被9整除 f k 1 能被9整除 由 可知 对任意正整数n f n 都能被9整除 点评 用数学归纳法证明整除问题 当n k 1时 应先构造出归纳假设的条件 再进行插项 补项等变形整理 即可得证 2014 南京一模 已知数列 an 满足a1 0 a2 1 当n n 时 an 2 an 1 an 求证 数列 an 的第4m 1项 m n 能被3整除 证明 1 当m 1时 a4m 1 a5 a4 a3 a3 a2 a2 a1 a2 a1 2a2 a1 3a2 2a1 3 0 3 即当m 1时 第4m 1项能被3整除 故命题成立 2 假设当m k时 a4k 1能被3整除 则当m k 1时 a4 k 1 1 a4k 5 a4k 4 a4k 3 2a4k 3 a4k 2 2 a4k 2 a4k 1 a4k 2 3a4k 2 2a4k 1 显然 3a4k 2能被3整除 又由假设知a4k 1能被3整除 3a4k 2 2a4k 1能被3整除 即当m k 1时 a4 k 1 1也能被3整除 命题也成立 由 1 和 2 知 对于n n 数列 an 中的第4m 1项能被3整除 平面内有n个圆 其中每两个圆都相交于两点 且每三个圆都不相交于同一点 求证 这n个圆把平面分成n2 n 2个部分 分析 用数学归纳法证明几何问题 主要是搞清楚当n k 1时比n k时 分点增加了多少 区域增加了几块 本题中第k 1个圆被原来的k个圆分成2k条弧 而每一条弧把它所在的部分分成了两部分 此时共增加了2k个部分 问题就容易得到解决 几何问题 证明 当n 1时 一个圆把平面分成两部分 12 1 2 2 命题成立 假设当n k时命题成立 k n k个圆把平面分成k2 k 2个部分 当n k 1时 这k 1个圆中的k个圆把平面分成k2 k 2个部分 第k 1个圆被前k个圆分成2k条弧 每条弧把它所在部分分成了两个部分 这时共增加了2k个部分 即k 1个圆把平面分成 k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2个部分 即命题也成立 由 可知 对任意n n 命题都成立 点评 利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确清楚 一定要讲清从n k到n k 1时 新增加量是多少 一般地 证明第二步时 常用的方法是加一法 即在原来k的基础上 再增加1个 也可以从k 1个中分出1个来 剩下的k个利用假设 点评 关于几何题的证明 应分清k到k 1的变化情况 建立k的递推关系 计算出数列 1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3 n 3 2 1 的前n项和 并猜想出数列的通项公式 然后用数学归纳法证明 分析 通过计算数列的前几个项 发现规律 猜想数列的通项公式 然后用数学归纳法证明 归纳 猜想 证明 正解 不成立 当n 1时 左边 2 右边 12 1 1 3 左边 右边 所以不成立 点评 用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的 特别是步骤 1 往往十分简单 但却是不可忽视的步骤 本题中 虽然已经证明了 如果n k时等式成立 那么n k 1时等式也成