高中数学 2.4.1抛物线的标准方程课件 新人教A版选修21.ppt

抛物线的标准方程 学习目标1 理解抛物线的定义 明确焦点 准线的概念 2 了解用抛物线的定义推导开口向右的抛物线的标准方程的推导过程 进一步得出开口向左 向上 向下的抛物线的标准方程 3 熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开口方向 焦点坐标 准线方程之间的关系 桥梁 生活中的抛物线 隧道 生活中的抛物线 生活中的抛物线 流星雨 掷球 乒乓球 投篮 1 抛物线的定义平面内到一个定点f和一条定直线l f l 的距离 的点的轨迹叫做抛物线 定点f叫做抛物线的焦点 叫做抛物线的准线 2 抛物线的标准方程一条抛物线 由于它在平面内的位置不同 方程也不同 所以抛物线的标准方程除y2 2px p 0 外 还有其他三种形式 y2 2px x2 2py x2 2py p 0 相等 定直线l 现将这四种抛物线的图形 标准方程 焦点坐标及准线方程列表如下 1 在抛物线定义中 若去掉条件 l不经点f f l 点的轨迹还是抛物线吗 提示 不一定是抛物线 当直线l经过点f时 点的轨迹是过定点f 且垂直于定直线l的一条直线 l不经过点f时 点的轨迹是抛物线 问题探究 2 已知抛物线的标准方程 怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向 提示 一次项变量为x 或y 则焦点在x轴 或y轴 上 若系数为正 则焦点在正半轴上 系数为负 则焦点在负半轴上 焦点确定 开口方向也随之确定 求抛物线的方程通常有定义法和待定系数法 由于标准方程有四种形式 因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上 进而确定方程的形式 然后再利用已知条件确定p的值 课堂互动讲练 考点突破 考点一 求抛物线的标准方程 例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 过点 3 4 2 焦点在x轴上 且抛物线上一点a 3 m 到焦点的距离为5 思路点拨 1 由已知点所在象限 可设抛物线方程 2 利用定义求参数p 点评 求抛物线标准方程时 若抛物线的焦点位置不确定 则要分情况讨论 另外 焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2 ax a 0 焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2 ay a 0 自我挑战1已知抛物线的顶点在原点 对称轴是x轴 抛物线上的点m 3 m 到焦点的距离等于5 求抛物线的方程和m的值 抛物线的定义可以实现到定点的距离与到定直线距离的转化 利用这种等价性可以解决相关的问题 例2求证 以抛物线的焦点弦 通过焦点的弦 ab为直径的圆与抛物线的准线l相切 思路点拨 解答本题可结合抛物线的定义 分析各线段与圆的半径的关系 考点二 抛物线定义的应用 以抛物线的焦点弦ab为直径的圆与抛物线的准线l相切 点评 由于抛物线上的点到焦点的距离与其到准线的距离相等 所以 在有关抛物线的问题中 常常会涉及两种距离的转换 特别是把到焦点的距离转化到准线的距离 在涉及到距离之和最小或距离之差的绝对值最大的问题时 又常常结合三角形中的边边关系 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边等性质 自我挑战2已知抛物线y2 2x的焦点是f 点p是抛物线上的动点 又有点a 3 2 求 pa pf 的最小值 并求出取最小值时p点坐标 名师点评 1 本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题 利用数学模型 通过数学语言 文字 符号 图形 字母等 表达 分析 解决问题 2 在建立抛物线的标准方程时 以抛物线的顶点为坐标原点 对称轴为一条坐标轴建立坐标系 这样可使得标准方程不仅具有对称性 而且曲线过原点 方程不含常数项 形式更为简单 便于应用 1 抛物线的定义抛物线定义的实质可归结为 一动三定 一个动点 设为m 一个定点f即抛物线的焦点 一条定直线l即抛物线的准线 一个定值即点m与点f的距离和它到直线l的距离之比等于1 方法感悟 2 抛物线的标准方程 1 抛物线标准方程的灵活 辅设 对于已知焦点所在轴的抛物线 在不知开口方向时 可将抛物线方程设为y2 ax a 0 此时焦点在x轴上 或x2 ay a 0 此时焦点在