二重积分的计算法ppt课件 (2).ppt

1 第二节 一 利用直角坐标计算二重积分 二 利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 X 型积分区域 Y 型积分区域 将二重积分化为二次积分 与直系下二次积分互化 2 一 利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时 由曲顶柱体体积的计算可知 若D为X 型区域 直角坐标系下化二重积分为二次积分 3 应用计算 平行截面面积为已知的立体求体积 的方法 由此得 则 的值等于以D为底 以曲面 为顶的圆柱体的体积 4 若D为Y 型区域 则 5 当被积函数 均非负 在D上变号时 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 由于 6 说明 1 若积分区域既是X 型区域又是Y 型区域 为计算方便 可选择积分序 必要时还可以交换积分序 则有 2 若积分域较复杂 可将它分成若干 X 型域或Y 型域 则 7 穿过区域且平行于y轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点 直线与区域边界相交不多于两个交点 计算中的技巧 问题 先画积分区域草图 有无奇偶对称性 X型区域的特点 穿过区域且平行于x轴的 Y型区域的特点 8 关于x奇 D关于y轴对称 关于y奇 D关于x轴对称 关于x偶 关于y偶 D关于y轴对称 D关于x轴对称 称f x y 关于x为奇 称f x y 关于x为偶 9 交换积分次序 题目本有要求 出现 二重积分恒等式证明 积分原则 与定积分计算基本一致 先对x积分 视y为常量 对y积分 视x为常量 何时不得不将积分域D分块 穿入穿出不唯一 10 解 积分区域如图 11 解 积分区域如图 12 解 13 原式 14 例4 计算 其中D是直线y 1 x 2 及 y x所围的闭区域 解法1 将D看作X 型区域 则 解法2 将D看作Y 型区域 则 15 例5 计算 其中D是抛物线 所围成的闭区域 解 为计算简便 先对x后对y积分 及直线 则 16 例6 计算 其中D是直线 所围成的闭区域 解 由被积函数可知 因此取D为X 型域 先对x积分不行 说明 有些二次积分为了积分方便 还需交换积分顺序 17 例7 求I 解 由被积函数可知 取D为X 型域 因此取D为Y 型域 先对y积分不行 18 例8 求I 解 被积函数关于x为奇 关于y为奇 因此取D分为两部分 19 例9 计算 其中D由 所围成 解 令 如图所示 显然 20 二 利用极坐标计算二重积分 在极坐标系下 用同心圆r 常数 则除包含边界点的小区域外 小区域的面积 及射线 常数 分划区域D为 21 设 则 1 极点在积分区域外 22 设 则 设 则 2 极点在积分区域的边界上 3 极点在积分区域的内部 23 若f 1则可求得D的面积 思考 下列各图中域D分别与x y轴相切于原点 试 答 问 的变化范围是什么 1 2 24 适合类型 积分域为圆域或圆域的一部分 包括环形域 被积函数含 因子 注意的问题 必须画出积分区域图 特别注意积分向量 限的确定问题 不要忘记 25 积分限的决定 一般来讲 定好是比较关键的 表示常数 曲线任意一点到极点的距离 积分限的确定 一般 假设极点在闭区域D内 则 若极点在区域D之外或边界上 看区域D 夹在 与 之间 以此来定 的范围 通过图形来看 26 注意 外层一定是常数限 选定 还是r r积分限的确定 仍用穿刺法 具体做法 在D内任找一点 从原点0出发向外作射线 要注意此时与D边界的交点不能多于两个 先穿出的的边界解出的 为下限 后穿出 的边界解出的r为上限 上限必须大于下限 27 例1 计算 其中 解 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算 28 例2 求I 其中A为D的面积 29 内容小结 1 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 若积分区域为 则 若积分区域为 则 30 则 极坐标系情形 若积分区域为 若积分域较复杂 可将它分成 若干X 型域或Y 型域 则 31 3 计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量