毕业论文-浅谈导数在实际问题中的应用.doc

浅谈导数在实际问题中的应用 1 浅谈导数在实际问题中的应用 摘要 导数是高等数学中的主要内容之一 是近代数学重要基础 是联 系初等数学和高等数学的纽带 其应用非常广泛 导数由于其应用的广泛 性 为解决有关函数问题提供了一般性的方法 导数是研究函数的切线 单调性 极值与最值等问题的有力工具 运用它还可以简捷地解决一些实 际问题 本文在已有文献的基础上 给出了导数在研究函数性质和状态中 的若干应用 并理论联系实际 研究了导数在利润 资源 容器制造 变 路移址方面的应用 推广了已有文献的结果 关键词 导数 极值 应用 Application of Derivative in the Practical Problems Abstract Derivative is the main content of higher mathematics is one of the important foundation of modern mathematics is elementary mathematics and advanced mathematics to contact the bond which is widely used Derivative due to its wide application for solving problems related to a general function of the method is to study the derivative of the tangent function the extreme value problems and the most powerful tool the use of it can be simple to solve some practical problem In this paper based on the literature given the derivative nature and status of the research function of the number of applications and theory with practice study the derivative of profits resources container manufacturing and change the application of road Relocation to promote the results of the literature Keywords derivative extremum application 浅谈导数在实际问题中的应用 2 1 引言 导数亦名微商 由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念 又称变化率 导数是近代数学的重要基础 是联系初 高等数学的纽带 它的引入为解决中 学数学问题提供了新的视野 是研究函数性质 证明不等式 探求函数的极值 最值 求曲线的切线斜率和解决一些物理问题等的有力工具 导数是高等数学 内容中极为重要的知识 在解题中有着广泛的应用 为我们解决问题提供了很 好的方法 运用导数可以简捷的解决一些实际问题 本文将在已有文献的基础 上 给出导数在研究函数性质和状态中的若干应用 并将探讨导数在利润 资 源 容器制造 变路移址方面的应用 推广了已有文献的结果 2 导数的定义与几何意义 一般地 假设一元函数在点的附近内有定义 当 yf x 0 x axax 00 自变量的增量 0 时 函数增量与自变量增量之比xAx 0 x 0 yf xf x A 的极限存在且有限 就说函数在点可导 称之为在点的导数 或变化f 0 xf 0 x 率 若函数在此区间的每一点都可导 便得到一个以定义域为定义域的新函f 数 记 称之为的导函数 简称为导数 1 ff 函数在点的导数为的几何意义 表示曲线在 yf x 0 x 0 fx 点的切线斜率 000 P xf x 3 导数在研究函数性态中的若干应用 利用导数研究数学的实际解题 如函数单调性 函数的极值与最值 不等 式 根的分布 数列求和等 这体现在知识的交汇处解题的指导思想 现就导 数在这几方面的应用举例说明 以便对导数的应用有更好的理解 2 3 1 导数在研究函数单调性中的应用 例例 1 讨论下列函数单调区间 29123 2 xxxxf 解 函数的定义域 R 31329123 2 xxxxxxf 浅谈导数在实际问题中的应用 3 令 其根是 1 与 3 他们将分成三个区间 0 x fR 3 3 1 1 当或时 当时 所以函数的递 1x 3 x 0 x f 3 1 x 0 x f 增区间为和 函数的递增区间为 1 3 3 1 例例 2 2 设函数 在处取得极值 试用 表示 和 f x 32 xaxbxc 1x 2 ca 并求的单调区间 b f x 解 依题意有 而 1 2f 1 0f 2 1 32fxaxb 故 解得从而 12 320 abc ab 23 ac bc 2 32 23 323 1 fxxcxcxcx 令 由于在处取得极值 故 23 0 1 3 c fxxx 得或 f x1x 1 即 分以下两种情形讨 23 3 c 3 c 若1 即 则当时 当 23 3 c 3c x 23 3 c 0 fx 当时从而的单调增区间为 23 1 0 3 c xx 时 f 1 x 0 fx f x 单调减区间为 23 3 c 1 23 1 3 c 若 1 即同上得 的单调递增区间为 23 3 c 3c xf 单调减区间为 23 1 3 c 23 1 3 c 利用导数判断函数的单调性 因为函数是可导函数 从而它的单调增 f x 区间就是 0 的解 它的单调减区间是 x 0 是为增函数的充分不必要条件而非充要条件 fx f x 浅谈导数在实际问题中的应用 4 3 2 导数在研究函数极值与最值中的应用 例例 3 3 已知函数 求其函数的最大值与最小值 f x3xx 1 5 解 对于任意的 最小值 3 ln3 x fx 1 5 0 xfx 1 f 最大值 1 1 3 3 5 f 5 3 例例 4 4 3 若函数在处时有极值 求函数在 1 23 bxaxxxf1x 3 f x 区间上的最值 3 3 2 解 函数的定义域为 因从而 baxxxf 23 2 xfx时 1 取得极值 可知 1 0 即 f 320 113 ab ab 解得 3 0 ba 3 31f xxx fx 2 33 x 0 得 1 或 1 当 变化时 的变化状态如下 fxxxx f xfx 表 1 x 1 1 1 1 1 1 x f 0 0 f x 极小值 1 极大值 3 由表 1 可知 故时 取得极小值为 1 当时 取得极大值 3 1x 1x f x 19 3 f 8 17 2 3 f 因此时 在上取得最大值 19 当 1 在上取得3x f x 3 3 2 x f x 3 3 2 最小值 1 利用导数的性质先求函数的极值 再决定极值是否为最值 设函数在 f x 浅谈导数在实际问题中的应用 5 上连续 在可导 求函数在上最大值与最小值的步骤如下 ba ba f x ba 1 求在内的极值 f x ba 2 将的各极值同与比较 确定在最大值与最小值 f x f a f b f x 3 3 导数在证明不等式中的应用 利用导数证明不等式问题中 应用拉格朗日中值定理 首先找到一个适合 函数 看其是否符合拉格朗日中国值定理的条件 符合可尝试应用拉格朗日中 值定理 有时可利用导数判断函数单调性的方法 也必须找到一个适当的函数 通过分析其单调性 求题干中不等式 所以在利用导数证明不等式中 通过所 选方法 确定适当的函数解决问题是至关重要的 例例 5 证明 ln 1 0 1 x xx x x 证 设函数 则有并且对任意 0 对函数 uuf 1ln 1 1 f u u x 在区间上应用拉格朗日中值定理可得 uf 0 x c x x 1 1ln 其中 又由于 有 同时除以得xc 01 11cx 11 ln 1 x x x x 111 ln 1 x xxx 故不等式成立 例例 6 证明 1 11 2 xx 0 x 证明 令 则有 1 11 2 F xxx 11 2 1 x F x x 从而 所以在单调递增 又所以 0 0 F xx xF 0 00 F 1 11 2 xx 0 x 故不等式成立 浅谈导数在实际问题中的应用 6 3 4 导数在求根的分布问题中的应用 例例 7 4 已知是二次函数 不等式的解集是 0 5 且在 f x 0f x xf 区 间上最大值是 12 1 4 求的解析式 f x 是否存在实数 使得方程在区间内有且只有两m 37 0f x x 1 mm 个不等的实数根 若存在求出的取值范围 若不存在 说明理由 m 解 因为是二次函数 且 0 的解是 0 5 所以可设 f x f x f x 5 ax x 0 a 因在区间上的最大值是 则 从而可得 故 f x 1 4 1 f af61 2 a f x 2 210 xx xR 方程等价于方程 不妨设 37 0f x x 32 210370 xx 3 210h xxx 37 xR 则有 2 10 6206 3 h xxxx x 则有当时 是减函数 当时 10 0 3 x 0h x xh 10 3 x 0h x 是增函数 因为 所以方程 xh 3 10 h 101 0 327 h 4 50h 在区间内分别有为一实数根 而在区间内没 0h x 1010 3 4 33 0 3 4 有实数根 所以存在唯一的自然数使方程在区间内3 m 37 0f x x 1 mm 有且只有两个不同的实数根 利用导数研究根的分布 可以确定函数的极值点 对函数的变化趋势做出 估 计 然后根据题中的信息进行推理 找到可疑点 其中找极值点的方法 直接利用定义能判断 利用实际背景进行判断 浅谈导数在实际问题中的应用 7 查看一阶导数的符号 当从左向右穿越可疑点 若的符号x 0 x fx 由 正 变为 负 则为严格极大值 由 负 变为 正 则为 0 f x 0 f x 严格极小值 不变号 则不是极值 fx 0 f x 3 5 导数在数列求和中的应用 利用导数求数列的和 关键在于抓住和式的结构特征 联想求导公式 构 造相关的函数式 通过对函数式的不同表达式求导 来达到问题解决 体现出 用导数法解决有关初等数学的优越性 例例 8 求下列数列之和 1x 1 21 123 n xxnx 2 22221 123 n xxn x 3 222222 234 n n CC xC xC x 解 由于 1 1 2 kk xkxkn 可设 则有 21 123 n fxxxnx 23 1 n f xxxxx 从而 上式两端对 求导 整理得 1 23 1 1 1 n n x xxxx x 1 x x 1 21 2 1 1 123 1 nn n nxnx xxnx x 题中 比较式 与式 中的通项可以发现 只须对式 两端同乘以 再对 求xx 导便可得到 22221 123 n xxn x 22122 3 1 1 221 1 nnn xnxnnxn x x 由 2221 1 1 22 nnn n n n C xxnx 可知只需对式 两端继续求导 便可得到 浅谈导数在实际问题中的应用 8 22 23 24 3 1 n xxn nx 21221 3 2 2 1 1 nnn nn xnxnn x x 所以 222222 234 n n CC xC xC x 21221 3 2 2 1 1 nnn nn xnxnn x x 只要给上述三个求和式中的 赋予具体值 便可的得到一系列的数列求和x 公式 例如在题干 中令得到 而之2 x 21 12 23 222 1 1 nn nn 前我们只能用 错位相减法 来求解 例例 9 求下列数列的和 123 23 n nnnn CCCnC 122232 23 n nnnn CCCn C 2122232 2341 21 111 222 n nnnnn n C CC CC CCC 解 观察式 中各项的组合数排序类相似于二项式展开式中各项的组合 排序 故可设 0122 1 n nn nnnn xCC xC xC x 两端对 求导 得x 112321 1 23 nnn nnnn nxCC xC xnC x 令 得1 x n 123 23 n nnnn CCCnC 1 2n 只须对式 得两端同乘以 再求导便可得到x 21 1 1 1 nn n nxxnx 12223221 23 nn nnnn CC xC xn C x 令 得1 x 122232 23 n nnnn CCCn C 21 12 n n C 只须在式 两端同时乘以 再求导便可得到 2 x 221 1 1 2 1 nn n nxxnxx 12233 23 24 3 1 nn nnnn C xC xC xnnC x 令 得 1 2 x 浅谈导数在实际问题中的应用 9 123 23 23 24 3 1 2222 n nnnn n nn CCCC 212 1 333 1 71 222 nnn nnn n nnnn 即 2122232 2341 21 111 222 n nnnnn n C CC CC CCC 2 3 71 2 n n nn 4 导数在实际生活中的应用 在数学中 通常利用一阶导数来判断函数的单调性 求出函数的极值与最 值等 而其中求函数的最值问题与函数的最优化问题有着密切联系 生活中经 常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题称为优化问题 优化问题也称为最值问题 解决这些问题具有非常现实的意义 这些问题通 常可以转化为数学中的函数问题 进而转化为求函数的最大 小 值问 题 下面我们利用导数来解决 生活中最大经济效益 资源的合理利用 器具 制造 变路移址等一系列问题 解决以上问题首先是如何转化特定的数学问题 然后再利用导数去分析 解决 最后通过计算结果来推出所研究问题的结论 下面举例对其进行具体分析 4 1 导数在生产利润问题中的应用 例例 10 现要生产某种洗衣机 若已知设该洗衣机的售价为元 年需求量p 为台则其成本函数为 经过市场研究发现 这种洗衣q 36 3 9 107 10c qq 机年需求量 那么销售量及售价为多少时是利润最大q 5 3 2 1040p 解 由题意知 则 5 3 2 1040qp 32 8 100 025pqq 设总的利润函数为 总的收入函数为LR 332 8 100 025 8 100 025Rpqq qqq 所以若销售量为 则销售函数为q 326 4 1 100 0257 10L qR qC qqq 对 式求导 3 4 1 100 05L qq 令求得是函数的唯一驻点 所以是利润函数的 0L q 4 8 2 10q 4 8 2 10q 的极大值点 当时 最大利润为 L q 4 8 2 10q 浅谈导数在实际问题中的应用 10 344268 4 1 108 2 100 025 8 2 10 7 102 201 10L q 售价为 5950 34 8 100 025 8 2 10p 例例 11 6 某公司为了生产某小型卡尺 购置机器等基础设施费用 6000 元 生产一只卡尺至少平均消耗等一切成本 20 元 销售部保证每年卡尺 R qpq 利润函数为至少 10000 只 售价 50 元 如果欲使每年的销 32 6 2 100 02qq 售额增加 根据市场的调查可推知销售每年增加 2000 只要相应的使价格降低 2 元 假设这种商品生产量与销售量相等 分析年产量为多少时公司获利最大 解 设卡尺的年产量为只 有题可知成本函数 由于每年x 6000C xx 销售卡尺 10000 只 所以价格 10000 50260 20001000 xx P x 其中 收入函数 可得利润函数为10000 x 2 60 1000 x R xxP xx 2 406000 1000 x M xR xC xx 作为生产厂家一定会在利润比小于 0 的状态下进行生产 即且收入函 0M x 数一定要满足 从而得到产量取值范围 欲使最大 0R x 1000 6000 M x 只需满足 即只 此时 R xC x 2 602020000 500 x x 1 0 500 R x 是区间内唯一驻点 所以是利润达到最大 2000 x 1000 60002000 x 4 2 导数在资源的合理利用中的应用 例例 12 某宾馆有 60 间客房 已知每间客房每天 100 元将全部租出 所租房 间店主每天需支付 10 的水电费 若每间房每天多收 10 元 则有一间房间不能 租出 试求每天租金定为多少 才能是店主所获利润最大 解 设每间房每天租金为元 则成本函数为x 100 10 60 10 x C x 浅谈导数在实际问题中的应用 11 收入函数为 100 60 10 x R xx 利润函数为 100100 60 10 60 1010 xx L xR xC xx 即 2 71700 10 x L xx 对 求导得令解得 1 71 5 L xx 0L x 355x 所以是函数的驻点 也是是函数的最大值355x 当时 最大利润为355x 11902 5 2 355 71 355700 10 L x 所以当租金为 355 元时所获利润最大 例例 13 如图 1 现有直径为的圆木 锯成横截面是矩形的梁 从材料力d 学知道 横截面是矩形的梁的强度 Q 是常数 若要使 2 kbh bAB hAD k 强度最大 则 DA AB 的值为多少 图 1 解 设 故 ABbx 22 ADhdx 222 Qkbhkx dx 22 3Qkdkx 令 得 当时 当时 0Q 3 d x 3 d x 0Q 3 d x 0Q 故当 取最大值 容易验证 此为在 0 内的最大值 此时 3 d x QQ d 浅谈导数在实际问题中的应用 12 22 2 3 DAdxd 所以 2 1DA AB 223 max 2 3 93 d Qkdxkd 由以上例题可以发现 用导数的知识解决资源的合理利用问题的分析是比 较方便简洁的方法 4 3 导数在器具制造中的应用 例例 14 边长为 60的一块正方形的铁皮的四角各截去一大小相同的小正方cm 形 然后将四边折起做成一个无盖的方底箱子 箱底边长为多少时 箱子的容 积最大 最大容积为多少 解 设箱子的边长为 则箱高 xcm 60 2hx 则箱子的容积为 223 60 2 0 60 V xx hxxx 对 求导 得 2 3 60 2 V xxx 令 得驻点 0V x 12 40 0 xx 舍去 所以是函数的极值点 而且也是函数在 1 40 x 223 60 2V xx hxx V x 的最大值点 由此可知 当箱底的边长为 40时 做成的箱子容积 0 60 x cm 最大 最大容积为 23 40 60 4040 216000V 2 cm 例例 15 现要设计一个帐篷 它下部得形状是高为 1正方棱柱 上部形状是m 侧棱长为 3的正六棱锥 试问当帐篷的顶点到底面距离为多少时 帐篷的体m 积最大 解 设顶点到底面的距离为为 则由题意可得正六棱锥底面边长为xm 2 3 1 x 2 82xx 于是底面正六边形的面积为 浅谈导数在实际问题中的应用 13 222 33 3 6 82 82 42 xxxx 帐篷的体积为 23 3 313 82 1 1 16 12 232 V xxxxxx 对 导数 得 令解得 舍去 2 3 123 2 V xx 0V x 2x 2x 当时 为函数 当 为减函数 所以当时 12x V x24x 0V x V x2x 最大所以当帐篷的顶点到底面的距离为 2时 帐篷的体积最大 V xm 器具制作常常是一元三次函数求最值问题 而且平均不等式又较难配系数 用导数极易求解 4 4 导数在变路移址中的应用 例例 16 7 河宽 两岸各有一座城市与 与的直线距离是 akmABABb km 今需在与之间铺设一条电缆 已知地下电缆的修建费是 万元 水下电ABckm 缆的修建的费用是地下的电缆的修建费的 倍 假设河两岸呈平行直线nn1 状 那么应如何铺设电缆方使费用达到最省 22 b n ba 图 2 解 如图 2 设按 ADB 的路线铺设电缆 依题意 点 D 在 BC 段 设 CD 总的施工费用为万元 依题意xkmy 2222 ync axcbax 22 0 xba 22 ncx yc ax 浅谈导数在实际问题中的应用 14 令得 当时 当时 0y 2 1 a x n 2 1 a x n 0y x 2 1 a n 0y 故当时 因为只有唯一的极小值 所以在此取得最小值 2 1 a x n y 例例 17 8 工厂到铁路线的垂直距离为 20 垂足为 铁路线上距离为AkmB 100处有一原料供应站 现要在铁路之间某处修建一个原料中转站 kmCBCD 再由车站向工厂修一条公路 如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比D 3 5 那么 应该在何处 才能使原料供应站运货到工厂所需运费最省 DCA 解 设之间的距离为 则有BDxkm 22 20 ADx 100CDx 如果公路费用为 那么铁路运费为 故原料供应站途径中 akm元 3 5 akm元C 转站到