毕业论文-三质点三弹簧系统的振动分析.doc

三质点三弹簧系统的振动分析陈美玲（渭南师范学院 物理与电气工程学院 物理系09级物理学1班）摘 要：对多自由度系统振动进行分析，以一个三质点三弹簧的振动系统为实例进行深入研究，利用主振型变换和正则振型变换等方法分析系统的固有频率、主振型，重点分析无阻尼系统对初始条件的响应和对激励的响应，以及有阻尼系统对激励的响应，最后对系统能量进行分析，使此研究能为以后工程机械提高效率提供有效的理论指导。 关键词：固有频率；无阻尼系统；有阻尼系统；激励响应；能量 以弹簧-质量系统为模型，研究多自由度系统振动特点，过去有质点系的微振动,弦振动的相关研究，均使用拉格朗日方程和微扰法进行求解。利用矩阵进行坐标变换使系统去耦, 它为研究多自由度的受迫振动提供了有效而方便的方法，同时相关的还有用能量法求系统固有频率。本文以三质点三弹簧系统作为实例，利用拉格朗日方程、振动叠加、正则变换或主振型变换等方法分析系统的固有频率、主振型，分别讨论无阻尼系统对初始条件的响应和对激励的响应，以及有阻尼系统对激励的响应，进而分析系统的能量。1系统固有频率、主振型1.1 模态模态（也称固有振动模态或主模态）是多自由度线性系统的一种固有属性，可由系统的特征值与特征矢量（固有矢量或主振型）二者共同来表示；它们分别从时空两个方面来刻画系统的振动特性。分析表明，多自由度系统的振动都可以由各个模态振动叠加而成。一方面，系统特征值确定了各个模态振动的固有频率与阻尼率，另一方面，系统特征矢量规定了一种空间模式，它确定在模态运动中各个位移矢量之间的相对振幅与相位。1.2固有频率 首先考虑多自由度线性振动系统，它的运动微分方程可表示为 (1) 式中是位移矩阵；与分别为系统的质量与刚度矩阵，它们都是阶实对称阵，且设为正定,是激励列阵。系统的自由振动微分方程可表示为 0 (2) 它的解可设为 (3) 其中为振幅列阵 ,为原频率，为初相位,它们都是特定的量。将上式代入自由振动微分方程，可得（系统的特征方程）由此可确定，并按排列，=1,2 。称为系统的固有频率。固有频率仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数。 1.3 主振型 多自由度系统的模态也称为主振型,仍然讨论正定系统的主振动，对于自由度系统，总可以找到个固有频率和与之对应的阶主振型。用阵、阵来表示振动的特征值问题。特征值问题：一一对应在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的过程称为归一化。描述了系统做第阶主振动时具有的振动形态，称为第阶主振型或模态。 主振型仅取决于系统的阵、阵等物理参数。 1.4三质点三弹簧实例图1是三自由度振动系统，设, ，试 求系统的固有频率和主振型。 图1三自由度振动系统 分析：选择，坐标，则系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为 将和代入频率方程得： 解方程得到系统的三个固有频率为 再求特征矩阵的伴随矩阵 设取其第三列(计算时可只求出这一列)，将值代入，得到第一阶主振型为 二，三阶 2无阻尼系统对初始条件的响应和对激励的响应2.1主坐标变换和正则坐标变换 自由度的振动系统，具有个固有频率和与之对应的阶主振型，且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。主振型为正交型,以各阶主振型矢量为列，按顺序排列成一个阶方阵，称此方阵为主振型矩阵或模态矩阵，即 根据主振型的正交性，可以导出主振型矩阵的两个性质 主刚度矩阵，主质量矩阵以各阶正则振型为列，按顺序排列成一个阶方阵，称此方阵为正则振型模态矩阵，即 根据主振型的正交性，可以导出正则矩阵的两个性质 由此也得到，主振型矩阵与正则振型矩阵，均可使系统的质量矩阵和刚度矩阵转换成为对角阵。因此，可利用二者进行坐标变换，进而求主坐标或正则坐标。2.1.1 三质点三弹簧实例分析前例图示系统中的主振型矩阵和正则振型矩阵。析： 将1.4节求得的各阶主振型依次排列成方阵，得到主振型矩阵 由质量矩阵 ，可求出主质量矩阵 可得各阶正则振型：以各阶正则振型为列，写出正则振型矩阵： 2.2 无阻尼系统对初始条件的响应 已知自由度无阻尼系统的自由振动运动微分方程0 当=0时，系统的初始位移与初始速度为 求系统对初始条件的响应。 求解的方法是：先利用主坐标变换或正则坐标变换，将系统的方程式转换成个独立的单自由度形式的运动微分方程；然后利用单自由度系统求解自由振动的理论，求得用主坐标或正则坐标表示的响应；最后，再反变换至原物理坐标求出自由度无阻尼系统对初始条件的响应。用正则坐标变换求解的方法 - (4)系统的响应是由各阶振型叠加得到的，又称振型叠加法= (5)2.2.1三质点三弹簧对初始条件的响应设初始条件是分析系统的响应。分析: 已由2.1.1节求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵 得到用正则坐标表示的响应 求出系统对初始条件的响应 (6)将，代入上述矩阵中。为了直观体现各质点位移、速度随时间的变化关系，取分别画图如下所示： 图2 的位移随时间变化图 图3 的速度随时间变化图 图4 的位移随时间变化图 图5 的速度随时间变化图 图6 的位移随时间变化图 图7 的速度随时间变化图由以上图可以看出，对于比较复杂的系统它们在一定的初始条件下，位移、速度随时间变化关系都比较复杂。2.3 无阻尼系统对激励的响应 设系统受到激振力，为了求系统对此激振力的响应，现采用主振型分析法和正则振型分析法。 利用主坐标变换 （） (7) 以主坐标表示的受迫振动方程式，它是一组个独立的单自由度方程，即 （）同单自由度无阻尼受迫振动,设其稳态响应是与激振力同频率的简谐函数，即 （） （） (8) 代入原物理坐标 这就是系统对简谐激振力的稳态响应。3 有阻尼系统对激励的响应 3.1 多自由度系统的阻尼采用线性阻尼的假设，认为振动中的阻尼与速度的一次方成正比。在多自由度系统中，运动微分方程式中的阻尼矩阵一般是阶方阵。有 (9),分别为矩阵的质量、阻尼与刚度矩阵，而为广义扰力矩阵。作为阻尼矩阵与刚度影响系数和类似，阻尼矩阵中的元素称阻尼影响系数。它的意义是使系统仅在第个坐标上产生单位速度而相应于在第个坐标上所需施加的力。利用主坐标分析法，用主振型矩阵试对阻尼矩阵进行对角化 （一般不是对角矩阵） (10)在此引入比例阻尼，阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合 (11) （是正的常数）主阻尼矩阵 (12)3.2 存在比例阻尼时的强迫振动 当多自由度系统中的阻尼矩阵是比例阻尼时，需要解耦运用正则坐标变换解耦由正则坐标变换关系式 得到系统的稳态响应 (13) 这种方法称有阻尼系统响应的振型叠加法。 3.3 三质点三弹簧实例 如图8所示有阻尼的弹簧质量振动系统，如，,各质 量上作用有激振力其中，各阶振型阻尼比 为求系统的响应。 图8有阻尼的弹簧质量振动系统分析：1 由简化模型列写无阻尼受迫振动方程 2 求固有频率和正则振型 ， 由特征矩阵的伴随矩阵的第一列得主振型和正振型矩阵 3 进行坐标变换 4 关于对正则坐标的响应5 求出系统的响应 4 对系统能量进行分析4.1无阻尼系统的能量 在阻尼可以略去不计的前提下，系统在自由振动中任一时刻的机械能保 持常值。常数 取各个物理坐标（，）作为广义坐标，系统的动能可表示为 (14)系统的势能可表示为 =+(-)+=- （15）广义坐标等同于物理坐标将它们代入方程，可得其中 =，=，=diag, =trid=+, =, , -14.2三质点三弹簧系统的能量=+=（+）+（+）-=4.3弹簧与阻尼器串联的线性系统能量 由于主振型的正交性，不同阶的主振动之间不存在动能的转换，或者说不存在惯性耦合。可以证明第阶固有振动的广义弹性力在第阶固有振动的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同阶固有振动之间也不存在势能的转换。 从能量的观点看，各阶主振动是互相独立的，这就是主振动正交性的物理意义，这也得到系统的总能量守恒。由于系统能量无交换，且系统为阻尼系统，存在内耗能系统的能量 =+ (16) 系统的动能 = (17)系统的势能 =- = (18) 系统的内耗能 =+(-)+ =(+)- = (19)考虑到，本系统中广义坐标等同于物理坐标，因而广义力就等同于扰力，即： =， 将它们代入方程，可得 ， =trid =+, =-, -1实质为在原无阻尼系统添加阻尼器产生的阻尼干扰项（系统内耗能） 得到系统能量是有关于时间的变量，因此，在机械和工程中需要合理运用系统，降低系统之间的耗能和阻尼振，使系统的能量损耗逐渐降低，提高利用率。4.4有阻尼三质点三弹簧系统能量给上面（16-18）式代入=3得： =+ =（）+（）-=(+)-=5结论本文对三质点三弹簧系统进行研究，得到系统的固有频率和主振型仅取决系统本身的刚度、质量等物理参数；系统对初始条件和对激励的响应运用主振型变换和正则振型变换得到其和时间有关，尤其是有扰力的激励响应，系统的位移和速度都会产生衰减；无阻尼系统的能量机械能守恒，动能和势能相互转化，但对于有阻尼系统，由于各阶主振动独立产生内耗能，但总能量守恒，仍然是有关时间的变量。通过此研究，得到多自由度系统的能量会受到振型的正交性影响，为提高能量利用率，应该尽可能克服系统的耦合。（指导老师：张宁宁）参考文献1 龚善初.三质点弦振子系统振动分析J.河南科技大学学报（自然科学版）2005,26(2):3.2 刘瑞金.多自由度微振动的研究J.自然科学与工程版,2000,38(3):2.3 潘孟美.用矩阵方法处理3自由度系统的微振动J.海南师范学院学报(自然科学版)2005-9-18(3):1.4 李真.多自由度系统高频振动的研究J.沈阳大学学报2000,23(04):3.5 周衍柏.理论力学M.北京:高等教育出版社,2010.235-239.6 张海澜.理论声学M.北京:高等教育出版社,2010.40-73.7 方同,薛璞.振动理论及应用M.西安: 西北工业大学出版社,1997.130-136.8 刘延柱,陈文良,陈立群.振动力学M.北京: 高等教育出版社, 1998.73.9 胡宏营.工程原理M.北京:电子工业出版社,2010.23-26.10 梁红,刘淑兰.多自由度系统耦合分析学案J.哈尔滨商业大学学报(自然科学版) 2003,21(3):3.11 倪永军,谢长生.无阻尼系统和有阻尼系统J.沈阳大学学报2003,11(10)：2.Vibration Analysis of Three-Particle Three SpringCHEN Mei-ling（Physics,Class 1,Grade 2009, School of Physics and Electrical Engineering,Weinan Normal University）Abstract:The Multi-freedom vibration system is researched by taking a three-particle spring vibration system as an example. In order to conduct an in-depth study, using the natural frequency of the vibration mode transformation and the regular modes transform analysis to research the systems natural frequencies and main mode shapes, Focus on the response that the analysis of undamped system give to the initial conditions and incen