毕业设计（论文）-基于等价观测站的稳健估计研究.doc

重庆大学本科学生毕业设计（论文）基于等价观测值的稳健估计研究学 生：学 号：指导教师：专 业：大学学院二O一四年六月Graduation Design (Thesis) of Robust estimation research based on equivalent observations Undergraduate:Supervisor: Major: June 201459重庆大学本科学生毕业设计（论文） 中文摘要摘 要测量数据可能存在着粗差，而经典最小二乘平差方法对粗差敏感，为了减弱粗差的影响，许多学者基于统计学中稳健估计的理论，提出了各种稳健估计方法。注意到，经典的稳健估计理论是基于独立同分布（iid）样本，然而测量中的各个观测值常常是相关的。适用于独立样本的理论和方法，推广到相关观测，不可避免会遇到困难。目前流行的是基于等价权的方法和基于等价方差-协方差阵的稳健估计方法。但这些方法仍在一定程度上有缺陷。本文提出了等价观测值的概念，基于经典的稳健估计理论，通过严密的数学变换，调整相关观测条件下的平差模型，建立了一种全新的稳健最小二乘估计理论，使不等价权函数最终在形式上又回归到等价权函数的严密数学运算中，避免了测量界与数学界间的不一致性。并且，这一理论还将通过具体算例，与基于等价方差-协方差阵的稳健最小二乘估计理论在思想、模型和精度方面进行比较，从而严格证明其正确性和可行性。关键词：稳健最小二乘估计，等价权，等价方差-协方差，等价观测值重庆大学本科学生毕业设计（论文） 英文摘要ABSTRACTAs we know, measured data necessarily has error, but the classical least squares theory hast resistant to it. Thus, many academics proposed a series of robust estim-ation methods based on the theory of robust estimation in Statistics to weaken the influence of gross error. Attention, classical robust estimation theory based on inde- pendent identical distribution, but the observations are not completely independent of each other and often have some correlation. So, the theory and method being suitable for independent samples will inevitably encounter difficulties to extend to correlated observations. Currently, robust estimation based on equivalent weight and robust estimation based on equivalent variance- covariance matrix is popular. However, they still have some defect.This thesis proposes a new theory which calls equivalent observation. We adjust the classical adjustment models to structure a new robust estimation based on classical robust estimation theory by strict mathematical transform, which avoids inconsistency between math and survey. Besides, the theory will be compared with the robust estimation based on variance-covariance by concrete example in theory, model and accuracy to strictly prove its rightness and feasibility. Key words：robust estimation, equivalent weight, equivalent variance-covariance, equivalent observation重庆大学本科学生毕业设计（论文） 目录目 录摘 要3ABSTRACT41绪论71.1课题产生背景71.2课题主要内容71.3实现途径82稳健估计92.1稳健估计概述92.1.1产生背景92.1.2稳健估计92.2稳健估计原理102.2.1概述102.2.2常用估计准则102.3基于选权迭代法的稳健估计方法122.3.1概述122.3.2等权独立观测的选权迭代法122.3.2不等权独立观测的选权迭代法132.3.3稳健M估计算法142.4相关观测的稳健估计方法152.5算例163基于等价方差-协方差的稳健估计183.1概述183.1.1背景183.1.2概述183.1.3观测量的相关系数193.2基于等价方差-协方差的稳健估计原理193.2.1模型的建立193.2.2方差-协方差调整因子的确定203.2.3等价方差-协方差函数模型及其特点213.2.4相关函数213.2.5相关等价方差-协方差因子223.2.6相关函数223.2.7崩溃污染率6233.3基于等价方差-协方差理论的优点233.4算例234基于等价观测值的稳健估计284.1概述284.2基于等价观测值的稳健估计原理284.2.1等价观测值284.2.2计算原理284.3基于等价观测值的稳健估计算法295稳健估计方法的比较315.1经典最小二乘平差与选权迭代法的比较315.1.1经典最小二乘平差算法315.2选权迭代法和基于等价观测值在独立观测领域的稳健估计335.2.1选权迭代法的计算：335.2.2基于等价观测值的稳健估计计算：365.3基于等价方差-协方差和基于等价观测值在相关观测领域的稳健估计395.3.1基于等价方差-协方差的稳健估计405.3.2基于等价观测值的稳健估计425.4算例分析总结：446结论466.1优点46致 谢47参 考 文 献48附录一49例题（P16）49附录二50附录三51附录四52附录五54重庆大学本科学生毕业设计（论文） 绪论1绪论1.1课题产生背景对于测量数据进行处理，是测量的主要工作之一。理论上最为我们熟悉的最小二乘理论，但其仅仅在数学界是严密的。因为测量数据总会不可避免的伴随着粗差，而最小二乘平差模型对粗差的抵抗性较差，会使观测值偏离其真值，严重影响平差结果。基于以上原因，专家们又扩展出了多种稳健估计方法，而稳健估计中被广泛应用并且便于程序实现的是选权迭代法。现阶段，虽然在数学界，选权迭代法是完全严谨的，但将其应用到测量界，却存在其局限性。我们现在在测量界应用的选权迭代法是建立在等价权的基础上，即观测量是相互独立的。但在真实生活中，由于观测数据间具有相关性，即所需要的权并不一定是方阵，这就使选权迭代法不能应用。虽然，后面陆续有专家提出解决方案，但大多运算过程比较复杂，其中，最为优良的是姚宜斌提出的基于等价方差协方差阵的新理论，不是迭代传统意义上的权，而是迭代方差协方差阵。虽然这一理论克服了传统意义上的选权迭代法在测量界应用的局限性，但其自身依然存在着一些问题。为此，基于以前的理论，本课题提出了一种新的稳健估计方法-基于等价观测值的稳健估计，这理论定义了新的概念-等价观测，后面会详细介绍其原理及处理数据的一般过程和步骤，并通过具体案例与前两种方法进行数据质量分析，比较各自的优劣。1.2课题主要内容本论文主将介绍一种新的处理相关观测量的稳健估计方法-基于等价观测值的稳健估计研究。（1） 详细介绍稳健估计的思想，重点研究基于等价权的稳健估计方法，并且还会涉及到处理相关观测值的一些方法，并且会通过案例来验证选权迭代法的可行性，在理论上介绍数据处理理论研究的一般过程及具体步骤；（2） 对相关观测的数据处理方法中，最为突出的是基于等价方差-协方差的稳健估计研究，由武汉大学的姚宜斌教授提出，因现阶段只有其自己一个人有关这方面的著作，故本文将大量引用他的研究内容，并通过算例来证明其可行性，使读者对相关观测的处理方法有一个大致的了解。（3） 本文的核心内容是基于等价观测值的稳健估计研究，由于这是一个创新，故会在文中定义什么是等价观测值，以及其平差模型，并且介绍其处理相关观测的一般过程及具体步骤。并通过算例来证明其可行性。（4） 在文章最后，本文会系统性地介绍这三种方法各自的优劣性，通过定性、定量比较来选出最好的处理方法，并通过算例来证明研究结果的正确性。1.3实现途径（1） 由于本文中介绍的等价权的理论已相当成熟，故主要是通过阅读相关文献及书籍来学习；（2） 基于等价方差-协方差的稳健估计理论是通过网上下载期刊、论文等来阐述其原理；（3） 本文中的算例都是用数据处理软件matlab来处理，通过自学matlab软件，编写小程序来处理数据，由数据处理结果来验证三种方法的优劣性。重庆大学本科学生毕业设计（论文） 稳健估计2稳健估计2.1稳健估计概述2.1.1产生背景测量数据处理是对一组含有误差的观测值，按一定的数学模型，包括函数模型和随机模型，按某种估计准则，求出未知参数的最优估值，并评定其精度。当观测值中仅包含偶然误差时，按最小二乘准则估计平差模型的参数，将具有最优的统计性质，亦即所估参数为最优线性无偏估计。统计学家根据大量观测数据分析指出，在生产实践和科学实验所采集的数据中，粗差出现的概率约为（HuberRobust Statistics）1。粗差被定义为比最大偶然误差还要大的误差，如果平差模型中包含了这种粗差，即使为数不多，仍将严重歪曲参数的最小二乘估计，影响成果的质量，造成极为不良的后果。随着全球定位系统（GPS）、地理信息系统（GIS）、遥感（RS）等先进测量技术的发展，测量数据采集的现代化和自动化，在某种意义上而言，粗差也不可避免地被包含在平差模型之中。因此，如何处理同时存在偶然误差和粗差的观测数据，以达到减弱或消除其对成果的影响，是近二十年来现代测量平差所注意研究的理论课题。2.1.2稳健估计现代测量平差理论中，考虑粗差产生的原因和影响，在数据处理时可将粗差归为函数模型，或归为随机模型。将粗差归为函数模型，粗差即表现为观测量误差绝对值较大且偏离群体；将粗差归为随机模型，粗差即表现为先验随机模型和实际随机模型的差异过大。将粗差归为函数模型，可解释为均值漂移模型，其处理的思想是在正式进行最小二乘平差之前探测和定位粗差，然后剔除含粗差的观测值，得到一组比较净化的观测值，以便符合最小二乘平差观测值只具有偶然误差的条件；而将粗差归为随机模型，可解释为方差膨胀模型，其处理的思想是根据逐次迭代平差的结果来不断地改变观测值的权或方差，最终使粗差观测值的权趋于零或方差趋于无穷大，这种方法可以保证所估计的参数少受模型误差，特别是粗差的影响。前已指出，在测量数据服从正态分布情况下，最小二乘估计具有最优统计性质。但最小二乘法对含粗差的观测量相当敏感，个别粗差就会对参数的估值产生较大的影响。下面是一个简单的例子：设某量的真值为10，对其进行了8次观测得： 采用最小二乘估计，即取其平均值得。由上例可以看出，由于受粗差观测值的干扰，使最小二乘估计结果失实，与真值偏差较大。稳健估计（Robust Estimation），测量中也称为抗差估计，正是针对最小二乘法抗粗差的干扰差这一缺陷提出的，其目的在于构造某种估计方法，使其对于粗差具有较强的抵抗能力。自1953年G.E.P.BOX首先提出稳健性（Robustness）的概念，Tukey、Huber、Hampel、Rousseeuw等人对参数的稳健估计进行了卓有成效的研究，经过众多数理统计学家几十年的开拓和耕耘，至今稳健估计已发展成为一门受到多学科关注的分支学科。本章结合测量数据和平差模型的特点，阐述稳健估计的原理以及实用的平差方法。2.2稳健估计原理2.2.1概述稳健估计讨论问题的方式是:对于实际问题有一个假定模型，同时又认为这个模型并不准确，而只是实际问题理论模型的一个近似。它要求解决这类问题的估计方法应达到以下目标：1）假定的观测分布模型下，估值应是最优的或接近最优的。2）当假设的分布模型与实际的理论分布模型有较小差异时，估值受到粗差的影响较小。3）当假设的分布模型与实际的理论分布模型有较大偏离时，估值不至于受到破坏性影响。稳健估计的基本思想是：在粗差不可避免的情况下，选择适当的估计方法，使参数的估值尽可能避免粗差的影响，得到正常模式下的最佳估值。稳健估计的原则是要充分利用观测数据（或样本）中的有效信息，限制利用可用信息，排除有害信息。由于事先不大准确知道观测数据中有效信息和有害信息所占比例以及它们具体包含在哪些观测中，从抗差的主要目标着眼是要冒损失一些效率的风险，去获得较可靠的、具有实际意义的、较有效的估值。2.2.2常用估计准则一、极大似然估计准则2设独立观测样本，为待估参数，的分布密度为，其极大似然估计准则为 （1-2-1）或 （1-2-2） 二、正态分布密度下的极大似然估计准则设独立观测样本，其密度函数为参数的极大似然估计准则由（1-2-1）式得或 （1-2-3）亦即正态分布密度下的极大似然估计准则就是最小二乘估计准则。三、稳健估计的极大似然估计准则稳健估计基本可以分为三大类型，即4估计：又称为极大似然估计，基于1964年Huber所提出的估计理论，丹麦的Krarup和Kubik等人于1980年将稳健估计理论引入测量界。估计：又称为排序线性组合估计，在测绘界也有一定范围应用。估计：又称秩估计，目前在测绘界应用还很少。由于估计是测量平差中最主要的抗差准则，下面着重对估计加以讨论。设观测样本，为待估参数，观测值的分布密度为，按(1-2-2)极大似然估计准则为 （1-2-4）若以代替，则极大似然估计准则可改写为 （1-2-5）对上式求导，得 （1-2-6）其中。由此可见，有一个（或）函数，就定义了一个估计，所以估计是指由（1-2-4）或（1-2-5）定义的一大类估计。常用的函数是对称、连续、严凸或者在正半轴上非降的函数，而且函数常取成满足上述条件的函数之导函数。采用估计的关键是确定(或)函数。作为一种稳健估计方法，函数的选取必须满足上述的稳健估计基本思想和参数稳健估计的三个目标。如果将函数选为 从而 此为最小二乘准则，它不具有抗差性，就不能认为它是一种稳健的估计方法。2.3基于选权迭代法的稳健估计方法2.3.1概述估计的估计方法有许多种，在测量平差中应用最广泛、计算简单、算法类似于最小二乘平差、易于程序实现的是选权迭代法。设独立观测值为，未知参数向量为，误差方程及权阵为 （1-3-1）式中为的系数向量。考虑误差方程，估计的函数可表述为 （1-3-2）2.3.2等权独立观测的选权迭代法设（1-3-1）式中的权阵，即，按估计极大似然估计准则并取函数为（1-3-2）式，则为 （1-3-3）上式对求导，同时记，可得 对上式进行转置，得或 （1-3-4）再令，并将（1-3-4）写成矩阵形式，得 （1-3-5）式中 （1-3-6）称为稳健权矩阵，其元素称为稳健权因子，简称权因子，是相应残差的函数。将误差方程（1-3-1）代入所得估计的法方程式为 （1-3-7）当选定函数后，稳健权阵可以确定，但是的函数，故稳健估计需要对权进行迭代求解。2.3.2不等权独立观测的选权迭代法误差方程及权阵为（1-3-1）式，Huber于1964提出的估计准则4（1-3-3）没有考虑测量中不等精度观测情况，但这种情况在测量平差中是普遍情形，为此，周江文教授于1989年提出了不等权独立观测情况下的估计准则2为 （1-3-8）与第一节推导类似，将上式对求导，同时记，可得 （1-3-9）令，则有或 （1-3-10）将代入，可得估计的法方程为 （1-3-11）式中为等价权阵，为等价权元素，是观测权与权因子之积，其定义由周江文给出。当时，则，准则（1-3-8）就是（1-3-3）式，可见后者是前者的特殊情况。上式与最小二乘估计中的法方程形式完全一致，仅用权函数矩阵代替观测权阵。由于权函数矩阵是残差的函数，计算前未知，只能通过给其赋予一定的初值，采用迭代方法估计参数。由此得参数的稳健估计估值为： （1-3-12）用选权迭代法进行稳健估计，测绘界也称为抗差最小二乘法。2.3.3稳健M估计算法其计算过程为：(1) 列立误差方程，令各权因子初值均为1，即令，则，为观测权阵；(2) 解算法方程（1-3-11），得出参数和残差的第一次估值：(3) 由按确定各观测值新的权因子，按构造新的等价权，再解算法方程（1-3-11），得出参数和残差的第二次估值：(4) 由构造新的等价权，再解算法方程，类似迭代计算，直至前后两次解的差值符合限差要求为止；(5) 最后结果为由于，而，故随着函数的选取不同，构成了权函数的多种不同形式，但权函数总是一个在平差过程中随改正数变化的量，其中与的大小成反比，愈大，、就愈小，因此经过多次迭代，从而使含有粗差的观测值的权函数为零（或接近为零），使其在平差中不起作用，而相应的观测值残差在很大程度上反映了其粗差值。这样一种通过在平差过程中变权实现参数估计的稳健性的方法，称之为选权迭代法。2.4相关观测的稳健估计方法现代测量手段趋向于向数据采集的自动化和快速化发展，其观测量及观测量的误差都具有一定的特殊性和复杂性。首先，大规模集成化的数据采集手段可同时获取大批量的多类观测数据，对这些数据需进行综合的数据处理和分析，这样的观测量之间大多存在着比较强的相关性，并且观测量中还同时包含了粗差、系统误差及偶然误差，其中粗差和系统误差成为影响最终平差精度的主要因素。在平差处理中，如何发现和区分相关粗差观测量，并消除其影响，是提高大规模整体平差成果精度的一个关键问题。统计学界对相关随机变量的抗差估计几乎没有什么讨论。在测绘界，针对测绘工作的实际情况，我国学者杨元喜、刘经南等提出了一些实用的方法和模型。估计是稳健估计的基本估计类型之一，且在测绘界广泛应用，从估计着手，许多学者推导了许多的相关等价权函数，其中应用最为广泛的是IGGIII方案,IGGIII方案的相关等价权函数为: （1-4-1）式中，。需要说明的是，杨元喜等（2002）对等价权函数进行了扩展，构造了双因子等价权模型13，其构造的双因子等价权元素为： （1-4-2）式中，和为自适应降权因子和收缩因子，可采用Huber函数，即 （1-4-3）式中为标准化残差，为常量，可取，和相似。而也可采用其他降权因子，如Hampel权函数等。2.5算例如下图所示水准网，A和B是已知高程的水准点，并设这些点已知高程无误差。图中P1、P2为待定点，A和B点高程、观测高差和相应的水准路线长度列于表1。试求各点的平差高度（在水准路线h2中人为加入2dm的粗差）。 表1 观测数据线路编号观测高差（m）线路长度（m）已知高程（m）1+1.3591.1HA=5.016HB=6.0162+2.2091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46-0.3574.0解（1）列误差方程设P1，P2点高程平差值为x1，x2，相应的近似值取为X1=HA+h1 , X2=HA+h2按图列出平差值方程后，将观测数据代入即得误差方程V=Bx-L（2）定权以1km的观测高差为单位权观测值，观测值相互独立，定权为pi=1/Si,得到权P，设初始值w为单位矩阵，则P1=Pw，组成法方程，得 B*P1*B*x- B*P1*L=0（3）解法方程，得x（4）计算改正数：V=Bx-L（5）取k=10-10，根据定权得各观测值的一组新权因子。（6）重复计算（2）-（5）步，直到改正数收敛为止。matlab实现程序现附录A下面是25次迭代之后的结果（由于matlab程序本身的四舍五入等，计算结果与课本计算结果有稍许偏差）。表2 结果权因子w（*1.0e+009）改正数v（mm）平差结果（mm）104136320-189202039.99990363408102059.9943065760-6-363从上面的结果中，可以很容易的看出h2中存在粗差。重庆大学本科学生毕业设计（论文） 等价方差-协方差3基于等价方差-协方差的稳健估计3.1概述3.1.1背景稳健估计在测量应用中具有重要进展。1964年Huber所提出的M估计理论, 丹麦的Krarup和Kubik等人于1980年将稳健估计理论引入测量界, 并提出了著名的“丹麦法”。德国的Caspary和Borutta也作了一系列的应用研究, 如稳健估计在形变模型中的应用, 位置参数和标准差因子同时求解的稳健估计问题等。我国学者李德仁教授、周江文教授、黄幼才教授、杨元喜教授、王新洲教授等对这种方法进行了大量的深入研究。但需要指出的是, 对于独立观测的稳健估计,目前的研究从理论到实践都很完备, 而对于相关观测量的稳健估计, 目前的研究才刚刚起步, 完备的理论框架尚未建立, 应用的技术方法有待进一步探讨, 因此还有大量的理论和方向问题需要我们去探索解决。常用的相关等价权函数都是基于反映了观测量间的相关性这一前提，而且在构造相关等价权函数时没有顾及观测量间相关性的不变性，因此现有的相关等价权函数一般会存在下面的几点问题：(1)满足稳健估计规则的相关等价权通常都是非对称的，这种非对称性会给平差计算带来困难而且与实际情况不符。(2)并不能直观地反映观测量之间的相关性,反映观测量之间相关性的是相关系数,而由方差-协方差阵确定。(3)若不考虑相关系数，则对的调整反过来会直接改变观测量的相关性,而观测值的相关性仅取决于观测量本身的几何物理结构,不能随意更改。3.1.2概述实际上,如果将粗差归为随机模型,它表现为粗差观测量的先验方差与其实际方差之间有较大的差异,则可以解释为方差膨胀模型（见图1所示）,此时可以通过扩大异常观测的方差来控制粗差的影响。基于这种考虑，刘经南、姚宜斌等（2000）提出基于等价方差-协方差的稳健最小二乘估计方法,具体是根据逐次迭代平差的结果来不断的扩大观测值的方差-协方差11,使粗差观测量的先验方差与其实际方差相匹配,以减少粗差的影响。 图1方差膨胀模型（粗差归为随机模型）3.1.3观测量的相关系数某随机向量中任意两个分量i和j之间的相关系数ij定义为这里D、Q分别表示分量的方差、协因数。为无量纲的量, 它准确地反映了两随机变量间的相关程度。观测量的协因数阵只与观测量本身的几何物理结构有关, 与观测量本身无关, 不管观测量是否含有粗差, 观测量的不变, 观测量间的相关系数也不变。通常, 如果说随机模型有误差, 是指先验方差因子有误差, 或其对应的某个观测值的方差因子分量有误差, 不是指有误差。3.2基于等价方差-协方差的稳健估计原理3.2.1模型的建立我们知道, 对于基于等价权的稳健估计而言, 其核心是等价权函数的设计, 同样地, 对于基于等价方差协方差的稳健估计而言, 其核心是等价方差协方差函数的设计。由公式（1-2-5）得到，对于估计而言,所构造的函数应满足： （2-2-1）顾及先验方差-协方差，函数应满足： （2-2-2）对于多维估计，其极值函数可表述为： （2-2-3）注意这里用的是方差的逆矩阵，主要是考虑到后面利用最小二乘求解的方便。对（2-2-3）求导，并令为零，同时记，则有 （2-2-4）注意上式中省略了对的求导，主要是考虑到对与对求导形式完全相同，且，故（2-2-9）式中可省去。（2-2-4）式的矩阵表达式为 （2-2-5）现直接定义函数，令，则（2-2-4）式可化为： （2-2-6）为计算的方便，上式两端乘以，则有： （2-2-7）上式具有最小二乘法的一般形式，可用最小二乘法求解。3.2.2方差-协方差调整因子的确定所定义的标准化残差为，并将作为粗差观测量方差-协方差的调整因子。这样若观测值含有粗差，其调整后的方差-协方差为： （2-2-8）式中为调整后的方差-协方差，为先验的方差-协方差，为粗差观测量方差-协方差的调整因子。3.2.3等价方差-协方差函数模型及其特点等价方差-协方差函数模型与双因子等价权模型相似，其区别在异常段，双因子等价权的方差膨胀因子呈直线趋于无穷，而等价方差-协方差函数模型的等价方差-协方差因子呈二次曲线趋于无穷。等价方差-协方差函数模型为： （2-2-9）式中的取值一般在之间，而。等价方差-协方差函数模型的特点：(1)该模型是将粗差归为随机模型的方差膨胀模型的直接体现。(2)对于独立观测，该模型与等价权函数模型等价。也就是说，等价权函数模型是等价方差-协方差函数模型的一种特例。(3)对于相关观测，该模型充分利用了相关观测量间的先验信息（相关系数），从而保证了相关观测量间的相关性的不变性，而以前的相关等价权模型很少考虑这一信息，因此该模型更符合实际。(4)对于相关观测，本模型所设计的等价方差-协方差阵是严格对称的，而以前的相关等价权模型所设计出的等价权阵通常是非对称的。(5)该模型简单直观，便于植入已有的最小二乘程序，易于程序实现。3.2.4相关函数（2-2-5）中我们用到了因此等价方差-协方差函数模型的相关函数为具体为 （2-2-10） （2-2-11）式中的取值一般在之间，而、。3.2.5相关等价方差-协方差因子为讨论问题的方便，特定义相关等价方差-协方差因子为，则对于上述模型，其相关等价方差-协方差因子为： （2-2-12）的变化曲线见图2-2-1。图2 相关等价方差-协方差因子曲线3.2.6相关函数因在实用中,函数常取成满足对称、连续、严凸或者在正半轴上非降的函数之导函数，故等价方差-协方差函数模型的相关函数可表述为： （2-2-13）对应于上述等价方差-协方差函数模型，其相关函数为： （2-2-14）式中的取值多在之间，而。3.2.7崩溃污染率6崩溃污染率是整体抗差性测度, 它和影响函数一样也是定量抗差性的一个重要指标, 粗略的说, 它是使估值完全失去控制的粗差的最小比例。需要注意的是, 估计量崩溃的原因不止一个, 在某些情况下, 无界并不是估计量崩溃的唯一原因。根据污染率的定义, 作者利用下文“西安市变形监测及测量控制GPS网”的数据，经反复验算, 得出本文所提出的基于等价方差-协方差的稳健估计模型的崩溃污染率为8% 10%。至于如何从具体的函数式来研究这一模型的崩溃污染率, 有待进一步研究。3.3基于等价方差-协方差理论的优点通过实验验证，基于等价方差-协方差的函数模型具有下列优点：（1） 等价方差-协方差函数模型设计来处理粗差是一种行之有效的方法。（2） 若观测量中不含粗差，利用此模型求得的参数估值和利用经典最小二乘平差求得的参数估值一致，因而是无偏的、最优的。（3） 若观测量中含有粗差,此模型的参数估值受粗差的影响较小。（4） 此模型能自动地对相关观测量的粗差和已知数据的粗差进行处理,它对粗差的处理是有效的,对独立观测量的粗差,本模型也同样适用,且处理结果与等价权模型的处理结果一致。3.4算例一个在已知点上实测的GPS网如图3.2，网中共有7个点。网中观测值是基线向量，分为2个同步子网。由于是在已知点上观测的，因而实际观测值的真误差是已知的。图3.2GPS网图此网已经过了多项粗差分析和检验，可以认为此网中不含粗差。为讨论问题的需要，现人为地加入3个粗差,考虑到实际情况中出现的都是一些小粗差，并为检验上文所用的粗差识别方法的有效性，这里所加的粗差都比较小，见表3.4.1。 表3.4.1模拟粗差信息 单位：m序号同步网基线向量基线分量加入粗差量1osz001.2351-30.22osz002.2351-60.23Osz001.2351-70.2由于所加粗差较小，这里不考虑因加粗差所造成的原始观测量方差-协方差的微小改变。对此网的数据处理，分别采用如下三种方案：在加入粗差前,对此网进行经典最小二乘平差。在加入粗差后,对此网进行经典最小二乘平差。在加入粗差后,采用等价方差-协方差函数模型，并取，对此网应用基于等价方差-协方差的相关稳健估计方法进行平差。平差时以1号点为固定点，其他的点当作未知点，分别采用三种方案进行三维平差，对三种方案所得到的观测值残差和坐标真误差进行比较。（1）残差比较。由于是在已知点上设站观测,故观测值的真误差已知。观测值残差与观测值真误差的接近与否是衡量平差结果质量的依据之一。表3.4.2列出了观测值加上粗差后经典最小二乘平差法残差、基于等价方差-协方差的相关稳健估计法残差。不难看出,相对于经典最小二乘平差法残差,基于等价方差-协方差的相关稳健估计法残差更能准确反映出粗差的位置和大小。表3.4.2分别计算了两种方法残差与中误差之差的平方和，结果表明基于等价方差-协方差的相关稳健估计法残差从整体上比经典最小二乘平差法残差更接近真误差。 经典最小二乘平差法残差、基于等价方差-协方差的相关稳健估计法残差比较 表3.4.2 单位：m同步网号向量序号向量端点真误差（含粗差）经典最小二乘平差法残差基于等价方差-协方差的相关稳健估计法残差起点终点11120.0852-0.0611-0.04280.0807-0.0380-0.01620.0814-0.0415-0.0198213-0.1474-0.0420-0.0127-0.11630.02320.0025-0.1335-0.0050-0.0155314-0.05070. 0065-0.00730.0057-0.0203-0.00990.0097-0.0241-0.0139415-0.0052-0.0394-0.01720.0347-0.0206-0.01020.0372-0.0176-0.0118516-0.0206-0.0492-0.06090.03750.0208-0.01480.0368-0.0152-0.0111617-0.0140-0.0730-0.25200.0511-0.0094-0.14980.0554-0.0118-0.20482712-0.0067-0.0090-0.0182-0.01120.01410.0084-0.01050.01060.0048813-0.0208-0.04980.00480.01030.01540.0200-0.0069-0.01280.0020914-0.05510.10170.03990.00130.07490.03730.00530.07110.03331015-0.0430-0.00390.0064-0.00310.01490.0134-0.00060.01790.01181116-0.0582-0.2274-0.0397-0.0001-0.15740.0064-0.0008-0.19340.01011217-0.0731-0.0552-0.0443-0.00800.00840.0579-0.00370.00600.0029残差与真误差之差的平方和（2）真误差比较。表3.4.3分别给出了基于等价方差-协方差的相关稳健估计法和经典最小二乘平差的坐标平差值的真误差。由表3.4.3可知对含粗差的观测值，基于等价方差-协方差的相关稳健估计法的坐标平差值比经典最小二乘平差法的坐标平差值更接近坐标的真值，说明其具有明显的抗差能力。另外可知，基于等价方差-协方差的相关稳健估计法的坐标平差值真误差的平方和小于经典最小二乘平差法的坐标平差值真误差的平方和。这说明基于等价方差-协方差的相关稳健估计法的坐标平差值真误差的平方和从整体上比经典最小二乘平差法的坐标平差值更接近真值。基于等价方差-协方差的相关稳健估计法与经典最小二乘平差的坐标平差值的真误差对比。 表3.4.3 单位：m点号加粗差前经典最小二乘平差法加粗差后经典最小二乘平差法加粗差后基于等价方差-协方差的相关稳健估计法20.0028-0.0200-0.02340.0043-0.0234-0.02680.0036-0.0199-0.02323-0.0114-0.02820.0041-0.0313-0.0655-0.0154-0.0141-0.03730.00264-0.06180.02930.0060-0.05660.02650.0024-0.06060.03030.00645-0.0439-0.0227-0.0060-0.0401-0.0191-0.0072-0.0426-0.0221-0.00566-0.0575-0.0368-0.0503-0.0583-0.0703-0.0463-0.0576-0.0343-0.05007-0.0692-0.0567-0.0442-0.0653-0.0639-0.1024-0.0696-0.0615-0.0474真误差平方和0. 02620. 04200. 0274 重庆大学本科学生毕业设计（论文） 等价观测值4基于等价观测值的稳健估计4.1概述前面一节，我们对已有的新方法基于方差-协方差的稳健估计作了系统而详细的说明，并用算例证明了它的可行性，但我认为这种方法还是存在着一些小问题。为此，本文将提出一种新的稳健估计方法，并且定义一个新的概念-等价观测值。4.2基于等价观测值的稳健估计原理4.2.1等价观测值我们知道，经典最小二乘平差的公式 （4-2-1） 第一章的时候我们已经了解了选权迭代法的局限性，而基于等价方差-协方差又在概念上存在不合理性，并且计算过程繁琐，那有没有其他的方法呢？为此，我们提出了一种新的概念，等价观测值将式（4-2-1）的前后两端分别乘以，得到即 （4-2-2）其中，称为观测值的等价观测值，它是观