毕业设计（论文）-贵金属交易品种的风险性分析.doc

学科分类号 110 黑龙江科技大学本科学生毕业论文题 目 贵金属交易品种的风险性分析 Risk analysis of trading varieties on precious metals 姓 名 学 号 2010027042 院 （系） 理学院 专业、年级 数学与应用数学10-2班 指导教师 2014年6月12日摘 要蒙特卡洛方法也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明而被提出的使用随机数来解决计算问题的方法。蒙特卡洛方法在金融学，风险性分析，宏观经济学，计算物理学等领域有广泛的应用。本文应用蒙特卡洛方法对贵金属交易品种的风险性进行分析，首先从统计模拟法的构造积分开始，构造交易品种风险性的概率过程。其次从正态的概率分布风险性概率结果进行抽样，得到风险价值函数参数估计。最后计算黄金、白银、铂金三种贵金属的风险系数，分析贵金属交易品种的风险性。得到黄金的风险性最高，其次为白银，铂金的风险性最小。关键词 蒙特卡洛方法 风险性分析 概率分布AbstractIt is also known as statistical simulation method of Monte Carlo method, random number is used in twentieth Century forty time metaphase is proposed due to the development of science and technology and the invention of the computer and the method to solve the calculation problem. The Monte Carlo method in finance, risk analysis, macro economics, computational physics and other fields have a broad application.Analysis on the risk of the application of Monte Carlo method on precious metals trading varieties, builds the integral first from the statistical simulation method, probability process transactions risk structure. Secondly, from the probability of normal distribution of risk probability results of sampling, get the risk value function parameter estimation. The risk coefficient of gold, silver, platinum three precious metals last calculation, analysis of the risk of the precious metals trading varieties. The gold risk is highest, followed by silver, platinum risk minimum.Keywords Monte Carlo method Risk Analysis Sampling DistributionsII目 录摘 要IAbstractII第1章 绪 论11.1 选题的背景与意义11.2 风险性分析的发展现状21.3 蒙特卡洛模拟法的发展现状41.4 本文的主要研究思路与结构安排6第2章蒙特卡洛模拟法的介绍72.1 蒙特卡洛模拟法的背景和意义72.1.1 蒙特卡洛模拟法的背景72.1.2 蒙特卡洛模拟法的意义82.2 蒙特卡洛模拟法的方法概述92.2.1蒙特卡洛模拟法的基本思想及理论基础92.2.2 随机数及服从的概率分布132.2.3假设性检验及风险价值VaR15第3章蒙特卡洛模拟法对风险性的分析183.1 上海贵金属交易所交易品种数据分析183.2 交易品种数据风险性分析的求解203.3 对应结果的分析23结论24致谢25参考文献26附录一27第1章 绪 论1.1 选题的背景与意义有句古话说的好“物以稀为贵”，这让贵金属几千年来一直是财富的一种象征。以黄金为例，早在公元前六世纪，世界上就出现了第一枚金币。十九世纪，随着生产力的发展，世界黄金产量迅速增长，黄金成为商品交换一般等价物的货币，世界上主要国家都建立了这种金本位制，突显其象征资产富有的角色。二十世纪后，金本位制的废除，但并没有消退黄金的影响，美元与黄金挂钩的一种新金汇兑本位制的变化，黄金仍是稳定国际货币体系的最后屏障，受到各个国家的严格管理和控制。到了二十世纪七十年代，开始了黄金非货币化的改革，黄金成为可以自由拥有和自由买卖的商品，从国家金库走向了寻常百姓家，使世界黄金市场得到迅速发展。至今，黄金仍作为一种公认的金融资产活跃在投资领域，充当国家或个人的储备资产。而白银呢，可以用作珠宝装饰 可以在工业技术上应用比如制作灵敏度极高的物理仪器元件，各种自动化装置、火箭、潜水艇、计算机、核装置以及通讯系统。所有金属中，银对自然光线的反射性能最好，因此，银在制镜工业上占有很重要的位置。另外，银离子能杀菌，我国内蒙古一带的牧民常用银碗盛马奶，可以长期放置而不会变酸。所以贵金属的时代正在一步一步向我们走来，其市场更是潜力巨大的，以全世界平均黄金持有量二十四克来看，中国人均不足三克的持有量证明了这个市场是头正在沉睡的雄狮1。贵金属交易品种是指黄金、白银和铂族金属（钌、铑、钯、锇、铱、铂）等。现在世界上普遍的贵金属投资分为实物投资和电子盘交易投资，其中实物投资是指投资者在对贵金属市场看好的情况下，低买高卖赚取差价的过程。另一种是指根据黄金、白银等贵金属市场价格的波动变化，确定买入或卖出，这种交易一般都存在杠杆，可以用较小的成本套取较大的回报2。如今，贵金属在经济与社会生活中的用处十分广泛，具体有四种：国际储备、黄金及白银装饰品、工业与高新技术产业的应用、保值、增值需要。 随着近年来通货膨胀威胁的加剧，全球经济形势的动荡，以及世界金融危机的爆发，不稳定的军事局面等使具有避险保值功能的贵金属投资需求呈现出爆发式的增长趋势。由于贵金属的变现性和保值性高，可以抵御通胀带来的币值变动和物价上涨。综上所述，贵金属市场会是将来可以和股票、基金、债券等金融产品平起平坐的一个投资方式。在这样炙手可热的环境下，会有很多投资者盲目的跟风或无选择的购买其交易品种，这样会导致大把的资金流损失。因此研究贵金属交易品种的风险性对有效使用资金流和促进经济发展有着重要意义。本文通过对贵金属主要交易品种的投资收益率进行分析，让大家以后投资贵金属市场时有一个参考，减少资金流的损失，提高资金流的利用率。在中国股市集体低迷、人民币升值下的缩水贬值的情况下，可以多一个选择。风险和收益并存，投资者要追求收益，必然无法摆脱风险。根据马克威茨的投资组合理论我们知道，应该在期望收益不变的情况下，追求风险(方差)最小化的投资组合，或者在风险不变的情况下，寻求期望收益最大的投资组合。投资者和金融监管人员应该从容面对金融风险，充分利用数理统计知识、经济金融理论、计量经济学等相关知识，设计能够精确度量风险的模型和方法，结合相关背景知识，包括国际经济走势、国家政策方针、国际金融动向，达到降低或者规避金融风险的目的，从而提高投资者的收益，降低甚至规避投资风险3。贵金属已经成为投资者抵御通胀风险、增值保值的理想选择，并且已经成为投资者投资组合中必不可少的投资工具。然而，贵金属市场与股票市场以及债券市场相同，贵金属在满足投资者保值增值需求的同时，也具有非常大的风险，如何分配投资，以将投资风险降到最低，应该是投资者最关注的问题。因此，研究黄金、白银和铂金的风险性是十分有必要且有意义的。1.2 风险性分析的发展现状风险分析是数学应用在其它领域的一个重要方法之一。从七十年代风险性分析被重视起来发展至今，出现了很多分支，针对不同的问题会有不同的应用方法。比如许多投资类的问题，常常需要在经济、技术、市场等各种因素共存的环境下做出决策。而在这些因素中，有许多是投资者所不能控制和完全了解的。对于这样一类问题的研究，风险性分析方法是必不可少的方法。其常用的方法主要有最大可能法、期望值法、灵敏度分析法、效用分析法等。在对实际问题进行分析时，可以采用各种不同方法分别进行计算、比较，然后通过综合分析，选择最佳的投资组合，这样，往往能够减少资金流的损失。最大可能法指在“将大概率事件看成必然事件，小概率事件看成不可能事件”的假设条件下，将风险性问题转化成确定性问题的一种方法。期望值法是对于一个离散型的随机变量，它的数学期望为，随机变量的期望值代表了它在概率意义下的平均值。期望值法，就是计算各方案的期望益损值，并以它为依据，选择平均收益最大或者平均损失最小的方案作为最佳方案。对于风险问题，其各个方案的期望益损值是在对状态概率预测的基础上求得的。由于状态概率的预测会受到许多不可控因素的影响，因而基于状态概率预测结果的期望益损值也不可能同实际完全一致，会产生一定的误差。这样，就必须对可能产生的数据变动是否会影响最佳决策方案的选择进行分析，这就是灵敏度分析。面对同一投资品种，不同的投资者对相同的利益和损失的反应不同。即便是对于相同的投资者，在不同的时期和情况下，这种反应也不相同。这就是投资者的主观价值概念，即效用值概念。该方法的步骤是先画出效用曲线：以益损值为横坐标，以效用值为纵坐标。规定：益损值的最大效用值为一，益损值的最小效用值为零，其余数值可以采用数据对比的方式确定，这样会得到三条曲线。一条曲线开口向下，属于保守型的，不贪图高利润，尽量使风险最小化，得到较小收益即可；一条曲线和它相反，高风险、高回报，是激进型的；最后一条是中间型的，收益要比保守的稍微多一些，风险要比激进的稍微少一些。然后就是找出每一个行动方案在不同状态下的益损值的效用值；计算各个行动方案的期望效用值；选择期望效用值最大的方案作为最佳决策方案。要研究贵金属交易品种对应的风险性就应知道预分析的交易品种的风险类型，有广义和狭义两种。广义的是一种识别和测算风险，运用数学知识比如概率论或微积分来解决这些问题的，狭义的风险分析是指通过定量分析的方法给出所需的随机变量的可实现值的概率分布。而本文中论及风险分析时，都采用前一种定义。风险分析包括风险识别、风险估计、风险评价与风险对策这几个逐级阶段，即认识可能存在的潜在风险因素，估计这些因素发生的可能性及由此造成的影响，分析为防止或减少不利影响而采取对策的一系列活动。在完成风险识别和评估后，应归纳和综述项目的主要风险，说明其原因、程度和可能造成的后果，以全面、清晰地展现项目的主要风险，同时将风险对策研究结果进行汇总。风险分析的基础为风险函数、风险影响（五个等级）、风险概率（五个档次）、风险评价矩阵、风险等级。风险分析的主要方法，风险综合评价法、蒙特卡洛模拟、专家调查法、风险概率估计、风险解析法、概率树分析、层次分析法4。第一个，是通过调查专家的意见，获得风险因素的权重和发生概率，进而获得项目的整体风险程度。其步骤主要包括，建立风险调查表、判断风险权重、确定每个风险发生概率、计算每个风险因素的等级、最后将风险调查表中全部风险因素的等级相加，得出整个项目的综合风险等级；第二个在下一部分介绍；第三个，有很多，其中头脑风暴法、德尔菲法、风险识别调查表、风险对照检查表和风险评价表是最常用的几种方法；第四个，有客观概率估计、主观概率估计、风险概率分布、风险概率分析指标（期望值、方差、标准差、离散系数等）5；风险解析法，也称风险结构分解法，它将一个复杂系统分解为若干子系统，通过对子系统的分析进而把握整个系统的特征；接下来的比较偏应用数学一些，它是假定风险变量之间是相互独立的，在构造概率树的基础上，将每个风险变量的各种状态取值组合计算，分别计算每种组合状态下的评价指标值及相应的概率，得到评价指标的概率分布，并统计出评价指标低于或高于基准值的累计概率，计算评价指标的期望值、方差、标准差和离散系数。其步骤为通过敏感性分析，确定风险变量、判断风险变量可能发生的情况、确定每种情况可能发生的概率，每种情况发生的概率之和必须等于一、求出可能发生事件的净现值、加权净现值，然后求出净现值的期望值、可用插入法求出净现值大于或等于零的累计概率；最后一个是一种多准则决策分析方法，在风险分析中它有两种用途，一是将风险因素逐层分解识别，直至最基本的风险因素，二是两两比较同一层次风险因素的重要程度，列出该层风险因素的判断矩阵(判断矩阵可由专家调查法得出)，判断矩阵的特征根就是该层次各个风险因素的权重，利用权重与同层次风险因素概率分布的组合，求得上一层风险的概率分布，直至求出总目标的概率分布。1.3 蒙特卡洛模拟法的发展现状在风险分析的方法中，最常用、最简单的分析方法是通过运用蒙特卡洛模拟法。而蒙特卡洛模拟法就是其概率计算法的一种，其步骤主要包括：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。蒙特卡洛模拟法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯诺伊曼首先提出。随后数学家诺伊曼用驰名世界的赌城摩纳哥的Monte Carlo来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。1777年，法国数学家布丰提出用投针实验的方法求圆周率。这被认为是蒙特卡洛方法的起源。蒙特卡洛方法也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。蒙特卡洛方法在风险性分析，金融学，宏观经济学，粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算等领域应用广泛。随着科技的不断发展，以统计模拟法而解决的大大小小典型事件不可胜数，它的应用使学者们对风险性分析的使用更加简洁方便。对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。所以在构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡洛方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡洛方法被称为随机抽样的原因。一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。通常蒙特卡洛方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特卡洛方法是一种有效的求出数值解的方法。本论文解决风险性分析的问题时所应用的就是统计模拟法的一种，可以有效的解出问题的答案。著名的经典案例“雷曼兄弟破产”就是一个失败的风险分析案例，2008年9月15日，美国第四大投资银行雷曼兄弟按照美国公司破产法案的相关规定提交了破产申请，成为了美国有史以来倒闭的最大金融公司6。当在项目评价中输入的随机变量个数多于三个，每个输入变量可能出现三个以上以至无限多种状态时(如连续随机变量)，就不能用理论计算法进行风险分析，这时就必须采用蒙特卡洛模拟技术。所以经济学家们直接应用蒙特卡洛模拟法来分析雷曼银行账户，下面我就以它为例，说明一下蒙特卡洛模拟法的使用方法。其实它的原理就是用随机抽样的方法抽取一组输入变量的数值，并根据这组输入变量的数值计算项目评价指标，抽样计算足够多的次数可获得评价指标的概率分布，并计算出累计概率分布、期望值、方差、标准差，计算项目由可行转变为不可行的概率，从而估计项目投资所承担的风险。第一步确定风险分析所采用的评价指标，如投资品种及金额比重、账户收入及支出比重等等；确定对项目评价指标有重要影响的输入变量（基金、债券购买数量等）；为各输入变量独立抽取随机数并转化为各输入变量的抽样值；组成一组项目评价基础数据计算出评价指标值；重复以上几步直至达到预定模拟次数（从理论上讲，模拟次数越多越正确，但实际上一般应在200至500次之间为宜。假设取350次），整理模拟结果所得评价指标的期望值、方差、标准差和期望值的概率分布，绘制累计概率图；计算项目由可行转变为不可行的概率。经过以上的步骤，就可以得出雷曼银行入不敷出、常年亏空的真实原因了。雷曼兄弟破产后，西方的一些经济学家就使用蒙特卡洛模拟法对其银行的账户详单进行了风险性分析，得出该银行破产的最大元凶“债券比重过大”，这一结果让大家唏嘘不已，美国的债券之王竟然倒在了自己的王牌里，若雷曼兄弟每年账目汇总时做一下分析，也许这样的事情就不会发生了。1.4 本文的主要研究思路与结构安排本文从贵金属交易品种投资收益比率出发，运用蒙特卡洛模拟法来求对应估计量，对交易品种风险性与收益程度进行分析。第1章，简单介绍了本文选题的研究背景和意义，又介绍了风险性分析和蒙特卡洛模拟法的发展现状。第2章，为了分析贵金属交易品种风险性做准备，本章介绍了蒙特卡洛模拟法的背景、意义、基本思想及理论基础等理论知识。第3章，首先通过贵金属交易品种的数据分析并建立数学模型，利用随机数确定其各个品种收益概率过程；然后从这些已知概率中分布抽样；建立风险价值函数并利用软件求解、最后根据结果分析得到黄金、白银、铂金的风险性大小关系。第2章蒙特卡洛模拟法的介绍2.1 蒙特卡洛模拟法的背景和意义2.1.1 蒙特卡洛模拟法的背景蒙特卡洛模拟法的前身是由J.von Neumann， S.Ulam和N.Metropolis在第二次世界大战末为了研究物质中子扩散而提出的。蒙特卡洛模拟法是在一九四七年由N.Metropolis命名，并于一九四九年在S.Ulam和N.Metropolis合作一篇文章中正式启用。这些科学家们提出它的最初目的是用于攻克专门的物理数值模拟问题。所以一开始大家对它的兴趣不大，它不仅较好地解决多重积分计算、微积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度高复杂的数学计算问题，而且在统计物理、核物理、真空技术、系统科学、信息科学、公用事业、地质、医学、可靠性及计算机科学等广泛的领域都得到了非常成功的应用。蒙特卡洛方法是一种随机模拟方法， 它又称为随机抽样技巧或者统计试验方法。应用蒙特卡洛方法可以直接处理每一个风险因素的不确定性， 并把这种不确定性在成本方面的影响以概率分布形式表示出来。此文着重如何用蒙特卡洛方法度量贵金属交易品种的风险性。就数学方法特征角度来说，蒙特卡洛模拟方法的发展可以追溯到十九世纪后半叶的著名蒲丰投针问题。蒲丰是法国的著名学者，对概率论在博弈游戏中的应用深感兴趣，于1777年发现了随机投针的概率与之间的关系（蒲丰的“或然性算数尝试”Essai dAriyhmatique moral 虽然发表于1777年，但据说在1760年已经写成）提供了早期学者用随机实验求值的范例7。它是这样一个古典概率问题：“在平面上有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交概率。”蒲丰在其著作中证明了这个概率。显然，若在得到概率的条件下，根据 即可求解的估计值。另外蒙特卡洛方法还是一种基于随机数的数值计算方法。举例如下，平面上存在一个边长为1的正方形及其内部形状不规则的图形，蒙特卡洛方法可以使用随机化的方法求解该不规则图形的面积：向该正方形内随机的投掷个点，其中有个点落在不规则图形内，则此不规则图形的面积可近似认为是。2.1.2 蒙特卡洛模拟法的意义随着电脑技术的进步和普及，蒙特卡洛方法的应用地位日显提高，国际知名的统计学权威C.R. Rao 指出，“现在，随着可信赖的随机数发生器的出现以及使用方便，情形已彻底改变了；我们能够对复杂问题进行调查研究，并至少可给出实际应用的近似解。”蒙特卡洛模拟法在核物理、大气科学、管理科学、数学金融、风险分析等科学工程计算中有着重要的应用。此外，在环境模拟以及各种高科技电子游戏中更离不开它。蒙特卡洛方法最重要的应用是对于某些不容易能确定其解的问题(特别是含有随机因素的问题)给出一个近似的解。在统计力学和核物理的研究，以及环境模拟(包括各种电子竞技游戏)中，它也是一个不可或缺的工具。蒙特卡洛方法可以解决各种类型的问题，总的来说，视其是否涉及随机过程的形态和结果，用蒙特卡洛方法处理的问题可分为两类，第一类是确定性的数学问题，用蒙特卡洛方法求解这类问题的方法是：首先建立一个与所求解有关的概率模型，使所求的解就是我们所建立模型的概率分布或数学期望；然后对这个模型进行随机抽样观察，即产生随机变量；最后用其算术平均值作为所求解的近似估计值。计算多重积分、求逆矩阵、解线性代数方程、解积分方程、解某些偏微分方程边值问题和计算微分算子的特征值等都属于这一类。第二类是随机性问题，对于这类问题，虽然有时可表示为多重积分或某些函数方程，并进而可考虑用随机抽样方法求解，然而一般情况下都不采用这种间接模拟方法，而是采用直接模拟方法，即根据实际物理情况的概率法则，用电子计算机进行抽样试验8。原子核物理问题、运筹学中的库存问题、随机服务系统中的排队问题、动物的生态竞争和传染病的蔓延等都属于这一类。在应用蒙特卡洛方法解决实际问题的过程中，大体上有如下几个内容：对求解问题建立简单而又便于实现的概率统计模型，使所求的解恰好是所建立模型的概率分布或数学期望；根据概率统计模型的特点和计算实践的需要，尽量改进模型，以便减小方差和降低费用，提高计算效率；建立对随机变量的抽样方法，其中包括建立产生伪随机数的方法和建立对所遇到的分布产生随机变量的随机抽样方法；给出获得所求解的统计估计值及其方差或标准误差的方法。以上一些内容，不仅刻划了蒙特卡洛方法的应用特征，而且也指出了蒙特卡洛方法研究中的一些基本课题及其研究方向。2.2 蒙特卡洛模拟法的方法概述2.2.1蒙特卡洛模拟法的基本思想及理论基础蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation），又称随机模拟（Random Simulation），也被称为随机抽样（Random Sampling）或者是统计试验法（Statistical Testing）。该方法属于实验数学的一个分支，起源于早期的用几率近似概率的数学思想，它利用随机数进行统计实验，以求得统计特征值作为待解问题的数值解。蒙特卡洛模拟法的基本思想是：为了求解数学、物理、工程技术以及生产管理等方面的问题，首先建立一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解；然后通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求解的近似值通俗一点来说就是，在对随机变量进行概率分布估计的基础上，用随机抽样的方法抽取一组符合该特定分布的随机数，然后输入这组数来计算评价指标的值，通过多次抽样计算获得评价指标的概率分布、累计概率分布、期望值、标准差等统计特征，所求的统计特征即为模型的解和其他参考辅助说明的数据。解决的问题要点包括建立数学模型、改进模型、建立随机变量的抽样方法、给出问题解的统计特征值即方差或标准差等。蒙特卡洛模拟法可随机模拟各种变量间的动态关系， 解决不确定的复杂问题。应用蒙特卡洛模拟技术可以直接处理每一因素的不确定性， 并把这种不确定性对结果的影响以概率分布的形势表示出来。蒙特卡洛模拟的基本原理是假定函数，其中的概率分布已知。往往在实际问题中，往往是未知的， 或者是非常复杂的函数关系式， 一般难用解析法求解有关Y的概率分布及其数学特征。蒙特卡洛方法利用一个随机数发生器， 通过直接或间接取样取出每一组随机变量的值，然后按公式确定函数的值。反复独立抽样模拟多次便可得到函数的一批抽样数据， 当模拟次数足够多时， 便可给出与实际情况相近的函数的概率分布及其数学特征值9。该模拟过程如图2-1所示：图2-1 蒙特卡洛模拟过程接下来，通过一个例子来说明蒙特卡洛模拟方法的基本思想，引例为计算定积分。大家知道定积分的几何意义为，它是介于轴、函数的图形及两条直线、之间的各部分面积(即曲边梯形面积)的代数和。在这个引例中，因为曲边梯形的高在区间0，1上是连续变化的，所以如果把区间0，1平均划分为许多个小区间，在每个小区间上可以用其中某一点处的高来近似替代同一个小区间上的窄曲边梯形的变高，那么，每个窄边梯形就可近似看成这样得到的窄矩形，我们就以所有这些窄边梯形面积之和作为曲边梯形面积的近似值（如图2-2所示）。假设把0，1区间平均划分为1000个区间，则定积分，可以把看成0，1上的均匀随机变量。设 (0，1上的均匀分布)，则，于是对于1000个独立的0，1上的均匀随机数，可以用矩估计作为此定积分的估计，显然它是无偏的。图2-2 定积分的计算再用软件生成1000个0，1上均匀分布的随机数，代入上式中计算出此定积分的估计值为0.3312。这个结果与用牛顿莱布尼茨公式计算出的准确值0.3333十分接近。从以上例子可以看出，当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，就可以通过某种试验的方法，得到这种事件出现的频率，或者某个随机变量的平均值，所求得的频率或平均值就作为问题的解，这就是蒙特卡洛方法的基本思想10。蒙特卡洛模拟法理论基础是大数定理和中心极限定理，先介绍大数定理，设随机变量相互独立，且具有相同的期望和方差：，则对任何正数有大数定律可以理解为当充分大的时候，上式成立的概率非常小。也就是说当充分大的时候，随机变量的算术平均接近于数学期望。更为通俗地说，当无限增加时，个随机变量的算术平均将几乎变成一个常数。假设对一个事件进行试验，将试验的结果视为只有两种可能：即在第次试验中，出现或者不出现。当事件发生时，令 ，反之则，这时，独立重复的进行上述实验次，这时事件出现的次数，那么，就可以看作是事件发生的频率，则称依概率收敛于，记为：。从大数定律可以看出，随机事件发生的频率具有一定的稳定性，即当很大时，事件发生的频率无限接近于它的概率，因此大数定理实际上就是从理论上证明了蒙特卡洛模拟法的思想，即用随机变量的频率来近似代替其概率是有理论依据的，并且当试验次数无限增大的时候，所估计的近似值会无限接近于实际值。下面介绍中心极限定理，设随机变量相互独立且同分布，数学期望和方差分别是，则个随机变量之和的标准化变量 ，的分布对于任意满足此式可以描述为：无论随机变量服从什么分布，只要定理的条件成立，则当充分大的时候，有近似地服从或近似地服从根据中心极限定理，当充分大时，有： 其中，为置信水平，为置信度，上式说明事件发生的概率取决于置信水平。通常可以先由研究问题对误差的限定要求得到，再查正态分布分位数表得到，即实际值与近似估计值之间的偏差11。所以中心极限定理实际上给我们提供了一定次数抽样下估计所得值的误差信息。2.2.2 随机数及服从的概率分布用蒙特卡洛方法模拟某过程时，需要产生各种概率分布的随机变量最简单、最基本、最重要的随机变量是在0，1上均匀分布的随机变量。为了方便，通常把0，1上均匀分布随机变量的抽样值称为随机数，其他分布随机变量的抽样都是借助于随机数来实现的。然而，这种随机数是根据确定的递推公式求得的，存在周期现象，初值确定后所有的随机数便被唯一确定了下来，不满足真正随机数的要求，所以常称用数学方法产生的随机数为伪随机数。在实际应用中，只要这些伪随机数序列通过一系列的统计检验，还是可以把它当作真正的随机数使用。在实际问题中，概率分布的形势是千差万别的，其中常见的分布大体上可以分为两类，一类为离散型分布，另一类为连续型分布。作为离散型分布的著名例子有二项分布和泊松分布等，作为连续型分布的著名例子有均匀分布、指数分布和正态分布等12。下面介绍一下这些概率分布：1、上的均匀分布如果随机变量在区间上的取值是等可能的，则认为服从区间均匀分布，概率密度函数为：，其它为0，均匀分布的均值是，方差是。在均匀分布中由于控制了分布沿水平轴的位置，所以它是位置参数。差是尺度参数，分布就被拉长；减少，分布则被拉短。由于任何均匀分布都是平坦的，故均匀概率密度函数可由下图2-3所示:图2-3 均匀分布概率密度函数图初步判断概率分布后，这些分布函数中往往存在未知参数，因此需要根据样本数据来估计这些参数的值。对于常用的概率分布类型，其参数估计值可以根据估计公式直接求解。均匀分布的参数的估计值分别为样本数据的最小值和最大值。2、正态分布正态分布以均值为中心，左右对称分布，且随着离中心的距离增大而逐渐降低。正态分布的概率密度函数为：式中和是分布参数，分别是平均值和标准差，简记为。正态分布类似与一种抛物线型曲线，它的分布是对称的，并且大多数都是中位数等于均值，虽然的区域无界，但是大部分密度向均值集中。正态分布在现实生活中其实随处可见，比如各种系统数据的误差，国民生产总值等等；而且，作为中心极限定理的推论，大量的、任意随机变量的均值分布也是服从正态分布的。标准正态分布图形大致如图2-4所示：图2-4均值为0和标准差为1的正态密度函数图正态分布的参数估计公式如下：3、三角形分布三角形分布由三个参数来定义：最小值，最大值和最可能值。临近最可能值的结果比那些位于端点的结果有较大的出现机会。通过改变最可能值相对于端点值的位置，可以得知三角形分布可以是对称的，或者是偏向两个方向的任意一个，它的概率密度函数为：从密度函数上可以发现，是位置参数，是尺度参数，而是形状参数。三角形分布是概率分布中其他分布的补充，在其他因素概率分布完成时，它作为一种近似概率进行数据的完善；三角分布是由三个简单参数且能取各种形状，所以在为多样式的假设模型建立时它也是很灵活的。三角形分布的参数 的估计值分别为样本数据的最小值，众数和最大值。4、极值型分布设随机变量 x 的密度函数为式中，和为两分布参数，称服从参数为和的极值型分布。极值型分布的参数估计公式如下：5、指数分布指数分布常被用于为顾客到达服务系统的间隔时间，其主要性质是它的无记忆性，即当前时间对未来结果没有影响。指数分布的密度函数为：，式中，为指数分布的分布参数。其参数估计为。2.2.3假设性检验及风险价值VaR初步假定风险因素的概率分布类型时，实际上是主观假设该风险因素服从某种常见的概率分布类型，因此需要对这种粗略估计的合理性进行检验，即假设检验。假设检验的一般思路是：在适当的检验水平下，利用给定分布来构造检验统计量，然后按照样本数据来计算统计量，最后做出接受或者拒绝假设分布的判断13。具体步骤如下：给出原假设，假设总体服从某种分布，即，总体的分布函数为；根据样本值，将总体的所有可能取值 ()分成 个两两不相交的集合，记样本落在的实际频数，则频率为 ，其中，；当接受假设时，总体落在的理论概率，则样本落在的理论频数为，；构造统计量 ，当原假设为真时，上述统计量近似服从自由度为的分布，是求解风险因素的概率分布时所需要估计的参数个数；根据检验水平，查分布表得到 将代入检验变量，计算，其中通常由假设的分布函数近似估计；如果，则拒绝原假设，重新拟合；否则接受假设，认为总体服从分布。假设检验结束后，下面介绍风险价值VaR。Value at Risk直译为风险价值或在险价值，指在一定的置信水平下，某一金融资产或资产组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失14。比如京东商城在2013年置信水平为90%的年VaR值为10亿人民币，其含义指京东可以以90%的把握保证，2013年其一特定时点上的金融资产在未来一年内，由于市场价格变动带来的损失不会超过10亿人民币，或者说，只有10%的可能损失超过10亿人民币15。用数学的语言可以定义VaR如下式:，其中，为金融资产或资产组合在持有期内的损失，为置信水平。与传统风险度量的手段不同，VaR完全是基于统计分析基础上的风险度量技术。它的原理是根据资产组合价值变化的统计分布图，可以直观地找到与置信度相对应的分位数。 根据VaR的定义，计算它必须要确定两个关键参数:时间段和置信水平。时间段，度量VaR的一个先决条件就是VaR的时间范围，因为随着时间延长，资产价格的波动性也必然增加。对度量市场风险而言，一天或一个月可能更为适合，但对度量贵金属交易品种风险而言，由于资产组合价格在一段时间内波动幅度不大，所以时间段太短意义不大，常常选择半年或一年。置信水平，并非越高越好，而是要依赖于对VaR验证的需要、内部风险资本需求、监管要求及在不同机构之间进行比较的需要。置信水平与有效性之间的关系是置信度越高，实际损失超过VaR的可能性越小。这种额外损失的数目越少，为了验证VaR预测结果需要的数据越多，由于很难获得验证所需的大量数据，限制了较高置信水平的选择。考虑贵金属交易所的内部资本需求时，置信水平的选择依赖于贵金属交易所对极值事件风险的厌恶程度。如果分为风险厌恶型、风险无所谓型和风险喜好型的话，风险厌恶型的则需要准备更加充足的风险资本补偿额外损失。因此，如果用VaR确定内部风险资本时，越追求安全性，置信水平选择越高。置信水平要根据监管要求而定，国家的金融监管当局为保持金融系统的稳定性，会要求金融机构设置较高的置信水平。置信水平的选择应该考虑到机构之间的比较，需要说明的是，VaR仍只是市场处于正常变动下市场或信用风险的有效度量，对金融市场价格的极端变动给资产组合造成的损失则无法进行度量。基于蒙特卡洛模拟法的VaR计算，基本思路就是重复模拟贵金属交易品种的收益随机过程，使模拟值包括大部分可能情况，这样通过模拟就可以得到风险性的分布情况，在此基础上求出VaR。第3章蒙特卡洛模拟法对风险性的分析3.1 上海贵金属交易所交易品种数据分析上海贵金属交易所是中国三大贵金属交易所之一，是内地众多投资者的开户首选，据不完全统计，中国内地有大约89的投资人选择在上海贵金属交易所进行投资，而且内地的交易所属于国家扶持机构，相对来说比较规范，数据更加准确详细，所以本文选用上海贵金属交易所近半年来的月收益前十名的详细投资资料来处理风险性分析的问题。由于黄金、白银、钯金是交易所代表性产品，且这三个交易品种交易量所占比重较大，流动性强，故用这三个的数据来进行分析。数据来源于上海贵金属交易所交易品种月度报表，时间从2013年11月至2014年4月，共得到180组数据。报表分为三部分，分别是会员简称、月净收益、收益占总收益比率（以下表中仅以占总体比率标注）。因为数据太多，若显示全部数据则所占篇幅过大，此处仅选取部分数据，剩余部分收于附录一中，在如下的表3-1中仅显示部分数据如下：表3-1 2013年11月至2014年4月黄金收益报表会员简称月净收益占总体比率会员简称买卖总量占总体比率中国银行107，930.8012.14中国银行145，2092014.12%工商银行77，931.308.77工商银行92，432408.99%交通银行48，533.205.46平安银行62，907.206.12%工行个人43，106.704.85交通银行56，351.505.48%浦发银行31，812.203.58民生银行53，360.605.19%上海银行30，368.603.42上海银行36，689.803.57%招金集团29，179.903.28中矿金业26，180.102.55%民生银行26，270.502.96招金银行25，820.902.51%平安银行24，988.602.81农业银行25，385.202.47%农业银行21，092.202.37招商银行25，189.302.45% 从附录一中可以看出，总收益前十名的可分成三种群体，银行，个人团体，集团公司，这三种群体的月收益占据了黄金、白银、铂金总交易量50、70、85，所以可以依据前十名的月收益来分析交易品种的风险性及其适应人群。根据附录一的数据，可以得到以下的三个收益折线图。图3-1 2013年11月至2014年4月黄金收益折线图 图3-2 2013年11月至2014年4月白银收益折线图图3-3 2013年11月至2014年4月铂金收益折线图根据以上的三个图的走势图，可以看出，黄金的收益走势为十一、十二月收益占总体比率上升，之后开始下降，即收益在随后的二个月内锐减；但在三月、四月，收益又开始增加，在四月份又回到之前十二月份14%的高百分比，这也就意味着黄金高风险高收益的特征。白银头二个月收益所占总体比率较高，达到23%，随后几个月收益所占比率开始走势平稳，维持在20%附近。而铂金走势比较有意思，相比之下收益比较小而且呈现非周期性的趋势，这其中有一部分风险投资的意思，但总体来说，持有量和收益率是呈正比的。3.2 交易品种数据风险性分析的求解根据题意可以先确定影响贵金属交易品种风险性的风险因素。设定收益排名作为分析指标，风险因素选定三个指标，分别是黄金、白银、铂金。之后确定各种指标的概率分布及分布函数。用蒙特卡洛模拟法确定贵金属投资风险的概率分布和数字特性，其步骤如下：第一，假设贵金属投资风险与其影响因素(变量)之间的函数关系为；第二，确定贵金属投资风险函数中每一个变量的概率密度函数和累积概率分布函数，假定这些变量是相互独立的。然后对函数中的每一变量在0，1之间生成许多均匀分布的随机数，式中 i为变量个数，j为模拟次数，。对于给定的，可由上式解出相应的，即对每一个变量，每模拟一次可得一组随机数，例如第一次模拟得出的一组随机数为；第三，再计算贵金属投资风险函数的统计特征量，将每一次模拟得到的随机数值代入函数的方程中，得因此得到贵金属投资风险函数的均值和标准差为:以上两式指的是样本的均值和样本的标准差；最后将函数值按升序排列，得，带入本文数据，可以得出上述三种交易品种属于正态分布，对其进行参数估计，带入正态分布的参数估计公式：由上面的估计公式可以得出黄金、白银、铂金的参数为 将上述参数带入正态分布的密度函数中，对其积分，可以得到黄金、白银、铂金的分布函数分别如下：得到分布函数后，就要对上述的估计进行假设性检验，看其能否符合此例要求。为了确保样本数据能够充分反应出总体的分布特征，样本的数据量越大越好，一般来说不得少于50，此文的交易品种都为60个数据，满足条件。代入数据后，得到结果均为接受原假设，即三个指标服从正态分布。接下来求解VaR，具体步骤如下： 第一步，选择一个随机模型；在蒙特卡洛模拟法中，首先选择反映收益变化的随机模型和分布，并估计相关参数，几何布朗运动是变量变化中最为常用的模型之一，它假定资产收益的变化在时间上是不相关，其离散形式可表示为：表示时刻的资产收益，表示时刻的资产收益，表示资产收益的均值，表示资产收益的波动率，表示随机变量。第二步，随机模拟变量走势；根据随机模型，依次产生随机序列，并由此计算模拟资产收益，定义为当前时刻，为目标时刻。我们在时刻来对时刻的收益进行模拟，是模拟的时间价格，为了在持续期中产生一连串的随机变量，令，为了模拟随机变量的收益走势，从当前的收益出发，根据随机数求出：这就模拟了随机变量的未来趋势以及计算目标时刻的价格。 第三步，估计VaR；多次重复上一步，次数以表示，越多越真实，这样就可以得到时刻时的一系列收益，在给定的置信水平下，VaR即为在次模拟结果中，将模拟收益按升序排列后第个模拟价格的损失。即首先设定预测参数，选取模拟次数为次，置信度区间为，其他的相关参数还有类似于模拟速度、运算到第80次时停止运算等预测参数，选定默认值进行运算，由软件可以计算出三个指标的各个主要统计数据，如表3-2所示：表3-2 指标的各个主要统计数据统计数据黄金白银铂金试验次数800800800均值0.430.360.29标准差0.020.020.02离散系数0.05170.04410.0344最小值0.280.320.20最大值0.590.440.393.3 对应结果的分析通过对上面三个交易品种的数据统计结果比较，可以看出，指标铂金的风险性最小，不但如此，其标准差以及离散系数都为最小。所以可以判定铂金的投资风险性最小，其次为白银，风险性最大为黄金。综合以上结果及数据，可以得出结论如下：黄金，从近半年历史数据来看，是大多数商业及地方性银行的最爱，作为一个存储大量资金的地方，愿意承担黄金高收益带来的高风险特性，适合激进型的投资者，但不适合小型投资者，毕竟风险大，若投资失败，小型投资者经不起那样的颠簸。白银，在历史上曾经与黄金一样，作为许多国家的法定货币，具有金融储备职能，也曾作为国际间重要的支付手段。随着时间的推移，人们对白银的认识及重视程度得到了显著提高，白银在工业、摄影业、首饰、器具、货币等方面都