高考数学第一轮总复习 4.4 平面向量应用举例课件（含高考真题和模拟题）新人教A版.ppt

第四节平面向量应用举例 知识梳理 1 向量在平面几何中的应用 1 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行 垂直 长度 夹角等问题 2 用向量解决常见平面几何问题的技巧 a b b 0 x1y2 x2y1 0 a b 0 x1x2 y1y2 0 3 用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题 2 平面向量在物理中的应用 1 由于物理学中的力 速度 位移都是矢量 它们的分解与合成和向量的减法和加法相似 可以用向量的知识来解决 2 物理学中的功是一个标量 是力f与位移s的数量积 即w 为f与s的夹角 f s f s cos 考点自测 1 思考 给出下列结论 若共线 则a b c d四点在一条直线上 若a x1 y1 b x2 y2 则 在 abc中 若则 abc为钝角三角形 物理中的力 速度 位移都是既有大小 又有方向的量 可用向量表示 其中正确的是 a b c d 解析 选c 错误 线段ab cd所在的直线也有可能平行 正确 因为 错误 由可得角b为锐角 但三角形的形状不能判定 正确 由物理学的知识知 正确 2 已知 abc的三个顶点的坐标分别为a 3 4 b 5 2 c 1 4 则这个三角形是 a 锐角三角形b 直角三角形c 钝角三角形d 等腰直角三角形 解析 选b 由题意 得显然所以角a是锐角 6 6 2 2 12 12 0 所以角b是直角 故 abc是直角三角形 3 2014 武汉模拟 在 abc中 则 abc的面积是 a 5b 10c d 20 解析 选c 由得故 4 已知平面向量a 1 cos b 1 3sin 若a与b共线 则tan2 的值为 a b c d 1 解析 选c 因为a与b共线 所以3sin cos 0 5 2014 益阳模拟 在 abc中 c 90 且ca cb 3 点m满足等于 a 2b 3c 4d 6 解析 选b 由题意可知 6 一质点受到平面上的三个力f1 f2 f3 单位 牛顿 的作用而处于平衡状态 已知f1 f2成60 角 且f1 f2的大小分别为2和4 则f3的大小为 解析 由题意得f3 f1 f2 0 所以答案 考点1向量在平面几何中的应用 典例1 1 2013 福建高考 在四边形abcd中 则该四边形的面积为 a b c 5d 10 2 2013 天津高考 在平行四边形abcd中 ad 1 bad 60 e为cd的中点 若则ab的长为 解题视点 1 观察向量坐标的特点 由此通过计算判断ac与bd的位置关系 再利用面积公式求解 2 根据题意 选取当基底 根据向量的加法及平面向量基本定理由列方程求ab的长 或建系用向量的坐标运算求ab的长 规范解答 1 选c 因为所以ac bd是互相垂直的对角线 所以 2 方法一 因为所以所以 方法二 如图 以a为原点 ad所在直线为x轴建立直角坐标系 则a 0 0 d 1 0 设ab的长为a 则因为e是cd的中点 所以所以即2a2 a 0 解得或a 0 舍去 故ab的长为答案 易错警示 关注四边形面积的求法本例 1 采用对角线互相垂直的四边形面积的求法 解答本题易忽视向量的关系 想不到该种方法 使问题陷入僵局而产生误选 求四边形面积的方法有 特殊四边形套公式法 不规则四边形常用分割法 对角线互相垂直的四边形 其面积是对角线长乘积的一半 互动探究 本例 2 中其他条件不变 若的值 解析 如图 令则 a b 1 a与b的夹角为60 a b 因为e是cd的中点 规律方法 向量与平面几何综合问题的解法 1 坐标法把几何图形放在适当的坐标系中 则有关点与向量就可以用坐标表示 这样就能进行相应的代数运算和向量运算 从而使问题得到解决 2 基向量法适当选取一组基底 沟通向量之间的联系 利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解 提醒 用坐标法解题时 建立适当的坐标系是解题的关键 用基向量解题时要选择适当的基底 变式训练 2014 沧州模拟 平面上o a b三点不共线 设则 oab的面积等于 解析 选c 由条件得所以 加固训练 1 已知 abc 点d在bc边上 且则m n的值为 a b 0c d 解析 选b 如图 因为所以又 2 若等边 abc的边长为平面内一点m满足则 解析 方法一 以bc的中点为原点 bc所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系 根据题设条件可知a 0 3 设m x y 则由所以x 0 y 2 所以点m的坐标为 0 2 所以所以 方法二 由于所以因为 abc是边长为的等边三角形 所以所以答案 2 考点2向量在三角函数中的应用 考情 向量的共线与垂直和向量的数量积之间的关系以其独特的表现形式成为高考命题的亮点 它常与三角函数相结合 在知识的交汇点处命题 以选择题 填空题或解答题的形式出现 高频考点通关 典例2 1 2014 大同模拟 设向量a 1 cos 与b 1 2cos 垂直 则cos2 等于 a b c 0d 1 2 2013 江苏高考 已知a cos sin b cos sin 0 若 a b 求证 a b 设c 0 1 若a b c 求 的值 解题视点 1 由向量a与b垂直列方程求解 2 利用模的运算证明a b 0即可 根据向量相等列关于 的方程组 由三角变换求解 规范解答 1 选c 已知a 1 cos b 1 2cos 因为a b 所以a b 0 所以 1 2cos2 cos2 0 故选c 2 由题意得 a b 2 2 即 a b 2 a2 2a b b2 2 又因为a2 b2 a 2 b 2 1 所以2 2a b 2 即a b 0 故a b 因为a b cos cos sin sin 0 1 所以由此得 cos cos 由0 得0 又0 故 代入sin sin 1得 而 所以 通关锦囊 特别提醒 解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想 即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题 通关题组 1 2014 孝感模拟 已知o是 abc外接圆的圆心 bac abc acb为 abc的内角 若则m的值为 a 1b sin bacc cos bacd tan bac 解析 选b 连接ao 并延长交圆o于d 连接bd cd 由得两边同时点乘 得由正弦定理和数量积的定义得cos abcsin acb cos acbsin acbcos bac msin2 acb 故 2 2014 合肥模拟 如图 a b是单位圆上的动点 c是单位圆与x轴的正半轴的交点 且记 coa 0 aoc的面积为s 1 若f 试求f 的最大值以及此时 的值 2 当a点坐标为的值 解析 1 则因为 0 故时 f max 1 2 依题在 boc中 由余弦定理得 加固训练 1 2014 西宁模拟 已知向量a cos 2 b sin 1 且a b 则2sin cos 等于 a 3b 3c d 解析 选d 由a b得cos 2sin 所以所以 2 2014 海口模拟 若向量且a b 则锐角 的大小是 解析 因为a b 所以所以sin2 1 又 为锐角 故答案 3 2014 成都模拟 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 且bcosc 3acosb ccosb 1 求cosb的值 2 若求a和c的值 解析 1 由正弦定理 得2rsinbcosc 6rsinacosb 2rsinccosb r为 abc外接圆半径 所以sinbcosc 3sinacosb sinccosb 即sinbcosc sinccosb 3sinacosb 所以sin b c 3sinacosb 又sin b c sin a sina 所以sina 3sinacosb 因为sina 0 所以 2 由得accosb 2 由 1 知所以ac 6 又因为b2 a2 c2 2accosb 即8 a2 c2 4 所以a2 c2 12 由 式解得 考点3向量在解析几何中的应用 典例3 1 2014 重庆模拟 已知两点m 3 0 n 3 0 点p为坐标平面内一动点 且则动点p x y 到点m 3 0 的距离d的最小值为 a 2b 3c 4d 6 2 2014 吉林模拟 已知点a 1 0 b 1 0 动点m的轨迹曲线c满足 amb 2 过点b的直线交曲线c于p q两点 求的值 并写出曲线c的方程 设直线pq的倾斜角是试求 apq的面积 解题视点 1 先根据向量的运算判断点p的轨迹 再由点m的特点求解 2 先根据向量的运算确定点m的轨迹 然后根据相关的值写出曲线c的方程 写出直线pq的方程 与曲线c的方程组成方程组 根据根与系数的关系求 apq的面积 规范解答 1 选b 因为m 3 0 n 3 0 所以由化简得y2 12x 所以点m是抛物线y2 12x的焦点 所以点p到点m的距离的最小值就是原点到m 3 0 的距离 所以dmin 3 2 设m x y 在 mab中 ab 2 amb 2 根据余弦定理得即而 所以又因此点m的轨迹是以a b为焦点的椭圆 点m在x轴上也符合题意 a 2 c 1 所以曲线c的方程为 由题意得直线pq的方程为 y x 1 设p x1 y1 q x2 y2 由得7x2 8x 8 0 所以y1y2 x1 1 x2 1 因为a 1 0 b 1 0 所以 ab 2 即 apq的面积是 规律方法 向量在解析几何中的 两个 作用 1 载体作用 向量在解析几何问题中出现 多用于 包装 解决此类问题的关键是利用向量的意义 运算脱去 向量外衣 导出曲线上点的坐标之间的关系 从而解决有关距离 斜率 夹角 轨迹 最值等问题 2 工具作用 利用a b a b 0 a b为非零向量 a b a b b 0 可解决垂直 平行问题 特别地 向量垂直 平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直 平行问题是一种比较优越的方法 提醒 用向量法解决解析几何中的平行与垂直问题 比用斜率解决优越 因为用斜率解决问题时 易忽视斜率不存在的情况 常出现使问题漏解的错误 变式训练 2014 北京模拟 已知平面上一定点c 2 0 和直线l x 8 p为该平面上一动点 作pq l 垂足为q 且则点p到点c的距离的最大值是 解析 设p x y 则q 8 y 由得化简得所以点p的轨迹是焦点在x轴的椭圆 且a 4 c 2 点c是其右焦点 故答案 6 加固训练 1 2014 银川模拟 在平面直角坐标系xoy中 若定点a 1 2 与动点p x y 满足则点p的轨迹方程是 解析 因为定点a 1 2 与动点p x y 满足所以 x y 1 2 4 即x 2y 4 0 答案 x 2y 4 0 2 在平行四边形abcd中 a 1 1 6 0 点m是线段ab的中点 线段cm与bd交于点p 1 若 3 5 求点c的坐标 2 当时 求点p的轨迹 解析 1 设点c的坐标为 x0 y0 又 3 5 6 0 9 5 即 x0 1 y0 1 9 5 所以x0 10 y0 6 即点c 10 6 2 设p x y 则 x 1 y 1 6 0 x 7 y 1 3 x 1 3 y 1 6 0 3x 9 3y 3 因为所以平行四边形abcd为菱形 所以所以 x 7 y 1 3x 9 3y 3 0 即 x 7 3x 9 y 1 3y 3 0 所以x2 y2 10 x 2y 22 0 即 x 5 2 y 1 2 4 又当y 1时 点p在ab上 与题意不符 故点p的轨迹是以 5 1 为圆心 2为半径的圆且去掉与直线y 1的两个交点 规范解答7 平面向量与三角函数相结合的综合问题 典例 12分 2013 辽宁高考 设向量b cosx sinx 1 若 a b 求x的值 2 设函数f x a b 求f x 的最大值 审题 分析信息 形成思路 解题 规范步骤 水到渠成 1 因为b cosx sinx a b 所以 2分即4sin2x 1 4分因为 所以 6分 2 因为b cosx sinx 所以 10分因为