高考数学 第六章 第一节不等关系与不等式课件 理.ppt

第六章不等式 推理与证明第一节不等关系与不等式 1 两实数比较大小的法则 a b 0 a b 0 a b 即时应用 1 若a b c r a b 判断下列不等式是否正确 请在括号中填写 或 a2 b2 2 下列不等式中正确的是 m 3 m 5 5 m 3 m 5m 3m 5 m 5 m 解析 1 特殊值法 取a 1 b 1 c 0可知 不正确 2 m 3 m 5 2 0 故 正确 5 m 3 m 2 0 故 正确 5m 3m 2m 无法判断其符号 故 错 5 m 5 m 2m 无法判断其符号 故 错 答案 1 2 2 不等式的基本性质 b a a c a c b c ac bc ac bc a c b d an bn ac bd 即时应用 1 已知a b c d r 且c d 则 a c b d 是 a b 的 条件 2 若a 0 1 b 0 则a ab ab2的大小关系为 3 已知a b c r 有以下命题 若a b 则ac2 bc2 若ac2 bc2 则a b 若a b 则a 2c b 2c 以上命题中正确的是 请把正确命题的序号都填上 解析 1 若a c b d c d不妨令a 1 b 2 c 5 d 3 则上式成立 但a b 故充分条件不具备 反之 若a b c d 则a b 0 c d 0 两式相加得a b c d 0 即a c b d 故必要条件具备 故应为必要不充分条件 2 由已知得0 b2 1 a 0 故ab 0 ab2 0且a ab2 故a ab2 ab 3 当c 0时 不正确 若ac2 bc2 则c2 0 a b 故 正确 由2c 0知 正确 答案 1 必要不充分 2 a ab2 ab 3 3 不等式的一些常用性质 1 倒数性质 a b ab 0 a 0 b a b 0 0 c d 0 a x b或a x b 0 2 有关分数的性质若a b 0 m 0 则 真分数的性质 假分数的性质 即时应用 1 与的大小为 2 若0 a b c 0 则的大小关系为 解析 1 又 故 2 0 a b 又c 0 故答案 1 2 热点考向1比较大小 方法点睛 比较大小的常用方法 1 作差法其一般步骤是 作差 变形 定号 结论 其中关键是变形 常采用配方 因式分解 有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式 当两个式子都为正数时 有时也可以先平方再作差 2 作商法其一般步骤是 作商 变形 判断商与1的大小 结论 3 特值法若是选择题还可以用特值法比较大小 若是解答题 也可以用特值法探究思路 提醒 用作商法时要注意商式中分母的正负 若不注意极易得出相反的结论 从而误解 例1 1 2012 厦门模拟 如果a b c满足c b a且ac 0 那么下列选项中不一定成立的是 a ab ac b c b a 0 c cb2 ab2 d ac a c 0 2 已知a1 a2 0 1 记m a1a2 n a1 a2 1 则m与n的大小关系是 a m n b m n c m n d 不确定 3 已知a b 0 比较aabb与abba的大小 解题指南 1 可用不等式的基本性质求解 2 可用作差法求解 3 利用作商法求解判断 规范解答 1 选c 由a b c且ac 0 a 0 c 0 a中 b c a 0 ab ac成立 b中 b a b a 0 c 0 b a c 0 c中 a c b不确定 b2也可能为零 c选项不一定成立 d中 a c a c 0 又 ac 0 ac a c 0 2 选b 作差比较 m n a1a2 a1 a2 1 a1 a2 1 a2 1 a1 1 a2 1 又a1 a2 0 1 故 a1 1 a2 1 0 故m n 3 作商比较 又a b 0 故 1 a b 0 又abba 0 aabb abba aabb与abba的大小关系为 aabb abba 互动探究 若将本例 2 中 a1 a2 0 1 改为 a1 a2 1 结论又将如何 解析 m n a1a2 a1 a2 1 a1 a2 1 a2 1 a1 1 a2 1 a1 a2 1 a1 1 a2 1 0 故m n 0 故m n 反思 感悟 1 作差比较法的目的是判断差的符号 而作商比较法的目的是判断商与1的大小 两种方法的关键是变形 常用的变形技巧有因式分解 配方 有理化等 2 当两个代数式的正负不确定且为多项式形式时 常用作差比较法比较大小 当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时 常用作商比较法 变式备选 比较下列各组中两个代数式的大小 1 3m2 m 1与2m2 m 3 2 x2 y2 x y 与 x2 y2 x y x y 0 3 已知a 0 b 0 比较的大小 解析 1 3m2 m 1 2m2 m 3 m2 2m 4 m 1 2 3 0 3m2 m 1 2m2 m 3 2 x2 y2 x y x2 y2 x y x y x2 y2 x y 2 2xy x y x y 0 2xy x y 0 x2 y2 x y x2 y2 x y 3 因为所以 热点考向2不等式性质的应用 方法点睛 不等式性质的应用类型分析不等式的性质应用非常广泛 常与常用逻辑用语结合考查充要条件问题 也有应用性质比较大小问题和求范围问题 并且求参数范围问题是考查的热点问题 它常与三角函数等结合考查 例2 1 设a b为实数 则 0 ab 1 是 b 的 a 充分而不必要条件 b 必要而不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分又不必要条件 2 已知函数f x ax2 bx 且1 f 1 2 2 f 1 4 求f 2 的取值范围 解题指南 1 准确使用不等式的基本性质进行判断 2 可利用待定系数法寻找目标式f 2 与已知式f 1 f 1 之间的关系 即用f 1 f 1 整体表示f 2 再利用不等式的性质求f 2 的取值范围 规范解答 1 选d 0 ab 1可分为两种情况 当a 0 b 0时 b 当a 0 b 0时 b 故不充分 反之 当b 0 时 有ab 0 故不必要 所以应为既不充分又不必要条件 2 方法一 设f 2 mf 1 nf 1 m n为待定系数 则4a 2b m a b n a b 即4a 2b m n a n m b 于是得 f 2 3f 1 f 1 又 1 f 1 2 2 f 1 4 5 3f 1 f 1 10 即5 f 2 10 方法二 f 2 4a 2b 3f 1 f 1 又 1 f 1 2 2 f 1 4 5 3f 1 f 1 10 即5 f 2 10 互动探究 若本例 2 中的条件不变 求f 2 的取值范围 解析 设f 2 mf 1 nf 1 m n为待定系数 则4a 2b m a b n a b 即4a 2b m n a n m b 于是得所以f 2 f 1 3f 1 又1 f 1 2 2 f 1 4 7 f 1 3f 1 14 即7 f 2 14 反思 感悟 1 利用不等式的性质判断一个命题的真假 首先找到与命题相关的性质 明确不等式成立的条件 对于选择题 填空题要注意特殊值法的应用 2 根据不等式的性质求范围时 一定要彻底利用不等式的性质进行变形求解 如不等式两边同乘一个含字母的式子 必须确定它的正负 同向不等式只能相加 不能相减等 同时要注意不等式性质应用的条件及可逆性 变式备选 1 已知12 a 60 15 b 36 求a b 的取值范围 2 1 a b 3且2 a b 4 求2a 3b的取值范围 解析 1 欲求a b的取值范围 应先求 b的取值范围 欲求的取值范围 应先求的取值范围 15 b 36 36 b 15 又12 a 60 12 36 a b 60 15 24 a b 45 又 2 设2a 3b x a b y a b 即 用不等式 组 表示不等关系 方法点睛 实际应用中不等关系与数学语言间的关系用不等式 组 来表示不等关系通常出现在生活中的实际应用问题中 它起到了 启下 的作用 将实际问题中的不等关系写成相应的不等式 组 时 应注意关键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转换 常见的文字语言有大于 不低于 超过 至少等 其转换关系如表 例 某厂拟生产甲 乙两种适销产品 甲 乙产品都需要在a b两种设备上加工 在每台a b上加工一件甲产品所需工时分别为1小时 2小时 加工一件乙产品所需工时分别为2小时 1小时 a b两种设备每月有效使用台时数分别为400和500 写出满足上述所有不等关系的不等式 解题指南 这是一个二元不等关系的实际应用题 只需设出两个变量 依据题目所述条件逐一用不等式表示 然后组成不等式组即可 规范解答 设甲 乙两种产品的产量分别为x y 则由题意可知 反思 感悟 用不等式 组 表示实际问题中的不等关系时 除了把文字语言 翻译 成符号语言 把握 不超过 不低于 至少 至多 等关键词外 还应考虑变量的实际意义 如 产品的数量 零件的个数 等均需要取整数 变式训练 某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车 计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元 90万元的a型汽车和b型汽车 根据需要 a型汽车至少买5辆 b型汽车至少买6辆 写出满足上述所有不等关系的不等式 解析 设购买a型汽车和b型汽车分别为x辆 y辆 则由题意可得 1 2012 龙岩模拟 当0 a b 1时 下列不等式中正确的是 a 1 a b b 1 a a 1 b b c 1 a b d 1 a a 1 b