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第四节 第七章 置信区间的概念 一 置信区间的概念 二 数学期望的置信区间 三 方差的置信区间 1 一 置信区间的概念 这种形式的估计称为区间估计 前面 我们讨论了参数点估计 它是用样本算得的 一个值去估计未知参数 但是点估计值仅仅是未知参数 的一个近似值 它没有反映出这个近似值的误差范围 使用起来把握不大 范围通常用区间的形式给出的 较高的可靠程度相信它包含真参数值 也就是说 我们希望确定一个区间 使我们能以比 这里所说的 可靠程度 是用概率来度量的 称为置信概率 置信度或置信水平 习惯上把置信水平记作 这里是一个很小 的正数 称为显著水平 2 定义7 6 若由总体X的样本X1 X2 Xn确定的 则称为随机区间 两个统计量 其长度与在数轴上 的位置与样本 有关 当一旦获得样本值 那么 都是常数 为常数区间 3 定义7 7 若满足 设是总体X的一个未知参数 的置信区间 双侧置信区间 的置信水平 置信度 为 分别称为置信下限和置信上限 为显著水平 为置信度 则称区间是 若存在随机区间 对于给定的 4 置信水平的大小是根据实际需要选定的 根据一个实际样本 使 一个尽可能小的区间 由于正态随机变量广泛存在 指标服从正态分布 特别是很多产品的 我们重点研究一个正态总体情形 由给定的置信水平 我们求出 即取置信水平或0 95 0 9等 例如 通常可取显著水平等 数学期望和方差的区间估计 5 设 分别是样本均值和样本方差 对于任意给定的 我们的任务是通过样本寻找一 它以1 的概率包含总体X的数学期望 个区间 6 一 数学期望的置信区间 设 则随机变量 1 已知 2时 的置信区间 令 7 令 这就是说随机区间 它以1 的概率包含总体X的数学期望 由定义可知 此区间即为 的置信区间 8 这就是说随机区间 置信区间也可简记为 它以1 的概率包含总体X的数学期望 由定义可知 此区间即为 的置信区间 其置信度为1 置信下限 置信上限 9 若取 查表得 若由一个样本值算得样本均值的观察值 则得到一个区间 我们称其为置信度为0 95的 的置信区间 其含义是 若反复抽样多次 每个样本值 n 16 按公式 即 确定一个区间 10 确定一个区间 在这么多的区间内包含 的占0 95 不包含 的占0 05 本题中 属于那些包含 的区间的可信 程度为0 95 或 该区间包含 这一事实的可信程度 注 的置信水平1 的置信区间不唯一 为0 95 11 由中心极限定理知 当n充分大时 无论X服从什么 分布 都近似有 的置信区间是总体 的前提下提出的 均可看作EX的置信区间 12 例1 设总体X N 0 09 有一组样本值 12 6 13 4 12 8 13 2 求参数 的置信度为0 95的置信区间 解 的置信区间为 代入样本值算得 12 706 13 294 得到 的一个区间估计为 注 该区间不一定包含 有1 0 95 0 0 3 n 4 13 又如 上例中同样给定 可以取标准正态分布上 分位点 z0 04和z0 01 则又有 则 的置信度为0 95的置信区间为 与上一个置信区间比较 同样是 其区间长度不一样 上例 比此例 短 14 置信区间短表示估计的精度高 第一个区间为优 单峰对称的 可见 像N 0 1 分布那样概率密度 的图形是单峰且对称的情况 当n固定时以 的区间长度为最短 我们一般选择它 若以L为区间长度 则 可见L随n的增大而减少 给定时 有时我们嫌置信度0 95偏低或偏高 也可采用0 99或 0 9 对于1 不同的值 可以得到不同的置信区间 15 估计在区间内 这里有两个要求 只依赖于样本的界限 构造统计量 可见 对参数作区间估计 就是要设法找出两个 一旦有了样本 就把 2 估计的精度要尽可能的高 如要求区间长度 尽可能短 或能体现该要求的其它准则 1 要求很大的可能被包含在区间内 就是说 概率 即要求估计尽量可靠 要尽可能大 可靠度与精度是一对矛盾 条件下尽可能提高精度 一般是在保证可靠度的 16 例2 已知某种油漆的干燥时间X 单位 小时 服从正态分布 其中 未知 现在抽取 25个样品做试验 得数据后计算得 取 求 的置信区间 解 所求为 17 例3 中随机地抽查了9人 其高度分别为 已知幼儿身高 现从5 6岁的幼儿 115 120 131 115 109 115 115 105 110cm 18 2 未知 2时 的置信区间 当总体X的方差未知时 容易想到用样本方差 2代替 2 已知 则对给定的 令 查t分布表 可得 的值 则 的置信度为1 的置信区间为 19 例4 40名旅游者 解 本题是在 2未知的条件下求正态总体参数 的 置信区间 选取统计量为 由公式知 的置信区间为 查表 则所求 的置信区间为 为了调查某地旅游者的消费额为X 随机访问了 得平均消费额为 元 样本方差 设 求该地旅游者的平均消费额 的置信区间 若 2 25 的置信区间为 即 20 例5 用某仪器间接测量温度 重复测量5次得 求温度真值的置信度为0 99的置信区间 解 设 为温度的真值 X表示测量值 通常是一个 正态随机变量 问题是在未知方差的条件下求 的置信区间 由公式 查表 则所求 的置信区间为 21 例6 解 本题是在 2未知的条件下求正态总体参数 的 置信区间 由公式知 的置信区间为 查表 则所求 的置信区间为 为了估计一批钢索所能承受的平均张力 单位 kg cm2 设钢索所能承受的张力X 分别估计这批钢索所能承受的平均张力 的范围与所能承受的平均张力 随机选取了9个样本作试验 即 则钢索所能承受的平均张力为6650 9kg cm2 由试验所得数据得 22 三 方差 2的置信区间 下面我们将根据样本找出 2的置信区间 这在研究 生产的稳定性与精度问题是需要的 已知总体 我们利用样本方差对 2进行估计 由于不知道S2与 2差多少 容易看出把 看成随机变量 又能找到 它的概率分布 则问题可以迎刃而解了 的概率分布是难以计算的 而 对于给定的 23 即 则得到 2随机区间 以的概率包含未知方差 2 这就是 2的置信度为 1 的置信区间 24 例1 某自动车床加工零件 抽查16个测得长度 毫米 怎样估计该车床加工零件长度的方差 解先求 2的估计值 或 查表 25 所求 2的置信度为0 95的置信区间 所求标准差 的置信度为0 95的置信区间由 得 得 26 例2 为了估计灯泡使用时数 小时 的均值 和 解 查表 测试了10个灯泡得 方差 2 若已知灯泡的使用时数为X 求 和 2的置信区间 由公式知 的置信区间为 的置信区间为 查表 即 由公式知 2的置信区间为 2的置信区间为 27 例3 电动机由于连续工作时间 小时 过长会烧坏 解 查表 烧坏前连续工作的时间X 得 求 和 2的置信区间 今随机地从某种型号的电动机中抽取9台 测试了它们在 设 由公式知 的置信区间为 即 所求 2的置信度为0 95的置信区间 得 28 寻找置信区间的方法 一般是从确定误差限入手 使得 称为与之间的误差限 可以找到一个正数 只要知道的概率分布 确定误差限并不难 我们选取未知参数的某个估计量 根据置信水平 这个不等式就是我们所求的置信区间 29 单正态总体的区间估计 30 作业 P29445681012 31 婴儿体重的估计 例4假定初生婴儿的体重服从正态分布 随机抽取12名婴儿 测得体重为 单位 克 3100 2520 3000 3000 3600 3160 3560 3320 2880 2600 3400 2540试以95 的置信度估计初生婴儿的平均体重以及方差 解设初生婴儿体重为X克 则X N 2 1 需估计 而未知 2 32 作为统计量 有 n t0 025 11 即 的置信区间 1 需估计 而未知 2 33 2 需估计 2 而未知 有 20 025 11 20 975 11 34 例5 解 由置信区间的概念 所求 的0 99的置信区间为 在交通工程中需要测定车速 单位km h 由以往 2 现在作了150次观测 试问平均测量值的误差在 的经验知道 即 测量值为X 测量值的误差在之间 1 至少作多少次观测 才能以0 99的可靠性保证平均 之间的概率有多大 由题意要求 用平均测量值来估计 其误差 由题意知 35 至少要作86次观测 才能以0 99的可靠性保持平均测量 误差在 之间 即 则钢索所能承受的平均张力为6650 9kg cm2 令 36 例6 设总体X N 0 09 有一组样本值 12 6 13 4 12 8 13 2 求参数 的置信度为0 95的置信区间