面积与微积分基本定理ppt课件.ppt

6 4面積與微積分基本定理 6 4面積與微積分基本定理 學習目標求定積分值 利用微積分基本定理求定積分值 利用定積分求解邊際分析的問題 求函數在閉區間的平均值 利用偶函數與奇函數的性質求定積分 求年金 P 6 26 第六章積分與其應用 面積與定積分 在幾何學中 面積為定義某個閉區間尺寸的數字 簡單的形狀 像是矩形 三角形和圓形 都有面積公式 P 6 26 第六章積分與其應用 面積與定積分 P 6 26 第六章積分與其應用 本節將學習以微積分來計算不規則形狀的面積 如圖6 5中區域R的面積 面積與定積分 P 6 26圖6 5 第六章積分與其應用 範例1求定積分值 求定積分 P 6 26 第六章積分與其應用 範例1求定積分值 解 此定積分代表圖形f x 2x x軸與直線x 2所圍成區域的面積 如圖6 6所示 這區域的形狀為三角形 高為4且底為2 P 6 26 第六章積分與其應用 範例1求定積分值 解 P 6 26圖6 6 第六章積分與其應用 檢查站1 以幾何的面積公式來求定積分 並以簡圖來驗證答案 P 6 26 第六章積分與其應用 微積分基本定理 函數A x 為圖6 7中陰影區域的面積 欲知A和f的關係 可令x的增加量為 x 則面積的增加量為 A 再令f m 和f M 分別代表f在閉區間 x x x 的極小值與極大值 P 6 27 第六章積分與其應用 微積分基本定理 依圖6 8 可建立下列的不等式 P 6 27 第六章積分與其應用 微積分基本定理 P 6 27圖6 8 第六章積分與其應用 微積分基本定理 故f x A x 和A x F x C 其中F x f x 因為A a 0 可得C F a 所以A x F x F a 即由上面的方程式可知 若能找到f的反導數 即可利用該反導數來計算定積分 此結果稱為微積分基本定理 FundamentalTheoremofCalculus P 6 27 第六章積分與其應用 微積分基本定理 P 6 27 第六章積分與其應用 學習提示 微積分基本定理的介紹有兩種方式 一種以面積函數 如上所示 另一種則利用加總的程序 參見附錄 P 6 27 第六章積分與其應用 微積分基本定理 P 6 28 第六章積分與其應用 微積分基本定理 在微積分基本定理的推導過程中 假設f在閉區間 a b 為非負值 則定積分就是面積 如今 這個定理可放寬定義 使得函數f在閉區間 a b 可部分或全部為負值 更具體的說 若f為在閉區間 a b 的任一連續函數 則從a到b的定積分可記為其中F為f的反導數 請注意 定積分不一定代表面積 它可以是負數 零或正數 P 6 28 第六章積分與其應用 微積分基本定理 P 6 28 第六章積分與其應用 學習提示 請確實了解不定積分與定積分的差異 不定積分表示一個函數族 每個成員都是f的反導數 然而定積分則是一個數 P 6 28 第六章積分與其應用 範例2以微積分基本定理求面積 求x軸與函數圖形f x x2 1 1 x 2所圍成區域的面積 P 6 29 第六章積分與其應用 範例2以微積分基本定理求面積 解 如圖6 9所示 在區間1 x 2 f x 0 故可用定積分來表示該區域的面積 再用微積分基本定理即可求得此面積 P 6 29 第六章積分與其應用 所以 該區域的面積為平方單位 範例2以微積分基本定理求面積 解 P 6 29圖6 9 第六章積分與其應用 檢查站2 求x軸與函數圖形f x x2 1 2 x 3所圍成區域的面積 P 6 29 第六章積分與其應用 學習提示 在求定積分時 很容易就將正負號弄錯 建議將反導數的積分上下限標示在不同的括號中 如上例所示 P 6 29 第六章積分與其應用 範例3求定積分 求定積分 並畫出此積分所代表面積的區域 P 6 29 第六章積分與其應用 範例3求定積分 解 此區域的圖形如圖6 10所示 P 6 29 第六章積分與其應用 範例3求定積分 解 P 6 29圖6 10 第六章積分與其應用 檢查站3 求 P 6 29 第六章積分與其應用 範例4求定積分 求下列定積分 P 6 29 第六章積分與其應用 範例4求定積分 解 P 6 30 第六章積分與其應用 範例4求定積分 解 P 6 30 第六章積分與其應用 學習提示 請注意 範例4 c 的定積分之值為負數 P 6 30 第六章積分與其應用 檢查站4 求下列定積分 P 6 30 第六章積分與其應用 範例5絕對值的解釋 求 P 6 30 第六章積分與其應用 範例5絕對值的解釋 解 該定積分代表的區域畫在圖6 11 由於絕對值的意義為 P 6 30 第六章積分與其應用 範例5絕對值的解釋 解 P 6 30圖6 11 第六章積分與其應用 範例5絕對值的解釋 解 再利用定積分的性質3 將積分改寫成兩個定積分的和 P 6 30 第六章積分與其應用 檢查站5 求 P 6 30 第六章積分與其應用 邊際分析 在介紹導數與微分量時 3 3與4 8節 我們討論過邊際分析 在給定成本 收入或利潤函數時 導數可用來估算多生產或銷售一單位產品時的額外成本 收入或利潤 本節則採反向推算 即給定邊際成本 邊際收入或邊際利潤 在多銷售一單位或幾個單位時 以定積分來計算成本 收入或利潤的實際增加量或減少量 P 6 30 6 31 第六章積分與其應用 邊際分析 譬如 我們想求得銷售量從x1增加到x2時的額外收入 若已知收入函數R 只要將R x2 減去R x1 若不知收入函數 但是邊際收入函數為已知時 仍然可用定積分來求得額外的收入 如下所示 P 6 31 第六章積分與其應用 範例6分析利潤函數 某產品的邊際利潤函數可表示為 a 求銷售量從100增加到101時的額外利潤 b 求銷售量從100增加到110時的額外利潤 P 6 31 第六章積分與其應用 範例6分析利潤函數 解 a 當銷售量從100增加到101時的額外利潤為 P 6 31 第六章積分與其應用 範例6分析利潤函數 解 b 當銷售量從100增加到110時的額外利潤為 P 6 31 第六章積分與其應用 檢查站6 某產品的邊際利潤函數可表示為a 求銷售量從100增加到101時的額外利潤 b 求銷售量從100增加到110時的額外利潤 P 6 31 第六章積分與其應用 平均值 函數在某閉區間的平均值的定義如下 在4 5節提到以平均成本函數來計算生產量對成本的影響 下個例子將以積分來求得平均成本 來計算時間對成本的影響 P 6 31 6 32 第六章積分與其應用 範例7 決策 求平均成本 P 6 32 第六章積分與其應用 在兩年期間內 生產CD播放機的單位成本c可表示為c 0 005t2 0 01t 13 15 0 t 24其中t是時間 月 試估算這兩年內的單位平均成本 是否小於 15 範例7 決策 求平均成本 解 單位平均成本可由對c在 0 24 積分來算出 所以 單位平均成本小於 15 P 6 32 第六章積分與其應用 範例7 決策 求平均成本 解 P 6 32圖6 12 第六章積分與其應用 檢查站7 生產直排輪的單位成本c可表示為c 0 005t2 0 02t 12 5 0 t 24 其中t時間 月 試估算兩年內的單位平均成本 P 6 32 第六章積分與其應用 平均值 若要確認範例7所算出的平均值是否合理 可假設從剛開始t 0到結束t 24 每個月只生產一單位的產品 當t 0時 成本為c 0 005 0 2 0 01 0 13 15 13 15同理 當t 1時 成本為c 0 005 1 2 0 01 1 13 15 13 17 P 6 32 第六章積分與其應用 平均值 每個月的成本是遞增的 其25個月的平均值為 P 6 32 第六章積分與其應用 偶函數與奇函數 幾個常見的函數圖形往往對稱於y軸或原點 參見圖6 13 若f的圖形對稱於y軸 如圖6 13 a 所示 則f x f x 偶函數且f稱為偶函數 evenfunction 若f的圖形對稱於原點 如圖6 13 b 所示 則f x f x 奇函數且f稱為奇函數 oddfunction P 6 32 6 33 第六章積分與其應用 偶函數與奇函數 P 6 33圖6 33 第六章積分與其應用 偶函數與奇函數 P 6 33 第六章積分與其應用 範例8偶函數與奇函數的積分 求下列定積分 P 6 33 第六章積分與其應用 範例8偶函數與奇函數的積分 解 a 因為f x x2為偶函數 故b 因為f x x3為奇函數 故 P 6 33 第六章積分與其應用 檢查站8 求下列定積分 P 6 33 第六章積分與其應用 年金 在一時段內 定時地以相同金額付款 稱為年金 annuity 年金的例子可為薪資儲蓄規劃 房屋貸款月付額 及個人退休帳戶等 年金終值 amountofannuity 為全部支付額再加上利息所得 可由下列的方法算出 P 6 33 第六章積分與其應用 年金 P 6 34 第六章積分與其應用 範例9求年金終值 若每年