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2 2 2函数的奇偶性 1 理解函数的奇偶性及其几何意义 重点 2 学会运用函数图象理解和研究函数的性质 3 学会判断函数的奇偶性 难点 从对称角度思考下列各图有什么特点 函数的图象有时也会出现这种 对称 的特点 我们把函数的这种性质称为函数的奇偶性 观察以下函数图象 从图象对称的角度把这些函数图象分类 解析 是一类 图象关于y轴对称 是一类 图象关于原点对称 解答 从表格中我们可以看出 当自变量x取一对相反数时 相应的函数值相同 一般地 设函数y f x 的定义域为a 如果对于任意的 都有f x f x 那么称函数y f x 是偶函数 evenfunction 一 偶函数的定义 解答 从表格中我们可以看出 当自变量x取一对相反数时 相应的函数值也互为相反数 二 奇函数的定义 一般地 设函数y f x 的定义域为a如果对于任意的 都有f x f x 那么称函数y f x 是奇函数 oddfunction 问题1偶函数的图象有什么特征 问题2奇函数的图象有什么特征 三 奇偶函数图象的特征 提升总结 奇偶函数图象的特征可用于 1 简化函数图象的画法 2 判断函数的奇偶性 问题3已知函数y f x 是偶函数 它在y轴右边的图象如下图 画出在y轴左边的图象 问题4已知函数y f x 是奇函数 它在y轴右边的图象如下图 画出在y轴左边的图象 x y o 相等 1 奇函数 2 偶函数 3 既是奇函数又是偶函数 函数f x 0 4 既不是奇函数又不是偶函数 提升总结 1 按奇偶性可将函数分成以下四类 判断或证明函数奇偶性的基本步骤 若奇函数f x 在x 0处有定义 则必有f 0 0 例 判定下列函数是否为偶函数或奇函数 1 f x x2 1 2 f x 2x 3 f x 2 x 4 f x x 1 2 解 1 函数f x x2 1的定义域是r因为对于任意的x r 都有f x x 2 1 x2 1 f x 所以函数f x x2 1是偶函数 3 函数f x 2 x 的定义域是r 因为对于任意的x r 都有f x 2 x 2 x f x 所以函数f x 2 x 是偶函数 2 函数f x 2x的定义域是r 因为对于任意的x r 都有f x 2 x 2x f x 所以函数f x 2x是奇函数 4 函数f x x 1 2的定义域是r因为f 1 0 f 1 4 所以f 1 f 1 f 1 f 1 因此 根据函数奇偶性定义 可以知道函数f x x 1 2既不是奇函数也不是偶函数 函数f x 的定义域关于原点对称 例 判断函数f x x3 5x是否具有奇偶性 解 函数f x 的定义域为r因为对于任意的x r 都有f x x 3 5 x x3 5x f x 所以函数y f x 为奇函数 1 两个定义 对于f x 定义域内的任意一个x 如果都有f x f x f x 为奇函数 如果都有f x f x f x 为偶函数 2
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