高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第五章 第一节数列的概念与简单表示法课件 理.ppt

第一节数列的概念与简单表示法 第五章 例1 求下列数列的一个通项公式 1 1 1 1 1 2 3 5 9 17 33 3 2 8 4 1 0 0 0 0 5 5 55 555 5555 给出数列的前几项 求数列的通项公式 思路点拨 解此类问题主要靠观察 观察规律 比较 比较已知的数列 归纳 转化 转化为等差或等比数列 等方法 每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系 这对考生的归纳推理能力有较高的要求 自主解答 解析 1 an 1 n 1或an cos n 1 2 an 2n 1 3 an 点评 已知数列的前几项 写出数列的通项公式 主要从以下几个方面来考虑 1 符号用 1 n与 1 n 1来调节 这是因为n和n 1奇偶交错 2 分式形式的数列 分子找通项 分母找通项 要充分借助分子 分母的关系 3 对于比较复杂的通项公式 要借助于等差数列 等比数列 后面将复习到 和其他方法来解决 4 此类问题无固定模式 主要靠观察 观察规律 比较 比较已知的数列 归纳 转化 转化为等差或等比数列 等方法 数列 的通项公式是an 2 数列10 11 10 11 10 11 的一个通项公式是an 3 数列 1 的通项公式是an 4 数列 1 的通项公式是an 变式探究 解析 1 这是个混合数列 可看成故通项公式an 2n n n 2 该数列中各项每两个元素重复一遍 可以利用这个周期性求an 原数列可变形为 10 0 10 1 10 0 10 1 故其一个通项为an 10 n n 3 通项符号为 1 n 如果把第一项 1看作 则分母为3 5 7 9 分母通项为2n 1 分子为3 8 15 24 分子通项为 n 1 2 1即n n 2 所以原数列通项为an 1 n 4 奇数项为负 偶数项为正 故通项公式中含因子 1 n 各项绝对值的分母组成数列1 2 3 4 而各项绝对值的分子组成的数列中 奇数项为1 偶数项为3 即奇数项为2 1 偶数项为2 1 所以an 1 n 答案 1 2n 2 10 例2 2012 瑞安十校联考 若数列 an 的通项公式an 记cn 2 1 a1 1 a2 1 an 试通过计算c1 c2 c3的值 推测出cn 思路点拨 根据已知等式写出前3项 注意将c1 c2 c3的结果写成相同的结构形式 不要写成小数 这样方便观察规律 得出一般表达式 由递推公式求数列的前几项 并由此写出通向公式 点评 1 从特殊的事例 通过分析 归纳 抽象总结出一般规律 再进行科学的证明 这是创新意识的具体体现 这种探索问题的方法 在解数列的有关问题中经常用到 应引起足够的重视 2 对递推公式 要求写出前几项 并猜想其通项公式 此外了解常用的处理办法 如迭加 迭代 迭乘及变形后结合等差 比 数列公式 也是很有必要的 3 求本题数列的通项公式还可用倒数法来推导 同学们不妨一试 变式探究 2 1 数列 an 中 a1 1 对所有n 2 都有a1a2a3 an n2 则an 2 已知数列 an 满足 a1 1 an an 1 lg n 2 则数列 an 的通项公式是 解析 1 由a1a2a3 an n2得a1a2a3 anan 1 n 1 2 所以n2an 1 n 1 2 得an 1 n 1 把上面各式相加 得an a1 lg 1 lg lg 5n 5 答案 1 2 an lg 5n 5 已知sn与an的关系式 求通项公式an 例3 已知各项均为正数的数列 an 的前n项和满足sn 1 且6sn an 1 an 2 n n 求 an 的通项公式 解析 由a1 s1 a1 1 a1 2 解得a1 1或a1 2 由题设知a1 s1 1 因此a1 2 又由an 1 sn 1 sn an 1 1 an 1 2 an 1 an 2 得an 1 an 3 0或an 1 an 因an 0 故an 1 an不成立 舍去 因此an 1 an 3 0 从而 an 是公差为3 首项为2的等差数 点评 已知 an 的前n项和sn 求an时应注意以下三点 1 应重视分类讨论法的应用 分n 1和n 2两种情况讨论 特别注意an sn sn 1中需n 2 2 由sn sn 1 an推得的an 当n 1时 a1也适合 an式 则需统一 合写 3 由sn sn 1 an推得的an 当n 1时 a1不适合 an式 则数列的通项公式应分段表示 分写 即an 利用sn与an的关系求通项是一个重要内容 应注意sn与an间关系的灵活运用 列 故 an 的通项为an 3n 1 n n 变式探究 3 1 设sn为数列 an 的前n项的和 且sn an 1 n n 则数列 an 的通项公式an 2 2012 衡阳八中月考 正项数列 an 满足a1 2 an 2 2 8sn 1 n 2 则 an 的通项公式为an 解析 1 sn an 1 当n 1时 s1 a1 a1 1 解得a1 3 当n 2时 an sn sn 1 an 1 an 1 1 整理得 3 当n 2时 数列 an 是以3为公比的等比数列 且首项a2 3a1 9 n 2时 an 9 3n 2 3n 显然 当n 1时也成立 故数列的通项公式为an 3n n n 2 an 2 2 8sn 1 n 2 an 1 2 2 8sn 两式相减得 8an a2n 1 a2n 4an 4an 1 整理得 4 an 1 an an 1 an an 1 an an 是正项数列 an 1 an 4 an 是以4为公差 2为首项的等差数列 an 2 4 n 1 4n 2 n n 答案 1 3n n n 2 4n 2 n n 数列的函数特征 例4 已知数列的通项公式为an 1 0 98是不是它的项 2 判断此数列的增减性和有界性 解析 1 0 98 解得n 7 所以0 98是此数列的第7项 2 an 1 an an 1 an 故此数列是递增数列 此数列是有界数列 点评 数列的函数特征主要是数列的单调性和周期性 数列的单调性和函数的单调性定义有所不同 由于数列中的自变量是正整数 故数列 an 单调递增的充要条件是对任意正整数an an 1 单调递减的充要条件是对任意正整数an 1 an 数列的周期性是指存在正整数k 常数 对任意正整数an k ak 在给出递推式关系的数列中可以通过计算数列的一些项的值 探究其周期性 所以 数列的单调性问题 最值问题 周期问题等具有明显函数特征的问题可以用函数方法解决 4 2012 浙江名校高考研究联盟联考 数列 an 的前n项和为sn 则 a2 0 是 数列 sn 为递增数列 的 a 充分不必要条件b 必要