高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点（全课时）课件 新人教A版必修1.ppt

中外历史上的方程求解 约公元50 100年编成的 九章算术 给出了一次方程 二次方程和正系数三次方程的求根方法 中外历史上的方程求解 11世纪 北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法 中外历史上的方程求解 13世纪 南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法 中外历史上的方程求解 国外数学家对方程求解亦有很多研究 9世纪以后 先后发现了一次 二次 三次 四次方程的求根方法 数学史上 人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解 但最后被19世纪挪威数学家阿贝尔证明了五次及五次以上一般方程没有根式解 同样 指数方程 对数方程等超越方程也是没有求根公式的 方程解法史话 数学家方台纳的故事 1535年 在意大利有一条轰动一时的新闻 数学家奥罗挑战数学家方台纳 奥罗给方台纳出了30道题 求解x3 5x 10 x3 7x 14 x3 11x 20 诸如方程x3 mx n m n是正整数 比赛时间为20天 方台纳埋头苦干 终于在最后一天解决了这个问题 方程的求解经历了相当漫长的岁月 让我们来感受数学探索的魅力吧 方台纳 3 1 1方程的根与函数的零点 探究 求下列方程的实数根 画出相应函数的简图 并求出函数图象与x轴交点的坐标 问题探究 思考 方程根与相应函数图象有什么联系 1 3 1 1 2 无实数根 1 思考 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根与二次函数y ax2 bx c a 0 的图象有什么关系 提出问题 一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系 结论 1 方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数 2 方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标 推广到一般情形是 函数y f x 的图象与x轴的交点情况 方程f x 0的实根情况 想一想 推广到一般情形又怎样呢 有两个不等的实数根x1 x2 有两个相等实数根x1 x2 没有实数根 一般地 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根与二次函数y ax2 bx c a 0 的图象有如下关系 x1 0 x2 0 x1 0 没有交点 对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 函数零点的定义 注意 零点指的是一个实数 d 问题 函数 的零点是 a 1 0 3 0 b x 1c x 3d 1和3 定义 对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 zeropoint 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 剖析概念 你能得出什么结论吗 结论 函数y f x 的零点就是方程f x 0的实数根 代数法 图象法 问题 你能从下图中分析此函数有几个零点吗 2 1 2 3 想一想 怎样求函数的零点呢 求函数的零点有两种方法 代数法 求方程f x 0的实数根 几何法 将它与函数y f x 的图象联系起来 并利用函数的性质找出零点 下面我们来探究二次函数的零点个数情况 1 用代数法探究 结论 二次函数 1 0 二次函数有两个零点 2 0 二次函数有一个二重零点或二阶零点 3 0 二次函数没有零点 练习 求下列函数的零点 1 解 令f x x2 3x 5 作出函数f x 的图象 如下 它与x轴有两个交点 所以方程 x2 3x 5 0有两个不相等的实数根 1 x2 3x 5 0 课堂练习 p881 2 解 2x x 2 3可化为2x2 4x 3 0 令f x 2x2 4x 3 作出函数f x 的图象 如下 它与x轴没有交点 所以方程2x x 2 3无实数根 2 2x x 2 3 3 解 x2 4x 4可化为x2 4x 4 0 令f x x2 4x 4 作出函数f x 的图象 如下 它与x轴只有一个交点 所以方程x2 4x 4有两个相等的实数根 3 x2 4x 4 4 解 5x2 2x 3x2 5可化为2x2 2x 5 0 令f x 2x2 2x 5 作出函数f x 的图象 如下 它与x轴有两个交点 所以方程5x2 2x 3x2 5有两个不相等的实数根 4 5x2 2x 3x2 5 全优74页典例剖析 3 若函数f x x2 ax b的两个零点是2和3 求函数g x bx2 ax 1的零点 解 由题意知 函数f x x2 ax b的两个零点是2和3 知方程x2 ax b 0的两个实根是2和3 故有a 2 3 5 b 2 3 即b 6 因此g x 6x2 5x 1 全优74页变式训练 全优99页 2 用数形结合法探究 以为例 观察二次函数的图象 填空 在区间 2 1 上有零点 f 2 f 1 f 2 f 1 0 在区间 2 4 上有零点 f 2 f 4 0 1 5 4 3 想一想 怎样判断一个函数在给定区间上是否存在零点呢 让我们来看一个例子 第1组 第2组 探究 现在有两组镜头 如图 哪一组能说明她的行程一定曾渡河 问题探究 2019 12 21 28 2019 12 21 29 问题 如果将定义域改为区间 a b 观察图像说一说零点个数的情况 有什么发现 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断一条曲线 并且有f a f b 0 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 结论 连续函数在某个区间上存在零点的判别方法 练习 课本92页2 6 根据表格中的数据 可以判断方程ex x 2 0的一个根所在的最小为区间 解析 设f x ex x 2 f 1 2 78 3 0 22 0 f 2 7 39 4 3 39 0 f 1 f 2 0 由根的存在性定理知 方程ex x 2 0必有一个根在区间 1 2 全优75页能力提高 2019 12 21 33 思考1 若函数y f x 在区间 a b 上连续 且f a f b 0 则f x 在区间 a b 内会是只有一个零点么 有零点 至少有一个 但不确定个数 即存在零点 结论 a bx 思考2 若函数y f x 在区间 a b 上连续 且f a f b 0 则f x 在区间 a b 内就一定没有零点么 思考3 在什么条件下 函数y f x 在区间 a b 上可存在唯一零点 全优75页基础夯实 解 用计算器或计算机作出x f x 的对应值表3 1和图象3 1 3 例1 求函数f x lnx 2x 6的零点个数 f 2 0 即f 2 f 3 0 函数在区间 2 3 内