高中数学 2.1函数及其表示方法配套课件 苏教版.ppt

第一节函数及其表示方法 三年1考高考指数 非空数集 非空集合 每一个 惟一 元素y 1 函数与映射的概念 每一个元 素 惟一 元素 即时应用 1 判断下列对应是否是函数 请在括号中填 是 或 否 a r b x x 0 对于任意的x a x x a r b r 对于任意的x a x x2 a z b r 对于任意的x a x a z b z 对于任意的x a x x2 3 2 设a 0 1 2 4 b 0 1 2 6 8 判断下列对应关系是否是a到b的映射 请在括号中填 是 或 否 f x x3 1 f x x 1 2 f x 2x 1 f x 2x 解析 1 否 因为a中的元素0在b中没有对应元素 否 因为a中的元素为负数时在b中没有对应元素 是 满足函数的定义 是从a到b的函数 2 是 满足映射的定义 是从a到b的映射 不是 当a中的x 0 2 4时在b中没有象 不是 当a中的x 4时在b中没有象 不是 当a中的x 2时在b中没有象 答案 1 否 是 否 是 2 否 否 是 否 2 函数的构成要素 1 对应法则 定义域 值域 2 函数的定义域 值域 定义域 是在函数y f x x a中 所有的 组成的集合 值域 是所有 组成的集合 满足对于a中的每一个输入值x 都有一个输出值y与之对应 输入值x 输出值y 即时应用 1 判断下列各组函数中 是否是同一函数 请在括号中填 是 或 否 f x x与g x f x x 与g x f x x x 与g x f x 与g t t 1 t 1 2 函数y x2 2x的定义域为 0 1 2 3 那么其值域为 3 设集合a x y 集合b y y x2 x r 则a b 解析 1 否 函数f x 与g x 的定义域不同 否 函数f x 与g x 的对应关系不同 否 函数f x 与g x 的值域不同 是 函数f x x 1 x 1 与g t t 1 t 1 是同一函数 2 当x取0 1 2 3时 对应的函数y的值依次为0 1 0 3 所以其值域为 1 0 3 3 已知a x x 2 0 x x 2 b y y 0 a b x x 2 答案 1 否 否 否 是 2 1 0 3 3 x x 2 3 函数的表示方法表示方法 解析法 列表法 图象法 即时应用 1 下列四个图象是函数f x x 的图象的是 2 如图所表示的函数的解析式为 3 若f 2x 3 x2 2x 则f x 的解析式为 解析 1 f x 结合图象知 正确 2 由题中图可知 图象分为两段 每一段都是线段 当0 x 1时 y 当1 x 2时 y 3 综上可知 3 令t 2x 3 则 f 2x 3 f t 2 2 f x 答案 1 2 3 f x 4 分段函数若函数在其定义域的不同子集上 因 不同而分别用几个不同的式子来表示 这种函数称为分段函数 分段函数虽然由几部分组成 但它表示的是一个函数 对应法则 即时应用 1 已知函数f x 则f f 2 设f x 若f x 3 则x 解析 1 2 当x 1时 x 2 3 得x 1 符合要求 当 1 x 2时 x2 3 得x 只有符合要求 当x 2时 2x 3 得x 不符合要求 综上可知 x 1或 答案 1 2 1或 求简单函数的定义域 值域 方法点睛 1 求简单函数的定义域的方法 1 已知函数的解析式 构造使解析式有意义的不等式 组 求解 2 实际问题 由实际意义及使相应解析式有意义的不等式 组 求解 3 抽象函数 若已知函数f x 的定义域为 a b 其复合函数f g x 的定义域由不等式a g x b求出 若已知函数f g x 的定义域为 a b 则f x 的定义域为g x 在x a b 时的值域 2 求简单函数值域的常用方法 1 观察法 2 图象观察法 3 单调性法 4 分离常数法 5 均值不等式法 6 换元法 例1 1 求函数f x 的定义域 2 已知函数f 2x 的定义域是 1 1 求f x 的定义域 3 求下列函数的值域 y x2 2x x 0 3 y log3x logx3 1 y 解题指南 1 只给出解析式求定义域 只需使解析式有意义 列不等式组求解 2 求抽象函数的定义域 要明确2x与f x 中x的含义 3 根据解析式的特点 分别选用 图象观察法 均值不等式法 单调性法求值域 规范解答 1 要使该函数有意义 需要则有 解得 3 x 0或2 x 3 所以所求函数的定义域为 3 0 2 3 2 f 2x 的定义域为 1 1 即 1 x 1 2x 2 故f x 的定义域为 2 3 y x 1 2 1 在 0 3 上的图象如图所示 由图象知 0 y 32 2 3 15 所以值域为 0 15 y 定义域为 0 1 1 当0 x 1时 y 当x 1时 y 1 综上可知 值域为 3 1 因为x2 1 1 又y 2x在r上为增函数 y 2 1 故值域为 互动探究 若本例 2 中条件不变 求f log2x 的定义域 解析 由本例 中知f x 的定义域为 2 函数y f log2x 中 log2x 2 即 log2 log2x log24 x 4 故函数f log2x 的定义域为 4 反思 感悟 1 求函数的定义域 其实质就是以函数解析式有意义为准则 列出不等式 组 从而求解 2 f g x 的定义域为 a b 指的是x的取值范围是 a b 而不是g x 的取值范围是 a b 3 求函数的值域时 若能画出图象 则用图象观察法求解 若能判断单调性则用单调性法求解 若能满足用均值不等式的条件 则用均值不等式求解 变式备选 若函数f x 的定义域为r 则a的取值范围为 解析 因为函数f x 的定义域为r 即 0 对x r恒成立 亦即x2 2ax a 0恒成立 需 2a 2 4 a 4a2 4a 0即可 解得 1 a 0 答案 a 1 a 0 求函数的解析式 方法点睛 函数解析式的求法 1 凑配法 由已知条件f g x f x 可将f x 改写成关于g x 的表达式 然后以x替代g x 便得f x 的解析式 2 待定系数法 若已知函数的类型 如一次函数 二次函数 可用待定系数法 3 换元法 已知复合函数f g x 的解析式 可用换元法 此时要注意新元的取值范围 4 方程思想 已知关于f x 与f 或f x 的表达式 可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组 通过解方程组求出f x 提醒 求函数的解析式时 如果定义域不是使表达式有意义的x的取值 一定要注明函数的定义域 否则会导致错误 例2 1 已知f 求f x 的解析式 2 已知f 1 lgx 求f x 的解析式 3 已知f x 是一次函数 且满足3f x 1 2f x 1 2x 17 求f x 的解析式 4 已知f x 满足2f x f 3x 求f x 的解析式 解题指南 求f x 的解析式是寻找函数的自变量x与f x 之间的关系 一般采用凑配法 换元法 待定系数法 方程思想等 规范解答 1 f 2 2 且 2或 2 f x x2 2 x 2或x 2 2 f 1 lgx x 0 设 1 t t 1 则x f t lg t 1 即f x lg x 1 3 f x 是一次函数 设f x ax b a 0 又 3f x 1 2f x 1 2x 17 3 ax a b 2 ax a b 2x 17 即ax 5a b 2x 17 a 2 b 7 f x 2x 7 4 2f x f 3x 把 中的x换成 得2f f x 2 得3f x 6x f x 2x x 0 互动探究 若本例 1 中等式改为 f 求f x 的解析式 解析 f 3 3 且 2或 2 f x x3 3x x 2或x 2 反思 感悟 1 在本例的 1 2 中主要是利用了换元法 换元法应用时一定要注意自变量的取值范围 而且在求出解析式后不能漏掉 2 第 3 小题的求解是利用待定系数法 待定系数法的关键是设出某种类型的函数 列出方程组求待定的系数 3 第 4 小题的求解主要是利用方程的思想 对这种方法的适用范围要掌握 变式备选 1 已知f 1 x 2 求f x 的解析式 2 已知f 1 cosx sin2x 求f x 的解析式 3 已知f x 是二次函数 若f 0 0 且f x 1 f x x 1 试求f x 的解析式 解析 1 方法一 f 1 x 2 1 2 1 又 1 1 f x x2 1 x 1 方法二 设 1 t t 1 则 t 1 x t 1 2 f 1 x 2 f t t 1 2 2 t 1 t2 1 t 1 即f x x2 1 x 1 2 f 1 cosx sin2x 1 cos2x 设1 cosx t 0 t 2 则cosx 1 t f t 1 1 t 2 t2 2t 0 t 2 故f x x2 2x 0 x 2 3 f x 是二次函数 设f x ax2 bx c a 0 f 0 0 c 0 f x ax2 bx 又 f x 1 f x x 1 a x 1 2 b x 1 ax2 bx x 1 即ax2 2a b x a b ax2 b 1 x 1 解得 f x x r 分段函数及其应用 方法点睛 分段函数问题的解题思路分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来表示的 处理分段函数的求值 解不等式及求解析式等相关问题时 首先要确定自变量的值属于哪个区间 从而选定相应关系代入计算求解 特别要注意分段区间端点的取舍 提醒 分段函数由几个部分组成 但它表示的是一个函数 例3 1 已知函数f x 则f x f x 1的解集为 2 已知函数y f x 的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成 求函数的解析式 解题指南 1 求解分段函数有关的不等式 一般的思路是根据每一段的解析式分类求解 再求其并集 2 已知图象形状 求解析式 可用待定系数法 规范解答 1 当 1 x 0时 0 x 1 此时f x x 1 f x x 1 x 1 f x f x 1化为 2x 2 1 得x 则 1 x 当0 x 1时 1 x 0 此时 f x x 1 f x x 1 x 1 f x f x 1化为 x 1 x 1 1 解得x 则0 x 1 故所求不等式的解集为 1 0 1 答案 1 0 1 2 根据图象 设左侧的射线对应的解析式为y kx b x 1 点 1 1 0 2 在射线上 解得 左侧射线对应函数的解析式为y x 2 x 1 同理 x 3时 函数的解析式为y x 2 x 3 再设抛物线对应的二次函数解析式为y a x 2 2 2 1 x 3 a 0 点 1 1 在抛物线上 a 2 1 a 1 1 x 3时 函数的解析式为y x2 4x 2 1 x 3 综上 函数的解析式为 互动探究 本例 2 的条件不变 求函数y f x 的值域 解析 由函数y f x 的图象可得其值域为y 1 所以函数y f x 的值域为 y y 1 反思 感悟 分段函数是指自变量在不同的取值范围内 其对应关系也不同的函数 分段函数的定义域是各段定义域的并集 值域是各段值域的并集 故解分段函数时要分段解决 变式备选 1 设函数f x 若f 2 f 0 f 1 3 则关于x的方程f x x的解的个数为 解析 由已知得解得 f x 当x 0时 由f x x得 x2 2x 2 x 得x 2或x 1 又x 0 故x 1舍去 当x 0时 由f x x得x 2 所以方程f x x有两个解 答案 2 2 甲 乙两地相距150千米 某货车从甲地运送货物到乙地 以每小时50千米的速度行驶 到达乙地后将货物卸下用了1小时 然后以每小时60千米的速度返回甲地 从货车离开甲地起到货车返回甲地为止 设货车离开甲地的时间和距离分别为x小时和y千米 试写出y与x的函数解析式 解析 由题意 可知货车从甲地前往乙地用了3小时 而从乙地返回甲地用了2 5小时 当货车从甲地前往乙地时 由题意 可知y 50 x 0 x 3 当货车卸货时 y 150 3 x 4 当货车从乙地返回甲地时 由题意 知y 150 60 x 4 4 x 6 5 所以 创新探究 与函数有关的新定义问题 典例 2011 广东高考改编 设f x g x h x 是r上的任意实值函数 如下定义两个函数 x 和 f g x 对任意x r x f g x f g x f x g x 则下列等式恒成立的是 只填序号 1 h x 2 f g h x fh gh x 3 fg h x fh gh x 4 f g h x f h g h x 解题指南 根据新的定义逐个验证其真伪 从而作出判断 规范解答 根据新函数的定义分析如下表 答案 2 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 我们可以得到以下创新点拨和备考建议 1 2012 淮安模拟 若函数f x 的定义域为 0 4 则g x 的定义域为 解析 f x 的定义域为 0 4 解得 0 x 1或1 x 2 g x 的定义域为 0 1 1 2 答案 0 1 1 2 2 2012 苏州模拟 设f x 则f 1 f 2 f 35 的值为 解析 x 18时 f x f 36 x f x f 36 x 2 又令s f 1 f 2 f 18 f 35 s f 35 f 34 f 18 f 1 2s 34 2 12 s 34 6 28 f 1 f 2 f 35 28 答案 28 3 2011 湖南高考 给定k