度高中数学 1.1 正弦定理同步辅导与检测课件 苏教版必修5.ppt

1 1正弦定理 解三角形 在雷达兵的训练中 有一个项目叫 捉鬼 战士语 即准确地发现敌台的位置 在该项目训练中 追寻方的安排都是两个小组作为一个基本单位去执行任务 用战士的话说就是两条线 即两台探测器分别探出了敌台的方向 一交叉就把敌人给叉出来了 想藏想跑 门都没有 其实这里面不仅仅是两线交叉确定交点的问题 还隐藏了一个数学问题 即两个探寻小组之间的位置是已知的 它们和敌台构成了三角形 在战士探明了敌台方向的时候 也就是知道了该三角形的两个内角 再利用正弦定理就可以算出敌人的准确位置 1 abc中 a b c所对的边分别用小写字母 来表示 2 在rt abc中 c是斜边 则c sinc 3 若三角形的三边分别是a 3 b 4 c 5 则sina sinb sinc 4 在rt abc中 c是斜边 此时的c是rt abc的外接圆的 5 如右图 cd a sinb b 6 三角形的三个角和它的对边分别叫做三角形的 7 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 8 三角形中 大边所对的角 9 abc中 公式称为 其比值又等于 abc的外接圆半径的 倍 10 已知三角形的任意两个角与 边 或已知三角形中的任意 边和其中一边的对角 应用正弦定理 可以求出这个三角形的其余的边和角 11 abc中 若 a 90 且b a 这时b必是 角 9 正弦定理210 一两11 锐 正弦定理及用途 判断三角形解的个数 已知两边a b和其一边的对角a 解三角形时 解的情况如下 已知三角形两边和其中一边的对角判断解的个数的步骤 第一步 根据边角关系判断是否有解 第二步 若可能有解 用正弦定理求出所求角的正弦值 第三步 下结论 1 若所得值不在 0 1 内 则此三角形不存在 2 若所得值在 0 1 内 若是特殊角的三角函数值 求出所对应的角 注意用 a b 180 判断解的个数 若所求角的三角函数值不是特殊值 则利用单位圆中的三角函数线判断解的个数 在 abc中 已知a b a 45 求b c及c 分析 这是已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的问题 可运用正弦定理求解 首先求得这两边中另一边的对角的正弦值 其次根据该正弦值求角时 需对解的情况加以讨论 名师点评 已知三角形两边及其中一边的对角 求该三角形的其他边角的问题时 首先必须判断是否有解 例如在 abc中 已知a 1 b 2 a 60 则问题就无解 如果有解 是一解 还是两解 变式迁移 1 在 abc中已知a 20 b 28 a 30 求sinb 利用正弦定理进行边角转换 2 如右图所示 在 abc中 bac的平分线为ad 求证 变式迁移 三角形形状的判断 在 abc中 如果lga lgc lgsinb lg 并且 b为锐角 试判断此三角形的形状特征 分析 判断三角形形状的问题是一类典型问题 其基本思路是以变形为基本方法 将它化为边的等式 或者化为角的等式 不论化为哪一种形式 都应该用方程的思想看待得到的等式 名师点评 1 欲判断三角形的形状 必须深入研究边与边的大小关系 是否两边相等 是否三边相等 还要研究角与角的大小关系 是否两角相等 三个角相等 有无直角 有无钝角 2 解题的思想方法是 从条件出发 利用正弦定理 或余弦定理 进行代换 转化 化简 运算 暴露出边与边的关系 角与角的关系 或求出角的大小 从而作出正确判断 3 已知方程x2 bcosa x acosb 0的两根之积等于两根之和 且a b为 abc的两边 a b为a b的对角 试判断 abc的形状 解析 设方程的两根为x1 x2 由韦达定理得x1 x2 bcosa x1x2 acosb 由题意得bcosa acosb 由正弦定理得2rsinbcosa 2rsinacosb 即sinacos