八年级数学下册 知识点汇聚（初识）勾 股 定 理（实例均为中考教师讲解典型题）课件 新人教版.ppt

勾股定理 1 理解勾股定理的探究过程 掌握勾股定理 能用勾股定理进行一些简单的计算 重点 难点 2 通过勾股定理的探究过程 提高学生归纳 总结的能力 进一步体会数形结合的思想 难点 一 勾股定理1 借助方格纸画一个直角三角形 使其两直角边分别是3cm 4cm 通过测量 其斜边为 cm 2 如图 四边形均是正方形 小正方形网格边长均为1 sa sb sc 25 则它们的面积之间满足 5 16 9 sa sb sc 总结 勾股定理 1 文字叙述 直角三角形两直角边的 等于斜边的 2 字母表示 如果直角三角形两直角边分别为a b 斜边为c 那么 平方和 平方 a2 b2 c2 二 勾股定理的拼图验证如图 将4个非等腰的直角三角形拼成一个大的正方形 1 拼得大正方形的边长为 则它的面积是 大正方形的面积还可以表示为 4 2 由它们的面积关系可得 4 整理得 a b a b 2 c2 a b 2 c2 a2 b2 c2 打 或 1 若a b c是 abc的三边 则a2 b2 c2 2 若a b c是rt abc的三边 则a2 b2 c2 3 若a b c是rt abc的三边 a 90 则a2 b2 c2 4 在直角三角形中 两直角边长分别为5 12 则斜边长为13 知识点1已知直角三角形的两边长 求第三边 例1 2013 佛山中考 如图 若 a 60 ac 20m 则bc大约是 结果精确到0 1m a 34 64mb 34 6mc 28 3md 17 3m 思路点拨 a 60 求 b的度数 根据直角三角形的性质 求ab的长 利用勾股定理计算出bc的长 自主解答 选b a 60 c 90 b 30 ab 2ac ac 20m ab 40m 在rt abc中 由勾股定理得bc 34 6 m 总结提升 关于勾股定理应用的三点说明 1 弄清应用范围 必须在直角三角形中才能应用 2 分清直角边和斜边 当指代不明确时要分情况讨论问题 3 勾股定理的公式是a2 b2 c2 而不是 a b 2 c2 应用时 一定要注意 知识点2勾股定理的证明 例2 利用四个如图1所示的直角三角形 拼出如图2所示的图形 验证勾股定理 思路点拨 利用图形间的数量关系来验证 自主解答 如题干图所示 在图2中 利用图1边长为a b c的四个直角三角形拼成一个以c为边长的正方形 则图2中的小正方形的边长为 b a 面积为 b a 2 四个直角三角形的面积为由图2可知 大正方形的面积 四个直角三角形的面积 小正方形的面积 即c2 b a 2 2ab 则a2 b2 c2问题得证 总结提升 勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多 通过对图形的割补 拼接等方法 利用图形面积之间的关系进行证明 也可把直角三角形放在方格中 通过数格子 计算或用面积方法证明 题组一 已知直角三角形的两边长 求第三边1 如图 阴影部分是一个正方形 则此正方形的面积为 a 32b 64c 16d 128 解析 选b 设正方形的边长为a 由勾股定理可得 a2 172 152 64 所以正方形的面积为64 2 如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm 那么这个直角三角形的第三边的长是 cm 解析 由勾股定理 得132 52 144 所以另一条直角边的长为12cm 答案 12 3 如图所示 分别以直角三角形的三边为直径作半圆 其中两个半圆的面积s1 s2 2 则s3是 解析 如图 由圆的面积公式得解得c2 25 a2 16 根据勾股定理 得b2 c2 a2 9 所以答案 4 我国古代数学家赵爽的 勾股圆方图 是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形 如图所示 如果大正方形的面积是13 小正方形的面积是1 直角三角形的两直角边分别为a b 那么 a b 2的值是 解析 根据题意 结合勾股定理a2 b2 13 四个三角形的面积 2ab 12 联立解得 a b 2 a2 b2 2ab 13 12 25 答案 25 5 如图 直线l上有三个正方形a b c 若a c的面积分别为5和11 则b的面积为 解析 如图 因为a b c都是正方形 所以ac cd acd 90 acb dce acb bac 90 即 bac dce abc ced 90 ac cd acb cde ab ce bc ed 在rt abc中 由勾股定理得 ac2 ab2 bc2 ab2 de2 即sb sa sc 5 11 16 答案 16 6 小明将一副三角板如图所示摆放在一起 发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长 若已知cd 2 求ac的长 解析 bd cd 2 bc 设ab x 则ac 2x 题组二 勾股定理的证明1 历史上对勾股定理的一种证法采用了所示图形 其中两个全等的直角三角形边ae eb在一条直线上 证明中用到的面积相等关系是 a s eda s cebb s eda s ceb s cdec s四边形cdae s四边形cdebd s eda s cde s ceb s四边形abcd 解析 选d 由s eda s cde s ceb s四边形abcd 可知所以c2 2ab a2 2ab b2 整理得a2 b2 c2 所以证明中用到的面积相等关系是 s eda s cde s ceb s四边形abcd 2 2012 宁波中考 勾股定理是几何中的一个重要定理 在我国古算书 周髀算经 中就有 若勾三 股四 则弦五 的记载 如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的 可以用其面积关系验证勾股定理 图2是由图1放入矩形内得到的 bac 90 ab 3 ac 4 点d e f g h i都在矩形klmj的边上 则矩形klmj的面积为 a 90b 100c 110d 121 解析 选c 延长ab与kl相交于n 延长ac与ml相交于q 根据勾股定理中的赵爽弦图知 abc qcg lgf nfb 根据全等三角形对应边相等 得ml 3 4 4 11 kl 3 4 3 10 所以矩形klmj的面积为110 3 如图 将rt abc绕其锐角顶点a逆时针旋转90 得到rt ade 连接be 延长de bc相交于点f 则有 bfe 90 且四边形acfd是一个正方形 1 判断 abe的形状 并说出理由 2 用含b的代数式表示四边形abfe的面积 3 说明 a2 b2 c2 解析 1 abe是等腰直角三角形 理由 因为rt abc绕其锐角顶点a逆时针旋转90 得到rt ade 所以 bac dae 所以 bae bac cae cae dae 90 又因为ab ae 所以 abe是等腰直角三角形 2 因为四边形abfe的面积