高考数学一轮复习 第68讲《离散型随机变量的分布列、期望与方差》热点针对课件 理.ppt

第第 68 讲 离散型随机变量的分布列 讲 离散型随机变量的分布列 期望与方差期望与方差 1 改编 已知随机变量x的分布列为 则k的值为 a 1 2 b 1 c 2 d 3 a 解析 解析 由分布列的性知质 2k n 2k n 2k n 1 所以k 1 2 故选 a 2 某运动员投篮命中率为0 8 则该运动员1次投篮 时命中次数x的期望为 a 0 2 b 0 8 c 0 16 d 0 4 b 解析 解析 x的可能取值为0 1 其分布列为 所以ex 0 0 2 1 0 8 0 8 故选b 3 改编 某贫困县辖有15个小镇中有9个村庄交通比 较方便 有6个不太方便 现从中任意选取10个小镇 其 中有x个小镇交通不太方便 下列概率中等于c 4 6c69 c10 15 的是 a p x 4 b p x 4 c p x 6 d p x 6 a 解析 x服超几何分布 从则c 4 6c69 c10 15 p x 4 故选a 4 已知随机变量 服从二项分布 b 6 1 3 则其期 望e 解析 因机量为随变 服二分布从项 b 6 1 3 所以 期望e 6 1 3 2 5 若x1 x2 x3 x2013 x2014的方差为3 则3 x1 2 3 x2 2 3 x2013 2 3 x2014 2 的方差为 解析 方差为d 3x 2 32dx 9 3 27 一 非特殊概率分布及应用一 非特殊概率分布及应用 例1 2012 广东省东莞市模拟 甲 乙两人进行乒乓 球比赛 约定每局胜者得1分 负者得0分 比赛进行到 有一人比对方多2分或打满6局时停止 设甲在每局中获 胜的概率为p p 1 2 且各局胜负相互独立 已知第二局比 赛结束时比赛停止的概率为5 9 1 求p的值 2 设 表示比赛停止时比赛的局数 求随机变量 的 分布列和数学期望e 解析 解析 1 甲当连胜2局或乙连胜2局 第二局比时赛 束比停止 结时赛 故p2 1 p 2 5 9 解得 p 1 3或 p 2 3 又p 1 2 所以 p 2 3 2 依意知题 的所有可能取值为2 4 6 p 2 5 9 p 4 1 5 9 5 9 20 81 p 6 1 5 9 20 81 16 81 所以机量随变 的分布列 为 所以 的期望数学e 2 5 9 4 20 81 6 16 81 266 81 拓展演练1 2013 北京市门头沟区一模 将编号为1 2 3 4的四个材 质和大小都相同的球 随机放入编号为1 2 3 4的四个盒子 中 每个盒子放一个球 表示球的编号与所放入盒子的编 号正好相同的个数 1 求1号球恰好落入1号盒子的概率 2 求 的分布列和数学期望e 解析 1 事件设a表示 1球恰好落入号1盒子号 p a a 3 3 a4 4 1 4 所以1球恰好落入号1盒子的率号概为1 4 2 的所有可能取值为0 1 2 4 p 0 3 3 a4 4 3 8 p 1 4 2 a4 4 1 3 p 2 c 2 4 a4 4 1 4 p 4 1 a4 4 1 24 所以 的分布列为 期望数学e 0 3 8 1 1 3 2 1 4 4 1 24 1 二 超几何分布及应用 二 超几何分布及应用 例 2 某农场计划种植某种新作物 为此对这种作物的 两个品种 分别称为品种甲和品种乙 进行田间试验 选取两大 块地 每大块地分成n小块地 在总共2n小块地中 随机选 n小块地种植品种甲 另外n小块地种植品种乙 假设n 4 在第一大块地中 种植品种甲的小块地的数目记为x 求x 的分布列和数学期望 解析解析 x可能的取值为0 1 2 3 4 且x服超几何分从 布 p x 0 1 c4 8 1 70 p x 1 c 1 4c34 c4 8 8 35 p x 2 c2 4c24 c4 8 18 35 p x 3 c 3 4c14 c4 8 8 35 p x 4 1 c4 8 1 70 即x的分布列为 x的期望数学为ex 0 1 70 1 8 35 2 18 35 3 8 35 4 1 70 2 拓展演练2 2013 广东省梅州第二次模拟 为了让更多的人参与 2011年在深圳举办的 大运会 深圳某旅游公司向国内 外发行总量为2000万张的旅游优惠卡 其中向境外人士发 行的是旅游金卡 简称金卡 向境内人士发行的是旅游银卡 简称银卡 现有一个由36名游客组成的旅游团到深圳参 观旅游 其中3 4是境外游客 其余是境内游客 在境外游客中有1 3持金卡 在境内游客中有 2 3持银卡 在该团 的境内游客中随机采访3名游客 设其中持银卡人数为随机 变量x 求x的分布列及数学期望ex 解析 共有该团36 1 3 4 9 名境游客 其中内9 2 3 6名游客持卡银 x的可能取值为0 1 2 3 p x 0 c 3 3 c3 9 1 84 p x 1 c1 6c23 c3 9 3 14 p x 2 c 2 6c13 c3 9 15 28 p x 3 c3 6 c3 9 5 21 所以x的分布列为 故ex 0 1 84 1 3 14 2 15 28 3 5 21 2 例 3 学校游园活动有这样一个游戏项目 甲箱子里 装有3个白球 2个黑球 乙箱子里装有1个白球 2个黑 球 这些球除颜色外完全相同 每次游戏从这两个箱子里各 随机摸出2个球 若摸出的白球不少于2个 则获奖 每 次游戏结束后将球放回原箱 1 求在1次游戏中 摸出3个白球的概率 获奖的概率 2 求在2次游戏中获奖次数x的分布列及数学期望ex 三 二项分布及应用 三 二项分布及应用 解析 1 设 在1次游中摸出戏i白球个 事为 件ai i 0 1 2 3 则p a3 c 2 3 c2 5 c1 2 c2 3 1 5 设 在1次游中戏获奖 事件为b 则b a2 a3 又p a2 c 2 3 c2 5 c2 2 c2 3 c1 3c12 c2 5 c1 2 c2 3 1 2 且 a2 a3互斥 所以p b p a2 p a3 1 2 1 5 7 10 2 由意可知题x的所有可能取值为0 1 2 p x 0 1 7 10 2 9 100 p x 1 c1 2 7 10 1 7 10 21 50 p x 2 7 10 2 49 100 所以x的分布列是 x的期望数学 ex 0 9 100 1 21 50 2 49 100 7 5 或 ex 2 7 10 7 5 拓展演练3 某社会机构为更好地宣传 低碳 生活观念 对某市 a b两个大型社区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念 的调查 若生活习惯符合低碳观念的称为 低碳族 否则 称为 非低碳族 这两族的人数占各自小区总人数的比例 p统计如下 1 如果甲 乙两人来自a区 丙 丁两人来自b区 求这4人中恰有2人是低碳族的概率 2 a区经过大力宣传后 每周非低碳族中有20 的人加 入到低碳族的行列 如果2周后随机从a区中任选25人 记 表示这25人中低碳族人数 求e 解析 1 记 4人中恰有2人是低族碳 事件为a p a 1 2 1 2 1 5 1 5 4 1 2 1 2 4 5 1 5 1 2 1 2 4 5 4 5 33 100 2 设a有区a人 2周后非低族的率碳概 p1 a 1 2 1 1 5 2 a 8 25 则2周后低族的率碳概p 1 8 25 17 25 依意 题 b 25 17 25 则 e 25 17 25 17 例 4 某同学参加3门课程的考试 假设该同学第一 门课程取得优秀成绩的概率为4 5 第二 第三门课程取得优 秀成绩的概率分别为p q p q 且不同课程是否取得优秀 成绩相互独立 记 为该生取得优秀成绩的课程数 其分布 列为 四 随机变量的分布列与期望的实际应用四 随机变量的分布列与期望的实际应用 1 求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率 2 求p q的值 3 求数学期望e 解析 事件ai表示 生第该i程取得秀成门课优 绩 i 1 2 3 由意知题p a1 4 5 p a2 p p a3 q 1 由于事件 生至少有该1程取得秀成门课优绩 与 事件 0 是立的 所以生至少有对该1程取得门课优 秀成的率是 绩概1 p 0 1 6 125 119 125 2 由意知 题p 0 p a1 a2 a3 p a1 p a2 p a3 1 5 1 p 1 q 6 125 p 3 p a1 a2 a3 p a1 p a2 p a3 4 5pq 24 125 整理得 pq 6 25 p q 1 注意到p q 故可解得p 3 5 q 2 5 3 由意知 题 a p 1 p a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 4 5 1 p 1 q 1 5p 1 q 1 5 1 p q 37 125 b p 2 p a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 4 5 p 1 q 4 5 1 p q 1 5pq 58 125 或者b 1 6 125 24 125 a 58 125 则e 0 6 125 1 a 2 b 3 24 125 9 5 拓展演练4 随机抽取某婴幼儿奶粉生产企业的某种产品200件 经 国家质检部门检测 其中有一等品126件 二等品50件 三等品20件 次品4件 已知生产1件一 二 三等品获 得的利润分别为6万元 2万元 1万元 而1件次品亏损2 万元 设1件产品的利润为 单位 万元 1 求 的分布列 2 求1件产品的平均利润 即 的数学期望 3 为了提高乳制品的质量 经技术革新后 虽仍有四个 等级的产品 但次品率降为1 一等品率提高为70 如果 此时要求1件产品的平均利润不小于4 73万元 则三等品 率最多是多少 解析 1 的可能取 值为2 1 2 6 p 2 4 200 1 50 p 1 20 200 1 10 p 2 50 200 1 4 p 6 126 200 63 100 的分布列 为 2 的期望 数学为 e 2 1 50 1 1 10 2 1 4 6 63 100 4 34 即1件品的平均利是产润4 34万元 3 技革新后术 的可能取仍 值为2 1 2 6 但 的 分布列 为 其中x y分三 二等品率 根据分布列的性有 别为质 x y 1 1 100 70 100 29 100 所以技革新后术1件品的平均利 产润为 e 2 1 100 1 x 2 y 6 70 100 476 100 x 要使1件品的平均利不小于产润4 73万元 即e 4 73 由476 100 x 4 73 得x 3 100 即要使技革新后术1件品平均利不小于产润4 73万元 三等品率最多产为3 1 2013 广东卷 已知离散型随机变量x的分布列为 则x的数学期望e x a 3 2 b 2 c 5 2 d 3 a 解析 解析 由期望的算公式即可得出数学计e x 1 3 5 2 3 10 3 1 10 3 2 故选 a 2 2013 湖北卷 如图 将一个各面都涂了油漆的正方体 切割为125个同样大小的小正方体 经过搅拌后 从中随机 取一个小正方体 记它的涂漆面数为x 则x的均值e x a 126 125 b 6 5 c 168 125 d 7 5 b 解析 解析 由意可知 题x所有可能取值为0 1 2 3 8点的个顶处8小正方体涂有个3面漆 所以p x 3 8 125 每一上除了点的小正方体 剩下条棱两个顶处还3 一共有个3 12 36小正方体涂有个2面漆 所以p x 2 36 125 每表面去掉四上的个条棱16小正方体 剩下个还9 小正方体 因此一共有个9 6 54小正方体涂有一面漆 个 所以p x 1 54 125 由以上可知 剩下还125 8 36 54 27部个内 的小正方体的6面都有涂油漆 所以个没p x 0 27 125 故x的分布列为 因此e x 0 27 125 1 54 125 2 36 125 3 8 125 6 5 故选b 3 2013 山东卷 甲 乙两支排球队进行比赛 约定先 胜3局者获得比赛的胜利 比赛随即结束 除第五局甲队 胜的概率是1 2外 其余每局比赛甲队获胜的概率是 2 3 假设每 局比赛结果互相独立 1 分别求甲队以3 0 3 1 3 2胜利的概率 2 若比赛结果为3 0或3 1 则胜利方得3分 对 方得0分 若比赛结果为3 2 则胜利方得2分 对方得 1分 求乙队得分x的分布列及数学期望 解析 解析 1 记 甲以队3 0利胜 事件为a1 甲队 以3 1利胜 事件为a2 甲以队3 2利胜 事件为 a3 则p a1 c3 3 2 3 3 8 2