高三数学一轮复习 6.4合情推理与演绎推理课件.ppt

备考方向要明了 考什么 怎么考 1 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 了解合情推理在数学发现中的作用 2 了解演绎推理的重要性 掌握演绎推理的基本模式 并能运用它们进行一些简单推理 3 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 1 合情推理的考查常单独命题 以填空题的形式考查 如2011年高考t14等 2 对演绎推理的考查则渗透在解答题中 侧重于对推理形式的考查 归纳知识整合 1 合情合理 1 归纳推理 定义 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的都具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 特点 是由到 由到的推理 全部对象 部分 整体 个别 一般 2 类比推理 定义 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有的推理 特点 类比推理是由到的推理 探究 1 归纳推理的结论一定正确吗 提示 不一定 结论是否真实 还需要经过严格的逻辑证明和实践检验 这些特征 特殊 特殊 2 演绎推理 1 模式 三段论 大前提 已知的 小前提 所研究的 结论 根据一般原理 对做出的判断 2 特点 演绎推理是由到的推理 探究 2 演绎推理所获得的结论一定可靠吗 提示 不一定 只有前提是正确的 推理形式是正确的 结论才一定是真实的 错误的前提则可能导致错误的结论 一般原理 特殊情况 特殊情况 一般 特殊 自测牛刀小试 1 下面几种推理 由圆的性质类比出球的有关性质 由直角三角形 等腰三角形 等边三角形的内角和是180 归纳出所有三角形的内角和都是180 某次考试张军成绩是100分 由此推出全班同学成绩都是100分 三角形的内角和是180 四边形的内角和是360 五边形的内角和是540 由此得出凸多边形的内角和是 n 2 180 其中是合情推理的是 填序号 解析 是类比推理 是归纳推理 是非合情推理 答案 2 观察下列各式 55 3125 56 15625 57 78125 则52013的末四位数字为 解析 55 3125 56 15625 57 78125 58 390625 59 1953125 可得59与55的后四位数字相同 由此可归纳出5m 4k与5m k n m 5 6 7 8 的后四位数字相同 又2013 4 502 5 所以52013与55后四位数字相同为3125 答案 3125 3 给出下列三个类比结论 ab n anbn与 a b n类比 则有 a b n an bn loga xy logax logay与sin 类比 则有sin sin sin a b 2 a2 2ab b2与 a b 2类比 则有 a b 2 a2 2a b b2 其中结论正确是 填序号 解析 不正确 正确 答案 4 教材习题改编 有一段演绎推理是这样的 直线平行于平面 则直线平行于平面内所有直线 已知直线b 平面 直线a 平面 直线b 平面 则直线b 直线a 结论显然是错误的 这是因为 解析 大前提是错误的 直线平行于平面 则不一定平行于平面内所有直线 还有异面直线的情况 答案 大前提错误 归纳推理 例1 1 2012 江西高考 观察下列各式 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 则a10 b10 2 设f x 先分别求f 0 f 1 f 1 f 2 f 2 f 3 然后归纳猜想一般性结论 并给出证明 自主解答 1 记an bn f n 则f 3 f 1 f 2 1 3 4 f 4 f 2 f 3 3 4 7 f 5 f 3 f 4 11 通过观察不难发现f n f n 1 f n 2 n n n 3 则f 6 f 4 f 5 18 f 7 f 5 f 6 29 f 8 f 6 f 7 47 f 9 f 7 f 8 76 f 10 f 8 f 9 123 所以a10 b10 123 答案 1 123 利用本例 2 的结论计算f 2014 f 2013 f 1 f 0 f 1 f 2015 的值 归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类 1 数的归纳包括数字归纳和式子归纳 解决此类问题时 需要细心观察 寻求相邻项及项与序号之间的关系 同时还要联系相关的知识 如等差数列 等比数列等 2 形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳 1 观察下列等式 可以推测 13 23 33 n3 n n 用含n的代数式表示 类比推理 类比推理的分类 1 类比定义 在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时 可以借助原定义来求解 2 类比性质 从一个特殊式子的性质 一个特殊图形的性质入手 提出类比推理型问题 求解时要认真分析两者之间的联系与区别 深入思考两者的转化过程是求解的关键 3 类比方法 有一些处理问题的方法具有类比性 我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中 注意知识的迁移 证明 如图所示 ab ac ad bc abd cad abc dba 演绎推理 2 求f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 的值 2 由 1 可知 1 f x f 1 x 即f x f 1 x 1 则f 2 f 3 1 f 1 f 2 1 f 0 f 1 1 则f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 3 演绎推理的结构特点 1 演绎推理是由一般到特殊的推理 其最常见的形式是三段论 它是由大前提 小前提 结论三部分组成的 三段论推理中包含三个判断 第一个判断称为大前提 它提供了一个一般的原理 第二个判断叫小前提 它指出了一个特殊情况 这两个判断联合起来 提示了一般原理和特殊情况的内在联系 从而产生了第三个判断 结论 2 演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系 解题时要找准正确的大前提 一般地 若大前提不明确时 一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提 1 归纳推理的一般步骤 通过观察个别情况发现某些相同性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 猜想 检验猜想 2 类比推理的一般步骤 找出两类事物之间的相似性或一致性 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确的命题 猜想 检验猜想 1 归纳是由特殊到一般的推理 2 类比是由特殊到特殊的推理 3 演绎推理是由一般到特殊的推理 4 从推理的结论来看 合情推理的结论不一定正确 有待证明 若大前提和小前提正确 则演绎推理得到的结论一定正确 创新交汇 推理与证明的交汇问题1 归纳推理主要有数与式的归纳推理 图形中的归纳推理 数列中的归纳推理 类比推理主要有运算的类比 性质的类比 平面与空间的类比 题型多为客观题 而2012年福建高考三角恒等式的推理与证明相结合出现在解答题中 是高考命题的一个创新 2 解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性 特例的共性或一般规律 然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题 猜想 最后对所得的一般性命题进行检验 例 2012 福建高考 某同学在一次研究性学习中发现 以下五个式子的值都等于同一个常数 1 sin213 cos217 sin13 cos17 2 sin215 cos215 sin15 cos15 3 sin218 cos212 sin18 cos12 4 sin2 18 cos248 sin 18 cos48 5 sin2 25 cos255 sin 25 cos55 1 试从上述五个式子中选择一个 求出这个常数 2 根据 1 的计算结果 将该同学的发现推广为三角恒等式 并证明你的结论 1 本题的创新点 1 本题给出一个等于同一个常数的5个代数式 但没有给出具体的值 需要学生求出这个常数 这打破以往给出具体关系式的模式 2 本题没有给出具体的三角恒等式 需要考生归纳并给出证明 打破了以往只归纳不证明的方式 2 解决本题的关键 1 正确应用三角恒等变换 用一个式子把常数求出来 2 通过观察各个等式的特点 找出共性 利用归纳推理正确得出一个三角恒等式 并给出正确的证明 2 若 abc的三个内角a b c满足cos2a cos2b 1 cos2c 试判断 abc的形状 提示 如果需要 也可以直接利用阅读材料及 1 中的结论 2 由二倍角公式 cos2a cos2b 1 cos2c可化为1 2sin2a 1 2sin2b 1 1 2sin2c 所以sin2a sin2c sin2b 设 abc的三个内角a b c所对的边分别为a b c 由正弦定理可得a2 c2 b2 根据勾股定理的逆定理知 abc为直角三角形 1 观察下列等式 cos2 2cos2 1 cos4 8cos4 8cos2 1 cos6 32cos6 48cos4 18cos2 1 cos8 128cos8 256cos6 160cos4 32cos2 1 cos10 mcos10 1280cos8 1120cos6 ncos4 pcos2 1 可以推测 m n p 答案 962 3 正方形abcd的边长是a 依次连结正方形abcd各边中点得到一个新的正方形 再依次连结新正方形各边中点又得到一个新的正方形 依此得到一系列的正方形 如图所示 现有一只小虫从a点出发 沿正方形的边逆时针方向爬行 每遇到新正方形的顶点时 沿这个正方形的边逆时针方向爬行 如此下去 爬行了10条线段 则这10条线段的长度的平方和是 4 已知 在梯形abcd中 如图 ab d