复变函数与积分变换自测题.doc

. . . .复变函数与积分变换自测题1：第一章至第三章1、 已知函数f(z)在z0处连续，且f(z0)0.求证：存在z0的某个邻域，f(z)在其中处处不为0.2、 试将1-cos+isin化为指数形式。3、 计算（3+4i）1+i。4、 计算tan(3-i)。（注意：指最后结果需将实部、虚部分离）5、 求解方程sinz+icosz=4i。6、 已知v(x,y)=epxsiny是调和函数，求实常数p的值，并求对应的复变解析函数f(z)=u+iv。7、 已知f(z)= ex xcosy-ysiny+i(ycosy+xsiny)，求f(z)。8、 已知解析函数f(z)满足，当z0时，f(z)= ，求f(z)。9、 计算，其中C：由0到2+i的有向线段。10、 计算，其中C：正向。11、 计算，其中C：顺时针方向。12、 计算，其中C：（1，0）沿单位圆的上半周至（-1,0）.13、 计算，其中C：。已知条件：f(z)在内解析，且f(0)=1,f(0)=2.由此再计算的值。自测题1 答案1、 证明：反设题设结论不成立。用数学语言表示：。于是由于f(z)在z0处连续（连续必极限存在），及复变函数极限的定义，知f(z0)=0，与题目已知条件矛盾。题设结论获证。2、 化为指数形式意味着必须标准化，成为形式。我们首先计算复数的模。（逆用二倍角公式，这一点大家一定要掌握）（绝对值符号千万表丢了）下面考虑复数的辐角。（逆用二倍角公式，注意cot0无意义，事实上时，原复数为0，辐角不存在，也不需要表示为指数式了）。因此，只要时，原复数就可以表示为下面的指数式：。3、 遇到这样的问题一定要用最原始的方法进行计算，首先计算，则原式=（为什么可以这样？因为）由此可见，我们绝对不能忽略Lnz的多值性，2ki很重要！4、 tan(3-i)= （和差角公式）（注意恒等式与二倍角公式的巧妙运用）5、 这个问题显然不经处理是无法轻易解决的。考虑原方程可化为，则我们可知-iz=Ln4.从而z=iLn4=iln4-2k。6、 。（想想为什么可以这样快地得到结果？知道前者就可以对偶地将后者设出来啦）7、 解这样的问题，以首先化简f(z)为宜，因为复变函数的求导法则与实函数相同。（将复变初等函数展开为u、v的形式，要烂熟于心，“挫骨扬灰”都能认出来！）8、 方法一（强烈推荐！解析函数法），其中z0，C为任意复常数。方法二：首先利用已知条件求得，再利用Cauchy-Riemann条件，通过“偏积分”的方法将u、v求出。（很罗嗦，这里不作演示了）9、利用参数法，本题答案为。10、大家可以发现本题的解决依赖于第2题的结论！令，则原式=（注意：积分上下限的变化、积分变量的变化、被积函数的变化）=。11、考虑复变函数的积分是线积分，可以将积分曲线的方程代入表达式，则显然分母被消去，原式=0.12、易见（用原函数法），而（令）=，原式=。13、本题大家要勇于对拆项计算，利用Cauchy积分公式与一阶导数公式，它等于8i；因此，运用参数化方法，=2.复变函数与积分变换自测题2：第四章14、 幂级数的收敛半径是多少？15、 在z=0的邻域内将展开成泰勒级数，它的收敛半径是多少？16、 判别的敛散性。17、 证明cos（in）是无界数列，并判别的敛散性。18、 求在z=0处的泰勒展开式，其中C：正向。19、 求在圆环域和内的洛朗展式。自测题2 答案20、 本题计算的要点在于极限式的变换，因为复变幂级数与实函数的幂级数，求收敛半径的方法是相同的。答案是0，因为极限式化简至最后形如。21、 考虑f(z)的第一个不解析点（指离复平面原点最近的一个）为z=1，则收敛半径就是1.这是课本上一个很重要的结论，因为洛朗级数展开时分圆环域讨论的思想，即由此而来。22、 这级数是收敛的。遇到这类问题，第一步一定是将实部虚部剥离，分别判定敛散性。大家可以先写出前几项，继而得出结论：原级数=i+，实部、虚部均收敛。因为它们满足Leibniz准则：通项取绝对值后单调递减且趋于0.这是验证常数项交错级数敛散性，最重要的方法。，大家还记得吗？23、 证明cos（in）是无界数列，并判别的敛散性。普里瓦洛夫（前苏联复变函数论泰斗）是莫斯科大学的教授，一次期末口试(要知道,口试可比笔试难多了,无论是从教师还是从学生的角度来说)，有一个学生刚走进屋子，就被当头棒喝般地问了一句“sinz有界无界？”此人稀里糊涂地回答了一句“有界”，就马上被判不及格，实在是不幸之至。本题实际考查的核心即是sinz、cosz无界，因为当y为实数时，cos(iy)=chy=。因此，本题不证自明，级数发散。24、 解本题的核心是视，对给定的z用一阶导数公式，则可得f(z)=2isin2z。这一函数的泰勒展式是十分简单的。25、 考虑十分复杂，对于这样的分式多项式函数求洛朗展式，多采用分部分式法。，这样一来展式也就十分简单了。复变函数与积分变换自测题3：第五章26、 z=1是函数 的什么奇点？27、 求。28、 设z=a为解析函数f(z)的m级零点，求。29、 求以及。30、 设（C）：，求。31、 求，其中（C）：。补充列出第四、五章作业题中很重要的一些题：第四章：3、4、9、10、16.第五章：2、5、12、20、50、51、55、（实积分部分）22、24.这些题目不是常规方法能够很好解决的。希望大家复习时加以重视其中第五章第5题正确答案为A，第51题正确答案为C，校内流传的“参考答案”是错的。第5题考虑z0是f(z)的本性奇点，则不存在；从而也不存在，z0是 (z)的本性奇点。自测题3 答案32、 易见将f(z)展开成（z-1）的洛朗级数，有无穷多个负幂项，因此z=1为f(z)的本性奇点。33、 极限不存在，因为z=1为函数的本性奇点（道理同上）。34、 令，其中g(a)0.那么， 【注意在z=a点是解析的】35、 （注意z=是一级极点，用规则1） （注意z=0是一级极点，用规则1） 这两题考查的都是一级极点用规则1后，连续使用洛必达法则进行变换。但请大家务必注意：洛必达法则在复变函数中，一般都只适用于0/0型的极限！36、 考虑积分曲线是一个椭圆，我们令t=z-1，则=，其中C是C向下做了1个单位的平移变换。显然，C仍然只包含被积函数的1个奇点唯一的奇点本性奇点0.因此本题结果显然为i。37、 当0r1时，C还包含被积函数的两个一级极点i,-i，即包含了被积函数的一切奇点。因此，我们考虑一种另辟蹊径的方法。r1时，我们转而考虑被积函数在无穷远点的留数，按照公式易求得留数为0；又可按照一级极点的规则1求得，函数在i,-i两点留数之和为-sin1。因此，函数在0点的留数为sin1.=2isin1（当0r1时）。当然，被积函数在0点处的留数也一定是可以用常数项级数的“柯西乘法”（实质上是卷积的一种，大家到11月就弄明白啦）求得的。但是需要花费一些时间。所以考场上大家最好采用转化计算复杂度的方法1. 若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。2. 若不是心宽似海，哪有人生风平浪静。在纷杂的尘世里，为自己留下一片纯静的心灵空间，不管是潮起潮落，也不管是阴晴圆缺，你都可以免去浮躁，义无反顾，勇往直前，轻松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些时间，总会看清一些事。用一些事情，总会看清一些人。有时候觉得自己像个神经病。既纠结了自己，又打扰了别人