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成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 必修4 平面向量 第二章 3从速度的倍数到数乘向量 第二章 3 2平面向量基本定理 如右图所示 一盏电灯 可以由电线co吊在天花板上 也可以由电线ao和绳子bo拉住 所以拉力f起到的效果应与拉力f1和f2共同作用的效果一样 这应如何解释呢 根据物理知识 力f可以分解为力f1和力f2 即f f1 f2 事实上力的分解与合成就是应用了平行四边形法则 所以其他向量也可以用平行四边形法则来分解或合成 平面上不共线的两个向量都可以作为一组基底 用这个基底的线性运算可以表示平面上的任意向量 这就是本节要学习的平面向量基本定理 平面向量基本定理定理 如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量 那么对于这一平面内的任一向量a 存在唯一一对实数 1 2使 不共线的向量e1 e2叫作表示这一平面内所有向量的一组 a 1e1 2e2 基底 答案 d 解析 根据基底的定义 只要两向量不共线便可作为基底 易知选d 2 若a b不共线 且 a b 0 r 则 a a 0 b 0b 0c 0 b 0d a 0 0 答案 b 解析 由平面向量基本定理可知 0 选b 4 已知向量a与b的夹角是45 则向量2a与 b的夹角是 答案 135 5 设e1 e2是平面的一组基底 且a e1 2e2 b e1 e2 则e1 e2 a b 对基底的理解 答案 b 规律总结 两个向量能否作为基底 关键是看它们是否共线 此题中的向量是否共线 主要看它们所在的线段是否在一条直线上或是否平行 下面三种说法 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底 零向量不可作为基底中的向量 其中正确的说法是 a b c d 答案 b 解析 两个向量只要不共线 它们就可以作为平面内的一组基底 故 错 正确 平面向量的表示 用向量法证明三角形的三条中线交于一点 思路分析 解决本题有两个关键点 一是由题意证明三线交于一点 需先明确要用同一法 二是利用向量证明两点重合的方法是构造以同一点为起点这两点为终点的两向量相等 从而得这两点重合 平面向量基本定理及其应用 如图 在 abc中 点m是bc的中点 点n在边ac上 且an 2nc am与bn相交于点p 求ap pm的值 错解 b 辨析 若a 1e1 2e2则这样的a只能与e1 e2在同一平面内 且 1 2唯一确定 正解 a
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