高考数学 第二章 第十三节定积分与微积分基本定理课件 理.ppt

第十三节定积分与微积分基本定理 1 定积分的概念 1 设f x 是在区间 a b 上有定义的函数 在a b之间取若干分点a x0 x1 x2 xn b 记小区间 xk 1 xk 为 k 其长度 记作 xk 记作d 再在每个小区间 k上任取一点代表点zk 作和式 xk xk 1 xk中最大的 如果 不论如何取分点xk和代表点zk 当d趋于0时和式 以s为极限 就说函数f x 在 a b 上可积 并且说s是f在 a b 上的定积分 记作s 2 在中 分别叫作定积分的下限和上限 区间 叫作积分区间 叫作被积函数 a和b a b 函数f x 即时应用 1 思考 积分与是否相等 提示 相等 定积分的大小仅与被积函数及积分区间有关 而与积分变量无关 2 设f x 在 a b 上连续 则f x 在 a b 上的平均值为 解析 由定积分的含义可知f x 在 a b 上的平均值为答案 3 设连续函数f x 0 则当a b时 定积分的符号为 填 正 或 负 解析 由定积分的几何意义可知的符号为正 答案 正 2 定积分的几何意义 x a x b x a x b 即时应用 1 设f x 是连续函数 且为奇函数 在对称区间 a a 上的定积分 2 若y f x 与y g x 是 a b 上的两条光滑曲线的方程 则由这两条曲线及直线x a x b所围成的平面区域的面积为 只写出表达式即可 3 曲线y sinx y cosx与直线x 0 x 所围成的平面区域的面积为 只写出表达式即可 解析 1 由定积分的几何意义和奇函数的性质知 0 2 利用定积分的几何意义可得 平面区域的面积应表示为 3 作出图形可知要求的平面区域面积即如图阴影部分的面积 则s 答案 1 0 2 3 3 微积分基本定理如果f x 是在 a b 上有定义的 函数 f x 在 a b 上可微并且f x 则 连续 f x f b f a 即时应用 1 2 一物体在力f x 3x 4 单位 n 的作用下 沿着与力f相同的方向 从x 0处运动到x 4处 单位 m 所做的功为 解析 1 2 2 所做的功为 40 答案 1 2 2 40j 热点考向1定积分的计算 方法点睛 定积分的计算方法 1 利用定积分的几何意义 转化为求规则图形 三角形 矩形 圆或其一部分等 的面积 2 应用微积分基本定理 求定积分时 可按以下两步进行 第一步 求使f x f x 成立的f x 第二步 计算f b f a 例1 1 2011 福建高考 等于 a 1 b e 1 c e d e 1 2 2012 江西高考 计算定积分 3 设f x 若f f 1 1 则a 规范解答 1 选c ex x2 ex 2x 取f x ex x2 f 1 f 0 e1 12 e0 0 e 2 答案 3 因为x 1 0 所以f 1 lg1 0 又因为f x x x a3 所以f 0 a3 所以a3 1 a 1 答案 1 变式备选 等于 a 2ln2 b 2ln2 c ln2 d ln2 解析 选d 取f x lnx f 4 f 2 ln4 ln2 ln2 热点考向2利用定积分求平面图形的面积 方法点睛 求曲边图形面积的方法与步骤 1 画图 并将图形分割为若干个曲边梯形 2 对每个曲边梯形确定其存在的范围 从而确定积分的上 下限 3 确定被积函数 4 求出各曲边梯形的面积和 即各积分的绝对值的和 提醒 利用定积分求曲边图形面积时 一定要找准积分上限 下限及被积函数 当图形的边界不同时 要分不同情况讨论 例2 1 2012 湖北高考 已知二次函数y f x 的图象如图所示 则它与x轴所围图形的面积为 a b c d 2 求函数f x 的图象与x轴所围成的封闭图形的面积 规范解答 1 选b 由图象可知二次函数的表达式为f x 1 x2 s 2 所求面积为图中阴影部分的面积 由题意知a 2 0 b 0 2 c 0 所求图形的面积为 4 互动探究 将本例 2 改为求由函数f x 2cosx x 0 与g x 2 x围成的图形的面积 解析 如图 取f x 2sinx 2x x2 所求图形面积为 f f 0 2 变式备选 设y f x 是二次函数 方程f x 0有两个相等的实根 且f x 2x 2 1 求y f x 的表达式 2 求y f x 的图象与两坐标轴所围成图形的面积 3 若直线x t 0 t 1 把y f x 的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分 求t的值 解析 1 设f x ax2 bx c 则f x 2ax b 又已知f x 2x 2 a 1 b 2 f x x2 2x c 又方程f x 0有两个相等的实根 判别式 4 4c 0 即c 1 故f x x2 2x 1 2 依题意 取f x x3 x2 x 所求面积s f 0 f 1 3 依题意 有 t3 t2 t t3 t2 t 2t3 6t2 6t 1 0 2 t 1 3 1 于是t 1 定积分物理意义的应用 方法点睛 定积分的物理意义的应用定积分在物理中可以用来求变速运动的速度 位移 变力做功等 加速度关于时间的积分是速度 速度关于时间的积分是位移 力关于力的方向上的位移的积分是所做的功 例 在某介质内作变速直线运动的物体 经过时间t 单位 s 所走过的路程s 4t2 单位 m 若介质阻力f与物体的运动速度v成正比 且当v 10m s时 f 5n 求物体在位移区间 1 4 内克服介质阻力所做的功 解题指南 由题意可以先求出阻力f 再利用变力做功公式 求物体克服阻力所做的功 规范解答 物体经过时间t所走过的路程s 4t2 速度v t s 8t 设f kv t 由 当v 10m s时 f 5n 知k f 4t dw fds 4t d 4t2 32t2dt s 1 4 t 1 取f t t3 物体在位移区间 1 4 内克服介质阻力所做的功w f 1 f j 反思 感悟 用定积分解决变速运动的位移与路程问题时 把物理问题转化为数学问题是关键 另外注意变速直线运动的速度函数往往是分段函数 故求积分时要将其分成几段积分 然后求出积分的和 变式训练 一物体在力f x 单位 n 的作用下沿与力f x 相同的方向运动了4米 力f x 做功为 a 44j b 46j c 48j d 50j 解析 选b 力f x 所做的功为 20 26 46 j 变式备选 一质点a以速度v1 t 3t2 1 m s 在直线l上运动 另一质点b以速度v2 t 10t m s 也在直线l上运动 若两质点同时同地出发并同向运动 求经过多少时间 质点a比质点b多运动5m 解析 设经过xs 质点a比质点b多运动5m 则 5 即 5 x3 x 5x2 5 解得x 5 经过5s 质点a比质点b多运动5m 1 2013 厦门模拟 a b c 1 d e 1 解析 选c 根据微积分基本定理 故选c 2 2012 泉州模拟 曲线y 与直线y x 1及x 4所围成的封闭图形的面积为 a 2 ln2 b 4 2ln2 c 4 ln2 d 2ln2 解析 选b y 与直线y x 1及x 4所围成的面积为如图所示的阴影