高三数学一轮复习 5.4数列求和课件 .ppt

第四节数列求和 知识梳理 1 公式法 1 使用已知求和公式求和的方法 2 数列求和常用公式 n2 2 裂项相消法把数列的通项拆分为两项之差 使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法 3 错位相减法 1 适用的数列 anbn 其中数列 an 是公差为d的等差数列 bn 是公比为q 1的等比数列 2 方法 设sn a1b1 a2b2 anbn 则qsn a1b2 a2b3 an 1bn anbn 1 得 1 q sn a1b1 d b2 b3 bn anbn 1 就转化为根据公式可求的和 4 其他求和方法 考点自测 1 思考 给出下列命题 如果已知等差数列的通项公式 则在求其前n项和时使用公式sn 较为合理 如果数列 an 为等比数列 且公比不等于1 则其前n项和sn 当n 2时 求sn a 2a2 3a3 nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得 如果数列 an 是周期为k的周期数列 那么skm msk m k为大于1的正整数 其中正确的是 a b c d 解析 选c 正确 根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知 正确 根据等比数列的求和公式可知 正确 直接验证可知正确 错误 需要分a 0 a 1 以及a 0且a 1三种情况求和 正确 根据周期性可得 2 数列 an 的前n项和为sn 若则s5等于 解析 选b 因为an 所以s5 a1 a2 a5 3 等差数列 an 的通项公式为an 2n 1 其前n项的和为sn 则数列的前10项的和为 a 120b 100c 75d 70 解析 选c 因为等差数列 an 的通项公式为an 2n 1 所以sn n n 2 所以 n 2 故 3 4 5 12 75 4 数列的前n项和sn的值等于 解析 选a 该数列的通项公式为an 2n 1 则sn 1 3 5 2n 1 5 等于 解析 选b 方法一 令 则 得 所以方法二 取n 1时 代入各选项验证可知选b 6 已知 an 是公比为2的等比数列 若a3 a1 6 则a1 解析 因为 an 是公比为2的等比数列 且a3 a1 6 所以22a1 a1 6 解得a1 2 所以an 2 2n 1 2n 所以即数列是首项为 公比为的等比数列 所以答案 2 考点1公式法求和 典例1 1 2014 舟山模拟 已知 an 是等比数列 a2 2 a5 则a1a2 a2a3 anan 1等于 a 16 1 4 n b 16 1 2 n c 1 4 n d 1 2 n 2 2013 重庆高考 设数列 an 满足 a1 1 an 1 3an n n 求 an 的通项公式及前n项和sn 已知 bn 是等差数列 tn为其前n项和 且b1 a2 b3 a1 a2 a3 求t20 解题视点 1 先利用等比数列的通项公式求出an 再证明数列 anan 1 成等比数列 最后利用等比数列的前n项和公式求解 2 先证明数列 an 成等比数列 再利用通项公式及前n项和公式 先解出等差数列 bn 的首项与公差 再利用前n项和公式求t20 规范解答 1 选c 设数列 an 的公比为q 因为a2 2 a5 a2 q3 所以q 所以a1 4 所以an 所以an an 1 即数列 anan 1 是以8为首项 以为公比的等比数列 所以a1a2 a2a3 anan 1 2 由题设知 an 是首项为1 公比为3的等比数列 所以an 3n 1 sn 3n 1 b1 a2 3 b3 1 3 9 13 b3 b1 10 2d 所以公差d 5 故t20 20 3 5 1010 互动探究 若本例第 2 小题的第 问中条件不变 求tn 解析 由本例 2 的第 问解析可知 等差数列 bn 的首项b1 3 公差d 5 所以tn 规律方法 几类可以使用公式求和的数列 1 等差数列 等比数列以及由等差数列 等比数列通过加 减构成的数列 它们可以使用等差数列 等比数列的求和公式求解 2 奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的 可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式 变式训练 设f n 2 24 27 210 23n 10 n n 则f n 等于 a 8n 1 b 8n 1 1 c 8n 3 1 d 8n 4 1 解析 选d 由题意知f n 可看作以2为首项 23为公比的等比数列的前n 4项和 所以f n 8n 4 1 加固训练 1 已知数列 an 的通项公式是an 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 则其前n项和sn 思路点拨 由于存在 1 n 按照n为奇数和偶数分别求解 解析 sn 2 1 3 3n 1 1 1 1 1 n ln2 ln3 1 2 3 1 nn ln3 所以当n为偶数时 当n为奇数时 综上所述 sn 答案 2 数列 an 的前n项和为sn 且sn n n 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 cn 满足cn 且 cn 的前n项和为tn 求t2n n n 解析 1 a1 s1 2 n 2时 an sn sn 1又a1 2适合上式 所以an n 1 2 因为cn 所以cn 所以t2n c1 c3 c2n 1 c2 c4 c2n 2 4 6 2n 22 24 26 22n n n 1 n2 n 考点2裂项相消法求和 典例2 1 已知数列 4n 2n n n 的前n项和为sn bn 则数列 bn 的前n项和tn 2 2013 新课标全国卷 已知等差数列 an 的前n项和sn满足s3 0 s5 5 求 an 的通项公式 求数列的前n项和 解题视点 1 先求出sn 并对sn进行分解 再对bn进行裂项求和 2 利用s3 0 s5 5求出等差数列的首项及公差 利用an a1 n 1 d求出 an 的通项公式 将 中的通项公式代入到中 利用裂项相消法求前n项和 规范解答 1 根据等比数列求和公式得sn 22n 1 2 2n 1 2 2n 1 2n 1 3 2n 1 2n 1 1 2n 1 所以 所以答案 2 设数列 an 的公差为d 则由已知可得故 an 的通项公式为an 2 n 由 知从而数列的前n项和为 易错警示 使用裂项相消法的易错点使用裂项相消法求和时 要注意正负项相消时消去了哪些项 保留了哪些项 切不可漏写或写错未被消去的项 未被消去的项有前后对称的特点 实质上造成正负相消是此法的根源与目的 如求的前n项和时 剩下的是 规律方法 常见的裂项方法 其中n为正整数 变式训练 2013 江西高考 正项数列 an 满足an2 2n 1 an 2n 0 1 求数列 an 的通项公式an 2 令bn 求数列 bn 的前n项和tn 思路点拨 借助二次三项式的因式分解来求an 分析 bn 通项公式的特点选择正确的求和方法 解析 1 由an2 2n 1 an 2n 0 得 an 2n an 1 0 由于 an 是正项数列 所以an 2n 2 由an 2n 加固训练 1 数列 的前n项和为 解析 选b 因为所以 2 记数列 an 的前n项和为sn 且sn c为常数 n n 且a1 a2 a5成公比不等于1的等比数列 1 求c的值 2 设bn 求数列 bn 的前n项和tn 解析 1 由sn n 1 a1 s1 1 n 2 an sn sn 1 1 n 1 c 故an 1 n 1 c 而a1 a2 a5成公比不等于1的等比数列 即 1 c 2 1 4c且c 0 所以c 2 2 由 1 知 an 2n 1 所以所以tn b1 b2 bn 3 已知等差数列 an 的前六项和为60 且a1 5 1 求数列 an 的通项公式an及前n项和sn 2 若数列 bn 满足bn 1 bn an n n 且b1 3 求数列的前n项和tn 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 则6a1 15d 60 由a1 5 解得d 2 所以an 2n 3 sn n n 4 2 由bn 1 bn an 所以bn bn 1 an 1 n 2 n n 当n 2时 bn bn bn 1 bn 1 bn 2 b2 b1 b1 an 1 an 2 a1 b1 n 1 n 1 4 3 n n 2 对b1 3也适合 所以bn n n 2 n n 考点3错位相减法求和 考情 数列求和是高考的热点 特别是用错位相减法求和 在高考中的三种题型都会出现 一般以选择题 填空题考查基础知识 在解答题中综合考查 既与等差 等比数列混合考查 也与三角函数 不等式 解析几何等知识交汇考查 高频考点通关 典例3 1 2014 焦作模拟 化简sn n n 1 2 n 2 22 2 2n 2 2n 1的结果是 a 2n 1 n 2b 2n 1 n 2c 2n n 2d 2n 1 n 2 2 2013 山东高考 设等差数列 an 的前n项和为sn 且s4 4s2 a2n 2an 1 求数列 an 的通项公式 设数列 bn 满足n n 求 bn 的前n项和tn 解题视点 1 利用错位相减法求和 2 先设出等差数列的首项和公差 然后根据s4 4s2 a2n 2an 1可列方程组求得数列的通项公式 先根据n n 求出 bn 的通项公式 再利用错位相减法求出tn 规范解答 1 选d 因为sn n n 1 2 n 2 22 2 2n 2 2n 1 2sn n 2 n 1 22 n 2 23 2 2n 1 2n 所以 式得 sn n 2 22 23 2n n 2 2n 1 所以sn 2n 1 n 2 2 设等差数列 an 的首项为a1 公差为d 由s4 4s2 a2n 2an 1得解得a1 1 d 2 因此an 2n 1 n n 通关锦囊 特别提醒 求和过程中 要对项数进行准确判断 含有字母的数列求和 常伴随着分类讨论 通关题组 1 2014 嘉兴模拟 已知数列 an 中 a1 2 an 1 3an 2 1 记bn an 1 求证 数列 bn 为等比数列 2 求数列 nan 的前n项和sn 解析 1 由an 1 3an 2知an 1 1 3 an 1 因为bn an 1 所以bn 1 3bn 又b1 a1 1 3 所以数列 bn 是以3为首项 3为公比的等比数列 2 由 1 知an 1 3n an 3n 1 所以nan n 3n n 所以sn 3 2 32 n 3n 1 2 n 其中1 2 n 记tn 3 2 32 n 3n 则3tn 32 2 33 n 1 3n n 3n 1 两式相减得 2tn 3 32 3n n 3n 1 n 3n 1 tn 3n 1 所以sn 2 2014 宁波模拟 设 an 是等差数列 bn 是各项都为正数的等比数列 且a1 b1 1 a3 b5 21 a5 b3 13 1 求 an bn 的通项公式 2 求数列的前n项和sn 解析 1 设 an 的公差为d bn 的公比为q 则依题意有q 0 解得d 2 q 2 所以an 1 n 1 2 即an 2n 1 bn 1 2n 1 即bn 2n 1 2 由 1 可知 sn sn 得 故sn 3 2014 深圳模拟 已知公差为d的等差数列 an 0 a1 0 d 其前n项和为sn 若sin a1 a3 sina2 cos a3 a1 cosa2 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn 求数列 bn 的前n项和tn 解析 1 因为sin a1 a3 sina2 所以sin2a2 2sina2cosa2 sina2 所以sina2 2cosa2 1 0 因为0 a1 0 d 所以0 a2 所以sina2 0 所以cosa2 所以a2 因为cos a3 a1 cosa2 所以cos2d cos 所以d 所以a1 所以an n 1 所以数列 an 的通项公式为an 2 因为所以所以 得所以 加固训练 1 已知数列 an 的前n项和为sn sn 2an 1 n n 数列 n 1 an 的前n项和tn 解析 因为sn 2an 1 所以sn 1 2an 1 1 所以an 1 2an 1 2an 即an 1 2an 又因为s1 2a1 1得a1 1 所以an 2n 1 tn 2 20 3 21 4 22 n 1 2n 1 则2tn 2 21 3 22 n 2n 1 n 1 2n 所以 tn 2 2 22 2n 1 n 1 2n 2 n 1 2n n 2n 所以tn n 2n 答案 n 2n 2 2014 杭州模拟 设正项等比数列 an 的首项a1 前n项和为sn 且 a2 a3 a1成等差数列 1 求数列 an 的通项 2 求数列 nsn 的前n项和tn 解析 1 设正项等比数列 an 的公比为q q 0 由题知a1 a2 2a3 且a1 所以a1 a1q 2a1q2 即有2q2 q 1 0 解得q 1 舍去 或q 所以an 2 因为故则数列 nsn 的前n项和tn 1 2 n 两式相减 得 3 2014 温州模拟 已知数列 an 的前n项和为sn a1 2 当n 2时 sn 1 1 an sn 1成等差数列 1 求证 sn 1 是等比数列 2 求数列 nan 的前n项和tn 解析 1 因为sn 1 1 an sn 1成等差数列 所以2an sn sn 1 2 所以2 sn sn 1 sn sn 1 2即sn 3sn 1 2 所以sn 1 3 sn 1 1 n 2 所以 sn 1 是首项为s1 1 3 公比为3的等比数列 2 由 1 可知sn 1 3n 所以sn 3n 1 当n 2时 an sn sn 1 2 3n 1 又因为a1 2 所以an 2 3n 1 所以tn 2 4 3 6 32 2 n 1 3n 2 2n 3n 1 3tn 2 3 4 32 2 n 1 3n 1 2n 3n 得 2tn 2 2 3 2 32 2 3n 1 2n 3n 2n 3n 3n 1 2n 3n 所以tn 4 2014 聊城模拟 已知函数f x logkx k为常数 k 0且k 1 且数列 f an 是首项为4 公差为2的等差数列 1 求证 数列 an 是等比数列 2 若bn an f an 当k 时 求数列 bn 的前n项和sn 3 若cn anlgan 问是否存在实数k 使得 cn 中的每一项恒小于它后面的项 若存在 求出k的范围 若不存在 说明理由 解析 1 由题意知f an 4 n 1 2 2n 2 即logkan 2n 2 所以an k2n 2 所以因为常数k 0且k 1 所以k2为非零常数 所以数列 an 是以k4为首项 k2为公比的等比数列 2 由 1 知 bn anf an k2n 2 2n 2 当k 时 bn 2n 2 2n 1 n 1 2n 2 所以sn 2 23 3 24 4 25 n 1 2n 2 2sn 2 24 3 25 n 2n 2 n 1 2n 3 得sn 2 23 24 25 2n 2 n 1 2n 3 23 23 24 25 2n 2 n 1 2n 3 所以sn 23 n 1 2n 3 n 2n 3 3 存在 由 1 知 cn anlgan 2n 2 k2n 2lgk 要使cn1时 lgk 0 n 1 n 2 k2对一切n n 恒成立 只需k2 因为单调递增 所以当n 1时 所以k2 且0 k 1 所以0 k 综上所述 存在实数k 1 满足条件 规范解答7 解答数列求和问题 典例 14分 2014 北京模拟 已知等差数列 an 满足 a3 7 a5 a7 26 an 的前n项和为sn 1 求an及sn 2 令bn n n 求数列 bn 的前n项和tn 审题 分析信息 形成思路 解题 规范步骤 水到渠成 1 设等差数列 an 的首项为a1 公差为d 因为a3 7 a5 a7 26 所以解得 2分 所以an 3 2 n 1 2n 1 4分sn 6分 2 由 1 知an 2n 1 所以bn 10分所以 13分即数列 bn 的前n项和tn 14分 点题 失分警示 规避误区 变题 变式训练 能力迁移已知数列 an 的前n项和sn n 1 bn 其中 bn 是首项为1 公差为2的等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 若求数列 cn 的前n项和tn 解析 1 由已知得 bn 1 2 n 1 2n 1 sn n 1 2n 1