数学史融入高中数学教学的研究.pdf

浙江师范大学2 00 7 级教育硕士论文 数学史融入高中数学教学的研究 i n t e g r a t i n gt h eh i s t o r yo fm a t h e m a t i c s i n t os e n i o rh i g hs c h o o lm a t h e m a t i c s t e a c h i n g 章静汉 导师 徐元根 浙江师范大学数理与信息工程学院 2 012 年5 月 数学史融入高中数学教学的研究摘要 y 2 1 9 4 7 7 7 彩新一轮课程改革无疑是对传统数学教学的挑战 从理念到内容 从方法到模式 蕴含着古今中外杰出数学人才成长史 数学演变史 数学思维发展史的数学文化在数学教学中的价值逐渐得到认同 数学课程应当反映数学的历史 应用和发展趋势 将数学史与高中数学教学进行整合 对于提高学生对数学的学习兴趣 提高课堂教学效果都有着十分重要的作用 新课程改革以来 不仅要求学生掌握一些具体的数学知识 而且要体会数学的科学价值 应用价值 人文价值 特别是将数学的人文价值提高到十分重要的地位 将数学理解为一种文化是对数学较高层次的理解 而数学史是学习数学文化的有效载体 因此 数学史越来越受到数学教师 学生的重视 为此提出了本课题 数学史融入高中数学教学的研究 通过文献研究和行动研究来进行展丌 文献研究给本课题奠定了坚实的理论基础 正因为有了有力的理论支撑 才使得行动研究的必要性 行动研究主要通过笔者平时的教学实例 随机事件的概率及分布列 等差数列的前n 项和公式 等比数列的前n 项和公式 课后对教师 学生进行问卷调查 访谈 与同行交流等方式来获得反馈结果 从而得出一些有用的信息 通过本课题的研究得出了以下结论 1 绝大多数学生是欢迎数学教学中融入数学史 但是不同数学基础的学生对数学史的理解 兴趣有很大不同 2 学生心目中的数学史价值 不仅是为了活跃课堂气氛提高学习兴趣 还有促进对知识的理解 陶冶情操 提高个人的数学素养 扩大知识面等方面的价值 3 行动研究对教师自身发展的作用 通过行动研究教师可以提高数学素养 充实数学史知识 提高与人交流的能力等 4 数学史融入的方式有哪些 5 数学史融入高中数学教学应坚持的原则 应坚持德育性原则 趣味性原则 结合性原则 针对性原则 连续性原则 最后对数学教师提出了一些建议 作为一名一线的高中数学教师应具有的有关数学素养 对数学教学工作也提了一些想法供同行参考 关键词 数学史 高中数学 概念教学 命题教学 问题解决教学 e x p a n dt h e i rk n o w l e d g e 3 a c t i o nr e s e a r c hi sg o o df o rt e a c h e r s s e r f d e v e l o p m e n t t h r o u g ht h ea c t i o nr e s e a r c h m a t h e m a t i c st e a c h e r sc a l le x p a n dt h e i rk n o w l e d g ea b o u t t h eh i s t o r yo fm a t h e m a t i c sa n di m p r o v et h e i rc o m m u n i c a t i o n a ls k i l l sw i t ho t h e r s 4 t h ew a y so fi n t e g r a t i n gt h eh i s t o r yo fm a t h e m a t i c si n t os e n i o rh i g hs c h o o lm a t h e m a t i c s t e a c h i n g 5 t h ep r i n c i p l e st h a tw h e nt h eh i s t o r yo fm a t h e m a t i c si si n t e g r a t e di n t o s e n i o rh i g hs c h o o lm a t h e m a t i c st e a c h i n gw es h o u l do b e ya r em o r a le d u c a t i o np r i n c i p l e i n t e r e s t s p r i n c i p l e c o m b i n a t i o n p r i n c i p l e p e r t i n e n c e p r i n c i p l e c o n t i n u i t y p r i n c i p l e f i n a l l y t h es t u d ys h o w ss o m es u g g e s t i o n st om a t ht e a c h e r sa n dt h eg e n e r a l c a p a c i t ya n dd i s p o s i t i o nt h a tam a t ht e a c h e rs h o u l dh a v e i ta l s os h o w ss o m ei d e a so f m a t h e m a t i c st e a c h i n gf o rt h ep e e r s k e y w o r d s h i s t o r y o f m a t h e m a t i c s s e n i o rh i g hs c h o o lm a t h c o n c e p to f t e a c h i n g p r o p o s i t i o nt e a c h i n g p r o b l e m s o l v i n gt e a c h i n g 目录 摘要 i a b s t r a c t i i 目录 i v 一 问题的提出 1 一 选题缘由 1 1 数学史是渗透数学人文价值的有效载体 l 2 数学史融入数学教学的成功尝试 2 3 课程标准的要求 3 二 研究问题 4 二 文献研究 5 一 数学史融入高中数学教学的必要性 5 二 如何将数学史融入数学教学 7 1 数学史融入高中数学教学的层次 7 2 数学史融入高中数学教学的手段 8 三 研究方案 9 一 数学史融入高中数学教学的设计模式 9 二 采用行动研究的理由 9 三 行动研究的设计与实施 1 0 1 数学史融入概念教学 11 2 数学史融入命题教学 1l 3 数学史融入问题解决教学 1 3 四 行动研究过程 1 6 五 研究结论和教学建议 2 9 一 结论 2 9 1 学生对数学史融入数学教学的态度 2 9 2 学生对数学史价值的看法 2 9 3 行动研究对教师自身的帮助 3 0 i v 4 数学史融入数学教学的方式 3 0 5 数学史融入高中数学教学的原则 3 0 6 数学史融入高中数学教学的层次 手段 3 2 二 教学建议 3 3 1 对教师的建议 有关高中数学教师的数学素养 3 3 2 对数学教学的建议 一3 5 3 对数学教师 数学史教研者的建议 3 6 三 本研究不足之处 3 6 参考文献 3 7 附录 3 9 致谢 4 3 攻读学位期间取得的研究成果 4 4 浙江师范大学学位论文独创性声明 4 5 学位论文使用授权声明 4 5 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 4 6 v 一 选题缘由一 问题的提出1 数学史是渗透数学人文价值的有效载体 人文 按 辞海 解释 是指人类社会的各种文化现象 具体来说 人文素质是指人在改造大自然的活动中形成的文化修养和品位 涉及到人如何处理与自然 社会及他人的关系及人自身的理性 感情 意志等社会属性诸方面 通过人的观念意识 品质情操 心理性格 价值取向和文化修养等来表现 因此 人文素质是人掌握 控制和调整世界的方式 是人类实现与自然的关系 并从这种关系中获得所需的中介 入文素质教育是把人类积累的优秀文化成果通过知识传授 环境陶冶和自身的实践 使其内化为气质 修养和人格 成为相对稳定的内在品质的教育 自1 8 世纪微积分诞生以来 数学在应用方面的成就层出不穷 数学本身固有的那种工具性品格越来越突出 以至于人们日渐淡忘了数学的另一方面更为重要的文化品格 在当前的数学教育中 由于受到考试制度 片面追求升学率 的影响 接受性教学占主导地位 成绩的取得以大运动量训练为代价 学生无法获得对数学的良好感受 急功近利的实用主义思想排斥人文主义教育功能的现象日益凸显 另一方面 数学教育偏重于学生的逻辑思维和认知能力的发展 很少指向人的人性 创造性和实践能力 忽视情感体验 轻视非智力因素 由于过分强调严格的逻辑与推理 使学生觉得数学枯燥无味 只能从逻辑方面去狭隘地理解数学 这也导致了公众对数学认识的偏差 数学的文化价值变成了少数教育理论工作者 哲学家研究的内容 未能引起广大数学教育工作者的重视 这不能不说是当前数学教育的一大疏漏 人文素质教育最重要的功能是教人做人 数学教育必须以人性完善为终极目标 这是人文主义教育观坚持的核心观点 在数学教学中 应重视把人文知识或 一 问题的提出 人文精神与数学内容融合在一起 浸润在数学知识中 浸透人文素质教育 关键 在教师 作为一名数学教师 同样肩负着教书育人的光荣任务 如果仅津津乐道 于知识的灌输 接受和积累 而忽略对学生的人文关怀 人性阐扬和道德陶冶 这样的素质教育显然是不全面的 也与新课标提出的强调人的发展和情感方面考 虑的要求相去甚远 应当引起我们深刻的反思 数学是科学的工具 在人类文明的历史进程中 已充分显示出实用价值 数 学更是一种文化 是人类智慧的结晶 其价值已渗透到人类社会的每一个角落 数学教育的任务 不仅是知识的传授 能力的提高 而且也是文化的熏陶 素质 的培养 在实施素质教育的新形势下 我们既要凸显数学学科的科学性 工具性 应用性 更要重视其人文性 帮助学生积累人文素养 弘扬人文精神 目前高中阶段 数学史是渗透数学人文价值的有效载体 在高中阶段 学生觉得数学是一门比较难学的科目 数学中有大量的概念 公式 定理 结论需要学生理解 掌握 应用 很多时候学生还不知道知识发展 的来龙去脉 老师就要求学生用结论去应用解决问题 通过做大量的练习来达到 巩固知识的目的 为的就是考试取得高分 甚至一些老师直截了当的说 只要记 住结论并会应用结论就可以了 别去探究结论的发生 发展过程 这样浪费时间 对高考没有好处 由于数学在高考中所占比分较大 大多数学生都花了很多时间 和精力但部分学生的数学成绩总是不太理想 特别是文科学生 有较大的心理压 力 难怪学生一谈到数学就紧张 甚至恐惧 但又不得不去学习 数学教学工作 者 包括专家 学者 尝试了很多办法来改善这种状况 研究表明 在高中数学 教学过程中恰当地融入数学史是一种可行的做法并且有不错的效果 绝大多数学 生都表示欢迎 2 数学史融入数学教学的成功尝试 在高中数学教学过程当中笔者经常渗透数学史的内容 根据不同的课选择不 同的融入方式 让数学史和课堂内容有机结合起来 学生的兴趣之高令笔者感动 惊讶 在讲完 随机事件的概率及分布列 一课后 笔者对所教的一个班级5 0 名 学生做了关于 数学史融入高中数学课堂教学 的问卷调查 第一个问题是 你 对教学中引入数学史知识的态度 理由是什么 4 3 人回答 感兴趣 占8 6 5 人回答 还可以 只有2 人回答 没有兴 一 问题的提出 趣 感兴趣的理由有以下七种 理由1 通过学习数学史上的问题 可以了解到数学与现实生活之间的密切联 系 学会把书本上的数学知识运用于生活实际 理由2 通过数学史的介绍 让学生了解一些定理是怎样起源的 有助于更好 地理解数学 学生听课时可以借助数学史来理解概念 提高理解力 从而真正理 解概念 理由3 数学史故事生动有趣 能很好地激发学生的学习兴趣和爱好 学生在 课堂上会更专注 不易走神 从而提高学习效率 理由4 通过学习数学史可以丰富理论知识 增长见识 理由5 通过学习数学史可以陶冶情操 净化心灵 特别是数学家那种不畏艰 险 百折不挠的探究精神 理由6 通过融入数学史让枯燥乏味的数学课变得轻松 自在 有趣 理由7 通过数学史可以学习古人的智慧 同一次调查还发现 超过9 3 的学生愿意了解数学史知识 8 8 的学生同意在 课堂上引入数学史的相关知识 这无疑给笔者进行本研究的带来了很大的动力 3 课程标准的要求 普通高中数学课程标准 实验 的基本理念之一 体现数学的文化价值 数学是人类文化的重要组成部分 数学课程应适当反映数学的历史 应用和发展 趋势 数学对推动社会发展的作用 数学的社会需求 社会发展对数学发展的推 动作用 数学科学的思想体系 数学的美学价值 数学的创新精神 数学课程应 帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用 逐步形成正确的数学观 为此 高 中数学课程提倡体现数学的文化价值 并在适当的内容中提出对 数学文化 的 学习要求 设立 数学史选讲 等专题 例如 在进行几何教学时 教师可以向学生先介绍欧几里得生平事迹 对数 学的贡献等 然后介绍欧几里得几何的大致理论体系以及与其它学科的关系 最 后介绍欧几里得几何对科学发展的重大意义 在进行微积分教学时 教师可以向 学生先介绍牛顿 莱布尼兹的生平事迹 然后介绍牛顿 莱布尼兹在各自领域如 何创立微积分 最后介绍微积分对数学 对整幢科学大厦的早程碑意义 在进行 对数教学时 教师可以向学生介绍对数产生的背景 发展过程 实际意义 与指 一 问题的提出 数的关系 对数的应用领域等 在学习解析几何时 先向学生介绍解析几何的创 始人 笛卡尔 的生平事迹 然后简单介绍他创立的过程以及解析几何的基本思 想 坐标法 最后介绍解析几何的创立对数学发展有哪些作用 与其它数学分支 迪关系 在进行三角函数的第一课时 弧度制 教学时 在讲完1 弧度的定义后 介绍欧拉与弧度制的故事 欧拉在数学界被称为 多产的数学家 介绍他的主要 成就 以及他后半身的不幸 这些事迹会引起学生心灵上的震撼 可以激发求知 的动力 数学史以及数学在现实生活中的应用是数学文化非常重要的一部分 更是实 现知识的传承 能力发展 积极情感形成的一个理想的切入口 教师通过对教材 的研究 创设教学情境 自然融入数学史的有关内容 学生在学习知识的同时了 解它的发生发展过程 了解数学创造的真实过程 在追溯数学发展的轨迹过程中 不仅提高学生的学习兴趣 创造学习动机 激发学生的爱国情结 而且对数学知 识的领悟 甚至人生观 价值观的形成有较大的辅助作用 研究问题 本研究的主要目的是通过将数学史融入高中数学教学的研究 探讨数学史融 入高中数学教学的价值 利用课堂实录 深度访谈 问卷调查 课后反思等方法 探讨数学史对学生的价值是故事兴趣 认知上的帮助还是能促进对概念的理解 还是有它无可替代的价值 数学史是否对所有的学生都适用 利用对其他教师或 教研员进行访谈及笔者亲身经历 总结数学史融入教学的切入点及对教师自身专 业发展的价值 根据上述研究目的 本研究提出如下问题 1 学生对数学史融入课堂教学的态度 2 学生心目中数学史有哪些教育价值 3 数学史融入数学教学是否可行 有何价值 4 数学史融入课堂教学何种方式恰当 5 数学史融入数学教学的行动研究对教师自身的专业发展有何帮助 4 二 文献研究 一 数学史融入高中数学教学的必要性 数学教学中为什么要运用数学史 欧美学者早在1 9 世纪末就有讨论 卡约黎指出 f 学科的历史知识乃是 使面包和黄油更加可口的蜂蜜 有 助于使该学科更具吸引力 c a j o r i 1 8 9 9 能够激发学生学习兴趣 使他们树 立正确的价值观 他在 数学史 前言里指出 通过数学史的介绍 教师应该让 学生懂得一个道理 数学是一门使人聪明而且是十分有趣 有实际应用价值的学 科 并不是学生想象的那样枯燥乏味 令人讨厌的学科 西方学者对数学史的教育价值进行了广泛的探讨 以下列出具有代表性的几 个观点 f a u v e l 1 9 9 1 总结了数学教学中运用数学史的各种理由 共有1 5 条 1 增加学生的学习动机 2 改变学生的数学观 3 因为知道并非只有他们自己有困难 因而得到安慰 4 使数学不那么可怕 5 有助于保持对数学的兴趣 6 给予数学以人文的一面 7 有助于解释数学在社会中的作用 8 有助于发展多元文化道路 9 历史发展有助于安排课程内容顺序 1 0 告诉学生概念如何发展 有助于他们对概念的理解 1 1 通过古今方法的对比 确立现代方法的价值 1 2 提供探究的机会 1 3 过去的发展障碍有助于解释今天学生的学习困难 二 文献研究 1 4 培养优秀生的远见卓识 1 5 提供跨学科合作的机会 数学教学中融入数学史能促进教师的数学教学 t z a n n a k i s a r c a v i 1 让教师能爱好数学 2 将数学视为一项文化成果 3 提升数学教师自己的教学知识 4 提高教师的数学学习能力 5 从数学史的视角去理解数学的本质和内涵 国外一些著名学者指出数学史融入教学对数学的影响 1 利用数学史引入问题 让学生比较现在方法和原来方法的差异 2 利用数学史去建构数学概念 理解基本方法 基本技能 3 利用数学史 可以清楚学生对于一些数学概念不理解的原因 b a r b i n 2 0 0 0 认为在数学教学中融入数学史的两个基本理由是 1 对于数学是什么的观念 数学史为我们提供了另一种视角 2 数学史让我们对于数学的概念和理论有更好的了解 萧文强 1 9 9 2 将数学史对数学教学的作用概括为以下几点 1 对数学有全面整体的认识 2 渗透多元文化观点 了解数学与社会发展的关系以及和其他学科之间的联系 3 为数学平添人情味 使学生明白前人创业的艰辛 不要把学习中的困难归结为自己的愚笨 教师也可以从数学发展过程中的 绊脚石 来了解学生的困难 可以参考数学史作为教学的指引 4 了解数学思想发展的过程 有助于增进理解 对比古今 可以更好地明白现代理论优点 5 数学史提供学生进一步探索的机会和素材 6 引发学习动机 使教师及学生保持对数学的兴趣和热情 张奠宙教授在2 0 0 3 年出版的 书 数学教育学导论 中指出 数学并不是定理化 数学教学既要讲清知识的内容 也要讲清它的来龙去脉 知识讲解不但要有开头 而且要有过程和结尾 不能老是讲结论 2 0 0 5 年 张维忠在 文化视野中的数学与数学教育 一书中指出 数学是一种文化体系 数学是人类文化的重6 二 文献研究 要组成部分 进而从数学是一种思想方法 数学是科学的语言 思维的工具以及 数学与艺术的关联等方面确认数学的文化价值 北京大学的孙小礼 邓东皋教授 编辑出版了 数学与文化 是在中国比较早地引进 数学文化观 的一部文集 使人们认识到从文化的角度去认识数学 理解数学 对数学教育有特别重要的意 义 从学生的角度来说 数学史的引入可以改变对数学本质的理解 可以改变传 统的接受方式 增加了一条学生自主研究数学的途径 从教师的角度来说 数学 史的引入可以帮助教师对知识的理解 数学是一门与时俱进的学科 如果教师的 认识与时俱进了 会接着影响教师的思考方式 教学方式 对学生的评价方式 从而问接地影响学生了解数学 接受数学的方式 使数学不再枯燥乏味 当教师 了解了数学史后使教师也能进一步深刻地认识到科学发展的曲折性 面对学生所 犯错误时 会采取更加包容和理解的正面态度 不会对学生随意进行心理打击 有利于学生更好地成长 二 如何将数学史融入数学教学 1 数学史融入高中数学教学的层次 对于数学史融入高中数学教学有的理解很片面 在数学课堂上讲点数学故事 以提高学生的兴趣 活跃上课气氛 仅此而已 显然这只能说是数学史融入高中 数学教学的较低层次的应用 洪万生 1 9 9 8 指出教师应用数学史至少可以分为 三个层次 第一层次 说数学史故事 第二层次 在数学史的发展过程中比较数学家给出的不同方法 取其精华为 我所用 通过比较不同方法 可以拓宽学生的解题思路 培养学生多角度思考问 题 解决问题的能力 第三层次 将数学理解为一种文化 介绍数学的文化价值 在数学过程中去 实践数学多元文化的价值所在 二 文献研究2 数学史融入高中数学教学的手段张奠宙教授认为 将数学史融入高中数学有利于将数学的 学术形态 转化为 教育形态 并且提出了应用数学史将数学的 学术形态 转化为 教育形态 的三个途径 途径1 揭示数学发展的规律 形成正确的数学观 途径2 提供真实的历史材料 包括原始问题 原始论据 原始过程 增强真实感 体现数学的人文精神 途径3 返朴归真 揭示数学发展的过程 并使之适合今天的课堂教学 上述三点不仅指出了数学史融入数学教学的任务 也为数学史的具体运用指明了方向 在具体的教学过程中 将数学史融入数学教学有很多种做法 m a n k e u n g 2 0 0 0 这取决于教师的信念 教学观 课程内容 历史资料等诸多因素 已有的文献也提供了很多成功的经验 包括使用传记 游戏 历史调查 本地历史考察 历史家庭作业 历史命题 参观 观看影视作品甚至戏剧表演 b i d w e l l 1 9 9 3 f a u v e l 1 9 9 1 k a t z 1 9 8 6 t z a n a k i s a r c a v i 2 0 0 0 j o h nf a u v e l 于1 9 9 1 年在 数学学习 f o rt h el e a r n i n go f m a t h e m a t i c s 上编辑了一期教学中如何应用数学史的专刊 其中列举了应用数学史的1 2 种不同的具体做法 萧文强 1 9 9 2 对各种做法进行了概括 提出了应用数学史的8 种具体方法和途径 1 以数学史作指引设计整体课程 2 讲授数学史的课 3 在教学中穿插数学家的故事和言行 4 应用数学历史文献设计课堂教学 5 在课堂内容里渗透历史发展的观点 6 在讲授某个数学概念时 先介绍它的历史发展 7 应用数学历史名题讲授数学概念 根据数学史上典型的错误帮助学生克服学习难点 8 指导学生制作富有数学史趣味的壁报 专题探讨 戏剧 录像等 三 研究方案 一 数学史融入高中数学教学的设计模式 数学史融入数学教学的过程 相关的研究也不少 弗莱登塔尔认为教师利用 数学史材料一般包含以下步骤 整理并学习数学史知识 分析本节课的数学史背 景 选择合适的数学史材料 确定教学计划 确定数学史融入课堂教学的实施方 案 课后反思评价 对实施方案的改进完善 通过查阅各种资料不难发现 对于数学史融入数学教学的设计主要是一些原则和 建议性的内容 数学史融入高中数学教学的过程和步骤没有固定的模式 本人认 为 数学史融入高中数学教学的实施模式应包含以下步骤 分析高中数学教科书 上数学知识处理方式的不足之处和原因 收集这方面的有关数学史知识 分析这 些数学史材料 根据教材需要选择相应的数学史进行介绍 可以用在数学概念的 引入 数学主题的展开 数学问题的解决 课后进行反馈 可以进行问卷调查 访谈 知识检测等 评价 指出实施过程中存在的不足之处 修改 再实践 应用 可以说数学史融入数学教学是一个长期的 不断完善的过程 以上过程也 可以分为三个阶段 方案的设计阶段 弄清数学史和高中数学知识的内在联系 取其精华为我所用 方案的实施阶段 数学史材料与具体某节课的整合 主要设 计出如何融入 如何与教学内容有机结合 方案的完善阶段 通过案例教学对方 案实施的教学效果检测评估 并且根据反馈结果进行修改完善 二 采用行动研究的理由 行动研究的概念从一定程度上由数学教师的思想决定的 目前英语国家中小 学教师普遍采用的研究方法是行动研究 教育行动研究的主体是教师 以数学教学活动的具体内容为研究题材 以数 9 三 研究方案 学教学的实际情景作为研究情境 通过数学教学活动来达到改善研究内容 所以 这个过程也是数学教师自我发展的过程 s t e p h e nk e m m is 主张的教育行动研究的 过程是 计划 行动 观察 反思 再计划 再反思 在这些环节中 行动和反 思是该循环中最重要的两个环节 而持续循环是行动研究最重要的特色 在循环 过程中也可能产生新的问题 从而充实研究内容 可使研究方案得到不断的完善 研究者的教学水平也因此得到提高发展 黄毅英 1 9 9 8 认为被h p m 研究者广泛使用的 前试一实验 控制一后试 模 式未必能完全协助我们探讨数学史对数学教学的影响 他建议研究者采用i e a i n t e r n a t i o n a la s s o c i a t i o nf o rt h ee v a l u a t i o no fe d u c a t i o n a la c h i e v e m e n t 教学研究的 意图一实施一达成 模式加以探讨 即就是研究者根据一定的教学 意图设计教学活动 在教学活动实施过程中通过观察 反思等活动了解执行有关 理念的程度 并对实施方案加以调整 从而促进目标的达成 这一建议和行动研 究的精神是相符的 本研究要解决的一些问题是 通过实际教学在高中数学教学中融入数学史 想要得到哪些融入方式适当 融入后的教学效果怎样 面临的困难有哪些 要回 答这些问题 除了理论研究外 可以通过行动研究深入到教学一线 通过案例教 学 调查 反馈 反思来获取答案 此外 笔者是一位有十年教龄的中学数学教 师 积累了一定的教学经验 因此 行动研究是理想的方法 三 行动研究的设计与实施 目前数学史研究比较全面 权威的是h p m 团队 他们指出 h p m 教学的目的是 以数学史为载体使学生更好的学习数学 而不是单纯地学习数学史 所以在教学 设计时 要考虑学生的认知发展水平 分析教学要求 对数学史经过适当的裁剪 和处理 使数学史与教学内容有机结合 所谓适合的就是最好的 这是对数学史 融入教学的最直接的要求 据此 笔者所考虑的是 数学史融入数学教学还可以 进一步细化到教学的每一个环节 将史料与教学完全地融为一体 为了实现研究目标 笔者在过去两年就数学史融入课堂教学进行 实践一反思 一再实践 的研究过程 从课后教师的反馈来看 数学史融入高中数学课堂教学 三 研究方案 的行动研究不容乐观 大部分一线教师宁愿接受课本上的安排顺序进行教学 很 少去探究这部分知识的历史发生发展过程 顺序 甚至对数学史知识一无所知 更不会去思考将课本上呈现知识的方式与历史上知识出现的过程相结合 但对学 生的调查却表明 数学史深受学生欢迎 所以笔者思考基于以下功能来融入数学 史 以获取更多融入经验 为以后的教育教学服务 1 数学史融入概念教学 概念是人们对事物本质的一种认识 同时也是逻辑思维的最基本的单元与形 式 它是一种抽象的 普遍的想法 观念 或者是充当指明实体 实践或者关系 的范畴或者类的实体 数学史是各种数学概念形成的过程 通过数学史的学习 能够让学生们对数学概念的形成有清晰的认识 不清楚数学史将让学生们失去许 多重要的东西 现在很多学生不能准确的说出杨辉三角与二项式系数性质的关系 不知道数学史上的三大危机 不能准确表达椭圆的定义 不知道割圆术的发明者 以及具体内容 造成这种现象的原因是他们从来没去学习过数学史 没去做过数 学史的题目 更不会主动去探究数学史名题 当然这些现象产生的原因不能够全 部归咎于学生 在小学与初中时甚至是高中里 教师们平时的教学也与这些现象 的产生有着很大的关系 数学概念教学就不能仅仅包含理论上的知识点 还应该包含有数学史 数学 概念教学是整个数学教学的第一个环节 也是十分重要的一个环节 通过数学概 念的教学 要为学生们揭示概念所产生的背景与起源 从中了解到概念的合理性 与必要性 在概念教学的过程中如果能够为学生们展示所学数学概念的产生与形 成的历史背景与发展过程 那么学生就会慢慢的产生出对相关概念的浓厚兴趣 并希望能够追根溯源 并能够主动的去探知前人的认知历程 弄清楚整个过程 进而更加深刻的理解数学概念的本质 而将数学史融入到概念教学中就能够让学 生很好的了解到数学概念的形成过程与历史发展背景 2 数学史融入命题教学 在现代哲学 数学 逻辑学 语言学中 命题指的是一个判断 陈述 的语 义 实际表达的概念 这个概念是可以被定义并观察的现象 命题不是指判断 陈 国康世刚 胡桂花 对我国 数学史与中小学数学教育 研究的现状分析 o 思考 j 数学教育学报 2 0 0 9 1 0 圆林永伟 叶立军 数学史与数学教育 m 杭州 浙江大学出版社 2 0 0 4 1 1 三 研究方案 述 本身 而是指所表达的语义 当相异判断 陈述 具有相同语义的时候 它 们表达相同的命题 主要讨论的是数学命题 在数学中 用来表示数学判断的陈 述旬或符号的组合叫做 数学命题 通常用 p q r s t 来表示 并且 称为命题变量 变项 对于无法判断其真假的语句 称为开 语 句 必须要注 意的是形式逻辑专门研究判断的形式 而不管判断的内容 只从真值的角度研究 命题的形式及各种命题之问的关系 但在数学中 既研究命题的内容 又研究命 题的形式 把内容和形式统一起来研究数学命题 例如在形式逻辑中 命题 如 果i 3 那么i 2 3 2 是正确的 但是在数学中该命题却是错误的 数学命题因为本身具有高度的概括性 典型性和普遍性 数学命题的学习方 式主要有三种分别是 下位学习 上位学习和并列学习 数学命题的教学主要分 为了三个过程 命题提出 命题证明和命题的应用三个阶段 根据数学发展的过 程 数学史可以与这三个过程进行有机的融合 在命题提出中 主要有两种方法 1 直接向学生展示命题 2 通过向学 生提出一些供研究 探讨的素材 并作必要的启示引导 让学生在一定的情境中 独立进行思考 通过运算 观察 分析 类比 归纳等步骤 自己探索规律 建 立猜想和形成命题 第一种方法 则可以借助数学史来为学生进行展示 一个命 题的出现是会在数学史上留下其独特的痕迹的 在直接展示前可以通过数学史为 学生展示命题出现的背景以及具体的过程 这样能够帮助学生对命题有更加深刻 的认识 而第二种方法中为学生提供的素材可以从数学史中获取 命题引入后 教师的重点工作转向对命题的条件 结论剖析 探讨其证明思 路 在数学史中有些前人的思想是很值得借鉴的 我们可以利用数学史来为学生 提供一个证明命题的方向或者思路 给学生以启发 数学中的定理 法则 公式等都是包摄程度十分高的命题 应用它们可以解 决众多的数学问题 同时 命题的应用又是训练学生的逻辑推理能力 发展学生 思维能力的必由之路 因而 命题的应用是命题教学中必不可少的重要环节 此 时为学生们呈现前人是如何应用这些定理 法则 公式来解决各种难题的就能为 学生打开一条思路 邵瑞珍 教育心理学 m 上海 上海教育出版社 1 9 9 7 1 2 三 i i 究方案3 数学史融入问题解决教学问题解决是建立在概念与命题学习的基础上的 它是一个学生运用所学知识解决问题的学习形式 美国教育心理学家加涅认为问题解决并不是简单的利用已学的概念或者命题的过程 而是一个会产生新的学习的过程 当学习者发现自己处于一个或者是被置于一个问题情境中时就会去回忆先前已经掌握的概念或者命题 试图从其中找到一个解决问题的答案或者是方案 这个过程中学习者会提出很多假设并逐渐的去检验他们的可适用性 当他们从中找到了能够解决问题或者是与这个问题情景有特定关系的概念或者是命题时 他们不仅仅解决了这个问题 同时还能够学会一些新的东西 进而能够解决相类似的问题 这个过程解题的过程中与数学知识的发展过程有着很多相似的地方 在解决问题时会从简单的开始 而将问题解决之后就会思考是否可以进行推广 找到其中的一般情形 或者是去寻求更多的解决方法 罾学生们在解数学题的过程中思维一般是按照下面的方式运行的 1 理解题意 掌握题目中的问题 条件以及相互之间的关系 这个过程中需要区分出己知条件 关系以及需要求解的目标 并且分割为不能够再继续分割的最基本的部分 2 根据题意 提出解题假设与思路 并从中选取最优的思路或者假设来制定解题计划 在这个过程中 为了能够进一步的了解条件与目标之间的本质连心 学生往往会进一步的进行比较 进而挖掘出一些更加深层次的因素 在经过组合后产生出新的因素 形成新的结构 并对各种原有的因素有新的认识 进而进一步的提出更为完善的解题设想或者方案 3 学生对自己解题的整个过程进行反思 讨论 并考虑对该结果的推广等等 数学家在解数学题时往往是这样的 1 先考虑最简单的问题 对简单的问题进行仔细分析 并从题目中找出能够用于解题的条件 同时提出各自解题的猜想 2 对所提出的猜想进行反驳 验证 并最终将这些问题解决 他们解题的过程并不是以解这些简单问题为最终的目标 而是要从简单问题的解决方法逐渐的过渡到对问题的一般情形的解决方法 尽可能的从特殊情况推广到一般化 同时他们希望在解决问题的过程中能够有新的发现 数学知识并不是突然就产生形成的 它们往往需要较长的时间才能够形成较为系统的理论 而且这些知识总是 张奠宙 宋乃庆编 数学教育概论 m 北京 高等教育出版社 2 0 0 4 范中广 数学史与中学数学教育 d 华中师范大学硕二l 学位论文 2 0 0 413 三 研究方案会不时的 反复的出现于研究数学问题的过程中 数学家则会有意无意的接触到这些问题的特殊情况 并明确的提出来 而后来的数学家则会在前人的基础上继续进行探索 并最终找出这些问题的一般规律 而有很多的数学问题都会引起数学家们的共同兴趣 不同的数学家就可能从不同的角度对这个数学问题进行思考 从而产生出不同的解法 从学生与数学家的解题过程能够看出 整个过程与数学知识的发展有着很多相似的地方 都是从最简单的问题开始 将最简单的问题解决后才是思考是否可以运用到更加广泛的地方 并进一步的找到其一般情形 或者是寻求对同 个问题的多种解决方法 根据个体知识的发生与历史上人类知识的发生的一致性 将数学史融入到问题解决教学中 有利于学生的问题解决学习 罾将数学史融入到问题解决教学中主要有三种策略 分别是 相似性策略 迁移性策略与连续性策略 相似性策略指的是通过对历史上的问题解决系统与现行教材的问题解决系统的相似性的考察 发现当前问题解决系统的内在联系以及容易被学生所理解的方法 通过相似性策略能够帮助学生从历史问题的解决系统中获得对当前问题的一些解题启示 有的甚至能够发现当前的问题是历史上曾经出现过的数学问题所演变而来的 这个过程中 教师能够更加容易的提前发现学生在解决问题中有可能会遇到的困难 然后通过合理的引导来帮助学生们克服困难 相似性策略的重点在于能够深入分析历史与当前问题解决系统所存在的相似性与不同的地方 进而提前预测学生可能遇到的认知障碍 从而在教学的过程中帮助学生克服困难 在心理学史迁移指的是先前的学习对后继的学习所产生的影响 美国著名的教育家布鲁纳认为迁移可以分为特殊迁移与一般迁移两种 而加涅则是将迁移分为了侧向迁移与纵向迁移 其中侧向迁移指的是将已有的问题解决方法在新的情景中运用 纵向迁移指的是运用已有的解题策略和规则来解决新的问题 迁移性策略其目的就是将历史上的问题解决系统中的原理与方法作为解决问题的起点 从而产生出显示问题的解决倾向 科学的发展是具有连续性的 不同的时代会产生出与之相适应的新的问题 从数学史中不难发现 经常会有一位数学家就某一个数学问题提出了自己的见解 中国科学院自然科学史研究组 数学史译文集 c 上海 上海科学技术出版社 1 9 8 1 徐冠中 数学史在数学课程中的文化价值 d 西南大学硕士学位论文 2 0 0 6 王江东 感知规律在中学数学教学中的应用 d 山东师范大学硕士学位论文 2 0 0 3 1 4 研究方案 从而引发出了一系列的讨论与研究 然后提出进一步的问题 到最后建立起了一 个相当的完善的数学原理 为了培养学生的连续性思维 帮助他们能够全面的了 解问题解决的完善的结构系统 可以从数学史上的一系列连续性问题的解决进程 为线索 应用到教学中帮助学生实现对某一个数学问题的整体认知与理解 四 行动研究过程 随机事件的概率及分布列 案例来源说明 本案例选白 普通高中课程标准实验教科书 人教版必修3 第三章 概率 3 1 随机事件的概率 教学目标 知识方面 通过数学史体会古人如何将实际问题转化为数学问题 并运用概 率的相关知识解决问题 能力方面 提高学生的探究意识 体会概率相关概念的产生 应用过程 情感方面 利用数学史引入课题 并用新知解决数学史问题 从而激发他们 的学习动机 改变学生的数学观 体会数学源于生活并服务于生活的道理 教学重点 随机事件概率的求法 分布列 期望 教学难点 随机事件概率的求法 教学过程 一 创设情境 引入话题 为学生构建出一个篮球比赛前的情景 将学生们分为两个队伍 教师作为裁 判 并想要通过抽签的方式来决定学生们的这两支队伍的进攻方向 准备了3 根 形状 大小相同纸签 在这3 根纸签之上分别写上 1 0 o 这三个数字 让学 生队伍中的其中一方队长在看不到纸签上数字的情况下进行抽签 抽到数字是1 的纸签的一方拥有进攻的优先选择权 而抽到数字是0 的一方则放弃进攻的优先 选择权 并将优先选者权给对方 然后让学生们在组内思考是否应该接受这样的 抽签方式 为什么 学生1 不公平 先抽的一方抽到1 可能大 学生2 公平 纸签事先看不到 所以双方抽到1 的可能一样大 学生3 不公平 因为o 有两张 抽到0 可能大 四 行动研究过程 教师在此时不要告诉学生答案 先介绍概率 随机事件的概率等概念 二 重温历史 加深印象 接着带着学生们去追朔概率论的本源 从历史中了解概念 让学生了解概率 起源于生活 应用于生活 三 建构知识 学习新知 讲了概率 随机事件的概率以后 在此基础上引入古典概型的求法 然后用 古典概率模型的公式解决刚才的问题 四 趁热打铁 探究新知 为学生们呈现出一段数学趣味历史 在1 6 5 3 年的夏天里 法国著名的物理学 家与数学家在前往浦埃托镇度假的旅途中碰到了 赌坛老手 统计学家德 梅勒 为了能够消除旅途的寂寞 梅勒向帕斯卡提出了一个自己苦恼了很久的赌本分配 问题 有甲 乙两个赌徒 他们赌技相同 这两个赌徒各出5 0 法郎的赌注进行赌 博 每局没有平局 这两个赌徒约定如果谁能够先赢得三局就能够得到全部的1 0 0 法郎的赌本 但是当甲赢得了两局 乙赢得了一局之后 由于天色已晚 两人都 不想继续堵下去 但此时的赌本应该如何去分呢 学生1 两人赢的可能一样 所以平分赌注 各5 0 法郎 学生2 前三局甲2 1 领先 所以甲应该拿总数的三分之二 约6 7 法郎 学生3 下一局如果乙赢了每个人将拿回自己所下的赌金 即是5 0 法郎 如 果不愿意继续下去甲应该这样说 我一定能得5 0 法律 即使我下一局输了 也应 该把这5 0 法郎给我 至于另外5 0 法郎 也许你得到它们 也许我得到它们 机 会均等 因此在给我5 0 法郎后 让我们均分另外5 0 法郎吧 所以甲拿7 5 法郎 已拿2 5 法郎 在学生给出三种有代表性的意见后 教师应鼓励学生 都有一定道理 但是 三类学生谁也说服不了谁 此时教师要进行引导 为了解决这个问题 让学生暂时放下争议 接下去学 习有关数学期望的内容 五 利用新知 解决问题 第四局如果甲胜 概率为三2 甲赢得所有赌注 李文林 数学史概论 岫 北京 高等教育m 版社 2 0 0 2 1 7 四 行动研究过程 第四局乙胜 第五局甲当且仅当甲胜这一局时 甲赢得所有赌注 概率为 1 11 一一 一o 2 2 4 第四局乙胜 第五局乙胜 乙赢得所有赌注 一1 r 224 设甲最终所得为x 则 尸 x 1 0 0 三 三 三 244 那么x 的分布列为 xo p 1 1 0 0 3 4 那么甲的 期望 所得为o 土41 0 0 口言2 7 5 法郎 而乙的期望为1 0 0 7 5 2 5 郎 然后在学生们讨论的基础上继续这个未完的历史故事 帕斯卡与另一位著名 的数学家费马都独自解决了这个问题 并且提出了一些在当时较为深刻而且到现 在仍然是经常使用到的想法与技巧 并且为解决机会游戏的其他许多问题搭建起 了框架 六 型例题 巩固提高 七 课堂小结 教学设计说明 在这个案例中利用了一个学生们常有的观念引起了学生们的认知上的冲突 抽到数字为o 的纸签的司能性更大 不公平 这是学生们内心的想法 然后引入 通过历史来为学生们呈现出概率论的的起源与发展 通过这两个过程很容易就能 够激发出学生的兴趣 j 学生对 概率 有更加深刻的印象 而数学史中的那个 赌徒分赌本的问题在将概率论中一些相关的知识呈现在了学生的眼前 同时后面 说道 帕斯卡与费马提出了一些在当时较为深刻而且到现在仍然是经常使用到的 想法与技巧 那么学生必然就会想要知道这 想法 与 技巧 的内容到底什么 进而激发出了学生们的探知心理 有助于后面概念教学的开展 学生反馈 课后 本人对全班5 0 名学生进行了有关本节课数学史的问卷调查 下面就问 陆书环 张蕾 中日高中新课程数学史与数学教学内容整合的比较研究 j 数学教育学报 2 0 0 9 2 1 8 四 行动研究过程 题以及学生的回答作一下统计 1 你对教学中引入数学史知识的态度 理由是什么 对于这个问题的回答 笔者在介绍选题理由时已经讲过 这里不再重复 2 在数学教学中引入相关的数学史知识你赞成吗 理由 4 5 人表示赞成 占9 0 5 人表示不赞成 占1 0 赞成的理由有以下 理由1 数学史让学生了解到数学源于生活 应用于生活 两者关系密切 理由2 数学史让学生了解到知识的发生 发展 形成 应用的过程 例题与 数学史的结合有利于学生对知识的理解 理由3 数学史能提升学生的数学素养 理由4 数学史知识有助于学生启发思维 提高逻辑推理能力 理由5 数学史知识能提高学生的学习兴趣 缓解紧张的气氛 让学生在轻松 自在的状态下学习 求知 理由6 数学史能让学生把知识融会贯通 能将已有知识 现有知识串联起来 为今后的学习打下基础 理由7 数学史知识有助于增加学生解决问题带来的成就感 理由8 数学史有助于学生对枯燥乏味的定理 公式的理解 不赞成的理由是 引入数学史可能会增加上课内容 使听课更吃力 会影响 教学进度 反而会增加学习压力 3 你想了解与教学内容有关的数学史知识吗 理由 4 4 人表示想 占8 8 6 人不想 占1 2 想的理由有以下 理由l 通过数学史知识 让学生认识到原本枯燥乏味的数学竞包含那么多有 趣的知识 数学史是兴趣的催化剂 让数学活起来 理由2 通过数学史知识 可以让学生体验古今中外数学家解决同一问题的不 同方法 学会一题多解 理由3 通过数学史知识 可以了解到数学中有趣的故事 能以一种轻松自在 的心态去学习知识 从而提高学习效率 理由 4 通过数学史知识 能拓宽知识面 特别是数学家为推动数学的发展 而奉献终身的事迹也是一种很好的作文素材 四 行动研究过程 理由5 通过数学史知识 不仅能提高自己的数学成绩 更可以陶冶身心 数 学家对真理孜孜不倦的追求精神值得我们敬佩和学习 从而使学