高中数学 3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数课件 理 新人教A版.ppt

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数 三年3考高考指数 1 三角函数的定义及应用是本节的考查重点 2 同角三角函数关系式常用来化简 求值 常与其他三角函数知识相结合考查 是高考的热点 3 主要以选择题 填空题的形式考查 难度不大 属低档题 1 角的有关概念 1 定义角可以看成平面内的一条射线绕着它的从一个位置 到另一个位置所成的图形 2 分类 3 终边相同的角 与角 终边相同的角可构成集合s 端点 旋转 正角 负角 零角 k 360 k z 即时应用 1 思考 角 为锐角是角 为第一象限角的什么条件 提示 充分不必要条件 因为锐角为大于0小于的角 而第一象限角的范围为 2k 2k k z 2 若 是第二象限角 判断下列表述是否正确 请在括号内填 或 k 360 45 k z 90 180 k 360 90 k 360 180 k z k 180 135 k z 解析 k 360 45 k z表示的是与45 终边相同的角 是第一象限的角 故不正确 90 180 不能表示所有第二象限的角 故不正确 正确 k 180 135 表示的是当k为偶数时 与135 终边相同的角 当k为奇数时 与315 终边相同的角 不能表示第二象限的角 故不正确 答案 2 弧度的定义和公式 1 定义长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 弧度记作rad 2 公式 半径长 角的弧度数公式 弧长用l表示 角度与弧度的换算 1 rad 弧长公式 弧长l 扇形面积公式 s 1rad 即时应用 1 337 30 的弧度数是 2 的度数为 3 扇形半径为45 圆心角为120 则弧长为 解析 1 337 30 表示的弧度数为 2 的度数为 75 3 圆心角120 的弧度数为 故弧长l 45 30 答案 1 2 75 3 30 3 任意角的三角函数 1 定义设角 终边与单位圆交于p x y 则sin cos tan 2 几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示 正弦线的起点都在x轴上 余弦线的起点都是原点 正切线的起点都是 1 0 如图中有向线段mp om at分别叫做角 的 和 y x 正弦线 余弦线 正切线 x x a 1 0 3 诱导公式 一 sin k 2 cos k 2 tan k 2 k z 4 同角三角函数的基本关系 平方关系 商数关系 sin cos tan sin2 cos2 1 tan 即时应用 1 已知角 终边上一点a 2 2 则tan 2 若tan 2 则 解析 1 tan 1 2 又 tan 2 答案 1 1 2 弧度制的应用 方法点睛 弧度制的应用 1 引进弧度制后 实现了角度与弧度的相互转化 在弧度制下可以应用弧长公式 l r 扇形面积公式 s lr r2 求弧长和扇形的面积 2 应用上述公式时 要先把角统一用弧度制表示 利用弧度制比角度制解题更为简捷 方便 提醒 弧度制和角度制不能混用 解决问题时要先统一 例1 已知扇形的圆心角是 半径为r 弧长为l 1 若 60 r 10cm 求扇形的弧长l 2 若扇形的周长为20cm 当扇形的圆心角 为多少弧度时 这个扇形的面积最大 3 若 r 2cm 求扇形的弧所在的弓形的面积 解题指南 1 可直接用弧长公式 但要注意用弧度制 2 可用弧长或半径表示出扇形面积 然后确定其取最大值时的半径和弧长 进而求出圆心角 3 利用s弓 s扇 s 这样就需要求扇形的面积和三角形的面积 规范解答 1 l 10 cm 2 由已知得 l 2r 20 所以s lr 20 2r r 10r r2 r 5 2 25 所以r 5时 s取得最大值25 此时l 10 2rad 3 设弓形面积为s弓 由题知l cm s弓 s扇 s 2 22 sin cm2 互动探究 将本例第 1 小题中的r 10cm改为扇形的弦ab 10cm 再求弧长l 解析 因为圆心角 60 ab 10cm 所以r 10cm l 10 cm 反思 感悟 1 弧度制下的弧长 扇形面积公式与角度制下的弧长公式l 扇形面积公式s 有着必然的内在联系 2 在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理地利用圆心角所在的三角形 变式备选 扇形oab的面积是1cm2 它的周长是4cm 求圆心角的弧度数和弦ab的长 解析 设扇形的半径为rcm 弧长为lcm 圆心角的弧度数为 则有由 得 2 ab 2sin1 cm 弦长ab为2sin1cm 三角函数的定义 方法点睛 1 三角函数定义的理解在直角坐标系xoy中 设p x y 是角 终边上任意一点 且 po r 则sin cos tan 2 定义法求三角函数值的两种情况 1 已知角 终边上一点p的坐标 则可先求出点p到原点的距离r 然后利用三角函数的定义求解 2 已知角 的终边所在的直线方程 则可先设出终边上一点的坐标 求出此点到原点的距离 然后利用三角函数的定义求解相关的问题 若直线的倾斜角为特殊角 也可直接写出角 的三角函数值 例2 已知角 的终边在直线3x 4y 0上 求sin cos tan 的值 解题指南 在直线上设出点 求出所设点到原点的距离 求得三角函数值 因为所设点可在不同象限 所以需要讨论 规范解答 角 的终边在直线3x 4y 0上 在角 的终边上任取一点p 4t 3t t 0 则x 4t y 3t r po 当t 0时 r 5t tan 当t 0时 r 5t sin cos tan 综上可知 sin cos tan 或sin cos tan 反思 感悟 1 利用三角函数定义解题时 方法比较灵活 若是角 的终边落到一条直线上 一般要分类讨论 2 任意角的三角函数与锐角三角函数的关系 1 联系 锐角三角函数是任意角的三角函数的一种特例 它们的基础是建立于相似或直角三角形的性质 r 同为正值 2 区别 锐角三角函数是以边的比来定义的 任意角的三角函数是以坐标与距离 坐标与坐标的比来定义的 它也适合锐角三角函数的定义 3 实质 由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程 变式训练 已知角 的终边经过点p m m 0 且sin m 试判断角 所在的象限 并求cos 和tan 的值 解析 由题意 得r m 0 m 故角 是第二或第三象限角 当m 时 r 2 点p的坐标为 当m 时 r 2 点p的坐标为 变式备选 已知角 的终边过点 a 2a a 0 求 的三角函数值 解析 因为角 的终边过点 a 2a a 0 所以 r a x a y 2a 当a 0时 sin cos tan 2 当a 0时 sin cos tan 2 同角三角函数关系式的应用 方法点睛 同角三角函数关系式的应用 1 同角三角函数关系式的基本用途 根据一个角的某一个三角函数值 求出该角的其他三角函数值 化简同角三角函数式 证明同角的三角恒等式 2 注意公式的逆用和变形应用 1 sin2 cos2 sin2 1 cos2 cos2 1 sin2 sin cos tan 例3 已知 x 0 sinx cosx 1 求sinx cosx的值 2 求tanx的值 解题指南 1 利用平方关系 把已知两边平方得2sinxcosx 再把sinx cosx平方求得 sinx cosx 2 再根据x的范围得sinx cosx 2 由sinx cosx和sinx cosx求得sinx cosx 再利用商数关系求得tanx 规范解答 1 由sinx cosx 平方得sin2x 2sinxcosx cos2x 即2sinxcosx sinx cosx 2 1 2sinxcosx 又 x 0 sinx 0 cosx 0 sinx cosx 0 故sinx cosx 2 由 1 得sinx cosx 故由 得sinx cosx 反思 感悟 1 在利用同角三角函数关系式解题时 变形非常关键 同时 1 的代换也经常巧妙地用在里面 使问题得以解决 2 有些题目还用到方程思想 函数思想 变式训练 已知tan 求sin cos 的值 解析 tan 且 sin 0 cos 0 由得 sin cos 易错误区 同角三角函数平方关系的应用误区 典例 2011 重庆高考 若cos 且 则tan 解题指南 根据角所在的范围 先求出sin 的值 再根据商数关系求出正切值 规范解答 因为 cos 所以sin 所以tan 答案 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 新课标全国卷 已知角 的顶点与原点重合 始边与x轴的正半轴重合 终边在直线y 2x上 则cos2 a b c d 解析 选b 由题意知 tan 2 即sin 2cos 将其代入sin2 cos2 1中可得cos2 故cos2 2cos2 1 2 2011 上海高考 若三角方程sinx 0与sin2x 0的解集分别为e f 则 a e f b e f c e f d e f 解