高考数学一轮复习 第七章 立体几何课件 理 湘教版.ppt

第七章立体几何 7 1空间几何体的结构特征及三视图和直观图7 2空间几何体的表面积和体积7 3空间点 直线 平面之间的位置关系7 4空间中的平行关系7 5空间中的垂直关系7 6空间向量及其运算7 7立体几何中的向量方法 7 1空间几何体的结构特征及三视图和直观图 平行 全等 平行且相等 用平行于底面的平面截棱锥得到 公共顶点 平行投影 完全相同 正视图 侧视图 俯视图 斜二测 45 或135 x 轴 y 轴 不变 不变 互相平行 相交于一点 平行 1 如图是两个全等的正三角形 给定下列三个命题 存在四棱锥 其正视图 侧视图如图 存在三棱锥 其正视图 侧视图如图 存在圆锥 其正视图 侧视图如图 其中真命题的个数是 a 3b 2c 1d 0 解析 对于 存在斜高与底边长相等的正四棱锥 其正视图与侧视图是全等的正三角形 对于 存在如图所示的三棱锥sabc 底面为等腰三角形 其底边ab的中点为d bc的中点为e 侧面sab上的斜高为sd 且cb ab sd se 顶点s在底面上的射影为ac的中点 则此三棱锥的正视图与侧视图是全等的正三角形 对于 存在底面直径与母线长相等的圆锥 其正视图与侧视图是全等的正三角形 所以选a 答案 a 2 下列结论正确的是 a 各个面都是三角形的几何体是三棱锥b 以三角形的一条边所在直线为旋转轴 其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥c 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等 则该棱锥可能是六棱锥d 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 解析 a错误 如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体 它的各个面都是三角形 但它不是三棱锥 b错误 如图2 若 abc不是直角三角形 或 abc是直角三角形但旋转轴不是直角边 所得的几何体都不是圆锥 c错误 若该棱锥是六棱锥 由题设知 它是正六棱锥 易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长 这与题设矛盾 选d 答案 d 4 2014 吉林质检 已知某组合体的正视图与侧视图相同 如图所示 其中ab ac 四边形bcde为矩形 则该组合体的俯视图可以是 把你认为正确的图的序号都填上 解析 直观图如图1的几何体 上部是一个正四棱锥 下部是一个正四棱柱 的俯视图为 直观图如图2的几何体 上部是一个正四棱锥 下部是一个圆柱 的俯视图为 直观图如图3的几何体 上部是一个圆锥 下部是一个圆柱 的俯视图为 直观图如图4的几何体 上部是一个圆锥 下部是一个正四棱柱 的俯视图为 答案 空间几何体的结构特征 变式训练 1 给出下列四个命题 在圆柱的上 下底面的圆周上各取一点 则这两点的连线是圆柱的母线 底面为正多边形 且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 若有两个侧面垂直于底面 则该四棱柱为直四棱柱 棱台的上 下底面可以不相似 但侧棱长一定相等 其中正确命题的个数是 a 0b 1c 2d 3 解析 不一定 只有这两点的连线平行于轴时才是母线 正确 错误 平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行 故 不正确 错误 棱台的上 下底面是相似且对应边平行的多边形 各侧棱延长线交于一点 但是侧棱长不一定相等 答案 b 几何体的三视图 几何体的直观图 从近两年的高考试题来看 柱 锥 台 球的定义和相关性质是基础 以它们为载体考查线线 线面 面面间的关系是重点 三视图的还原在各地高考试题中频繁出现 题型以选择题和填空题为主 有时也会作为解答题的背景出现 2013 全国新课标 卷 一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 画该四面体三视图中的正视图时 以zox平面为投影面 则得到正视图可以为 规范解答 在空间直角坐标系中 先画出四面体oabc的直观图 如图 设o 0 0 0 a 1 0 1 b 1 1 0 c 0 1 1 将以o a b c为顶点的四面体被还原成一正方体后 由于oa bc 所以该几何体以zox平面为投影面的正视图为a 答案 a 阅后报告 空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面 左面 上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图 因此在分析空间几何体的三视图时 先根据俯视图确定几何体的底面 然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征 调整实线和虚线所对应的棱 面的位置 再确定几何体的形状 即可得到结果 2 2014 湖北卷 在如图所示的空间直角坐标系oxyz中 一个四面体的顶点坐标分别是 0 0 2 2 2 0 1 2 1 2 2 2 给出编号为 的四个图 则该四面体的正视图和俯视图分别为 a 和 b 和 c 和 d 和 解析 由三视图及空间直角坐标系可知 该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线 一锐角顶点与其所对直角边中点的连线 故正视图是 俯视图是一个钝角三角形 故俯视图是 故选d 答案 d 3 2014 湖南卷 一块石材表示的几何体的三视图如图所示 将该石材切削 打磨 加工成球 则能得到的最大球的半径等于 a 1b 2c 3d 4 解析 由三视图可知 石材为一个三棱柱 相对应的长方体的一半 故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球 由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径 可得r 6 8 10 2 2 答案 b 课时作业 7 2空间几何体的表面积和体积 柱 锥 台和球的侧面积和体积 2 rh sh r2h rl 4 母线长为1的圆锥的侧面展开图的面积是23 则该圆锥的体积为 a b c d 5 已知一个三棱锥的三视图如图所示 其中俯视图是等腰直角三角形 该三棱锥的外接球的半径为2 则该三棱锥的体积为 棱柱 棱锥 棱台的表面积和体积 1 求棱柱 棱锥 棱台的表面积就是根据条件求它们的侧面积和底面积的和 2 求棱柱 棱锥 棱台的体积时 根据体积公式 需要具备已知底面积和高两个重要条件 底面积一般可由底面边长或半径求出 圆柱 圆锥 圆台 球的表面积和体积 2 如图2所示 半径为r的半圆内的阴影部分以直径ab所在直线为轴 旋转一周得到一几何体 求该几何体的表面积及其体积 其中 bac 30 几何体的展开与折叠 阅后报告 1 对于规则几何体体积的大小可直接考虑底面积与高的量 2 用特殊代替一般可解决体积比 面积比 之类的问题 3 在锥体中平行于底的截面分割出的小锥体与原锥体的体积比为相似比的立方 3 2014 重庆卷 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 a 54b 60c 66d 72 课时作业 7 3空间点 直线 平面之间的位置关系 两点 一个公共点 不在同一条直线上 一条直线和这条直线外一点 两条相交直线 两条平行直线 没有 一个 平行 相交 任何 锐角或直角 平行 相交 在平面内 同一条直线 平面的基本性质及平行公理的应用 直线位置关系的判定 异面直线所成的角 变式训练 3 在四棱锥pabcd中 底面是边长为2的菱形 dab 60 对角线ac与bd交于点o po 平面abcd pb与平面abcd所成角为60 1 求四棱锥的体积 2 若e是pb的中点 求异面直线de与pa所成角的余弦值 3 2013 全国新课标 卷 已知m n为异面直线 m 平面 n 平面 直线l满足l m l n l l 则 a 且l b 且l c 与 相交 且交线垂直于ld 与 相交 且交线平行于l 答案 d 4 2013 江西卷 如图 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上 且ab cd 则直线ef与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 解析 取cd的中点为g 由题意知平面efg与正方体的左 右侧面所在平面重合或平行 从而ef与正方体的左 右侧面所在的平面平行或ef在平面内 所以直线ef与正方体的前 后侧面及上 下底面所在平面相交 故直线ef与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4 答案 4 课时作业 7 4空间中的平行关系 1 直线与平面平行的判定与性质 1 定义 如果直线a与平面 公共点 则直线a与平面 平行 记作 2 判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线 则该直线与此平面平行 用符号表示为 a b 且 a 无 a 平行 a b 平行 a l b 平行 a 无 平行 a b 2 2014 南开模拟 下列命题正确的是 a 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行b 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行c 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行d 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 解析 若两条直线和同一平面所成角相等 这两条直线可能平行 也可能为异面直线 也可能相交 所以a错 当三点共线或分别在另一平面异侧时 这两个平面可能不平行 故b错 若两个平面垂直同一个平面 两平面可以平行 也可以垂直 故d错 故选项c正确 答案 c 直线与平面平行的判定 集合间的基本关系 变式训练 2 如图所示 在四面体abcd中 截面efgh平行于对棱ab和cd 试问截面在什么位置时其截面面积最大 平面与平面平行的判定 平面与平面平行的性质及应用 阅后报告 1 本题考查面面平行的证明 直线和平面垂直的性质 三棱柱体积的计算等知识 考查空间想象力 运算求解能力和推理论证能力 2 面面平行问题常转化为线面平行 而线面平行又可转化为线线平行 需要注意转化思想的应用 3 2013 江苏卷 如图 在三棱锥sabc中 平面sab 平面sbc ab bc as ab 过a作af sb 垂足为f 点e g分别是棱sa sc的中点 求证 1 平面efg 平面abc 2 bc sa 证明 1 因为as ab af sb 垂足为f 所以f是sb的中点 又因为e是sa的中点 所以ef ab 因为ef 平面abc ab 平面abc 所以ef 平面abc 同理eg 平面abc 又ef eg e 所以平面efg 平面abc 2 因为平面sab 平面sbc 且交线为sb 又af 平面sab af sb 所以af 平面sbc 因为bc 平面sbc 所以af bc 又因为ab bc af ab a af 平面sab ab 平面sab 所以bc 平面sab 因为sa 平面sab 所以bc sa 4 2013 山东卷 如图 四棱锥pabcd中 ab ac ab pa ab cd ab 2cd e f g m n分别为pb ab bc pd pc的中点 1 求证 ce 平面pad 2 求证 平面efg 平面emn 课时作业 7 5空间中的垂直关系 任意 相交直线 平行 a b a b 垂线 l l 交线 直角 棱上一点 垂直 1 2014 郑州模拟 设 分别为两个不同的平面 直线l 则 l 是 成立的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 依题意 由l l 可以推出 反过来 由 l 不能推出l 因此 l 是 成立的充分不必要条件 选a 答案 a 解析 对于 直线m与平面 可能平行或相交 对于 直线m可能也在平面 内 而 都是正确的命题 故选c 答案 c 3 如图 a 在正方形abcd中 e f分别是bc cd的中点 g是ef的中点 现在沿ae af及ef把这个正方形折成一个四面体 使b c d三点重合 重合后的点记为h 如图 b 所示 那么 在四面体aefh中必有 a ah efh所在平面b ag efh所在平面c hf aef所在平面d hg aef所在平面 解析 折成的四面体有ah eh ah fh ah 平面hef 答案 a 5 如图 pa o所在平面 ab是 o的直径 c是 o上一点 ae pc af pb 给出下列结论 ae bc ef pb af bc ae 平面pbc 其中真命题的序号是 解析 ae 平面pac bc ac bc pa ae bc 故 正确 ae pb af pb ef pb 故 正确 若af bc af 平面pbc 则af ae与已知矛盾 故 错误 由 可知 正确 答案 直线与平面垂直的判定与性质 变式训练 1 如图 在正方体abcda1b1c1d1中 e为棱c1d1的中点 f为棱bc的中点 1 求证 直线ae 直线da1 2 在线段aa1上求一点g 使得直线ae 平面dfg 解析 1 证明 连接ad1 bc1 由正方体的性质可知 da1 ad1 da1 ab 又ab ad1 a da1 平面abc1d1 又ae 平面abc1d1 da1 ae 2 所求g点即为a1点 证明如下 由 1 可知ae da1 取cd的中点h 连接ah eh 由df ah df eh ah eh h 可证df 平面ahe ae 平面ahe df ae 又df a1d d ae 平面dfa1 即ae 平面dfg 平面与平面垂直的判定与性质 变式训练 2 如图 在四棱锥sabcd中 平面sad 平面abcd 四边形abcd为正方形 且p为ad的中点 q为sb的中点 m为bc的中点 1 求证 cd 平面sad 2 求证 pq 平面scd 3 若sa sd 在棱sc上是否存在点n 使得平面dmn 平面abcd 并证明你的结论 解析 1 证明 因为四边形abcd为正方形 所以cd ad 又平面sad 平面abcd 且平面sad 平面abcd ad 所以cd 平面sad 2 证明 连接pm qm 因为q p m分别为sb ad bc的中点 所以qm sc pm dc 因为qm pm m qm pm 平面pqm sc dc c 所以平面pqm 平面scd 又pq 平面pqm 所以pq 平面scd 3 存在点n 使得平面dmn 平面abcd 连接pc dm交于点o 连接sp 因为sa sd p为ad的中点 所以sp ad 因为平面sad 平面abcd 所以sp 平面abcd sp pc 在 spc中 过o点作no pc交sc于点n 此时n为sc的中点则sp no 则no 平面abcd 因为no 平面dmn 所以平面dmn 平面abcd 所以存在满足条件的点n 线面垂直中的探索性问题 折叠问题 将平面图形折叠成立体图形时 要注意折叠前 后哪些量发生了改变 哪些没有发生变化 特别要注意寻找折叠前 后的那些没有发生变化的关系和没有变化的量 把平面图形的垂直关系运用到空间图形中去 又将空间中的有关问题放到平面中去计算 常可以使问题得以顺利解决 阅后报告 1 解决探索性问题一般先假设其存在 把这个假设作已知条件 和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算 在推理论证和计算无误的前提下 如果得到了一个合理的结论 则说明存在 如果得到了一个不合理的结论 则说明不存在 2 在处理空间折叠问题中 要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等 关键是点 线 面位置关系的转化与平面几何知识的应用 注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同 盲目套用容易导致错误 2 2014 福建卷 如图所示 三棱锥abcd中 ab 平面bcd cd bd 1 求证 cd 平面abd 2 若ab bd cd 1 m为ad中点 求三棱锥ambc的体积 解析 方法一 1 证明 ab 平面bcd cd平面bcd ab cd 又 cd bd ab bd b ab平面abd bd平面abd cd 平面abd 2 由ab 平面bcd 得ab bd ab bd 1 s abd 1 2 m是ad的中点 s abm 1 2s abd 1 4 由 1 知 cd 平面abd 三棱锥c abm的高h cd 1 因此三棱锥ambc的体积va mbc vc abm 1 3s abm h 1 12 方法二 1 同方法一 2 由ab 平面bcd 得平面abd 平面bcd 且平面abd 平面bcd bd 如图所示 过点m作mn bd交bd于点n 则mn 平面bcd 且mn 1 2ab 1 2 又cd bd bd cd 1 s bcd 1 2 三棱锥a mbc的体积va mbc va bcd vm bcd 1 3ab s bcd 1 3mn s bcd 1 12 3 2014 广东卷 如图1所示 四边形abcd为矩形 pd 平面abcd ab 1 bc pc 2 作如图2折叠 折痕ef dc 其中点e f分别在线段pd pc上 沿ef折叠后点p叠在线段ad上的点记为m 并且mf cf 1 证明 cf 平面mdf 2 求三棱锥mcde的体积 解析 1 证明 因为pd 平面abcd ad 平面abcd 所以pd ad 又因为四边形abcd为矩形 所以cd ad 因为pd cd d 所以ad 平面pcd 在图2中 因为cf 平面pcd 所以ad cf 即md cf 又因为mf cf md mf m 所以cf 平面mdf 课时作业 7 6空间向量及其运算 1 空间向量的有关定理 1 共线向量定理 对空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是存在实数 使得 a b 2 共面向量定理 如果两个向量a b不共线 那么向量p与向量a b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 x y 使 3 空间向量基本定理 如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得p 其中 a b c 叫做空间的一个 p xa yb xa yb zc 基底 2 两向量的数量积 两个非零向量a b的数量积a b 3 向量的数量积的性质 a e a a b a b a 2 a a a b a b 4 向量的数量积满足如下运算律 a b a b a b 交换律 a b c 分配律 3 空间向量的坐标运算 答案 c 3 已知空间四边形oabc中 oa a ob b oc c 点m在oa上 且om 2ma n为bc中点 则mn a 1 2a 2 3b 1 2cb 2 3a 1 2b 1 2cc 1 2a 1 2b 1 2cd 2 3a 2 3b 1 2c 解析 显然mn on om 1 2 ob oc 2 3oa 1 2b 1 2c 2 3a 答案 b 4 已知a cos 1 sin b sin 1 cos 则向量a b与a b的夹角是 解析 a b a b a2 b2 a 2 b 2 cos2 1 sin2 sin2 1 cos2 0 a b a b 即向量a b与a b的夹角为90 答案 90 空间向量的线性运算 用已知向量来表示未知向量 一定要结合图形 以图形为指导是解题的关键 要正确理解向量加法 减法与数乘运算的几何意义 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则 在立体几何中要灵活应用三角形法则 向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立 共线向量 共面向量定理的应用 利用空间向量证明平行 垂直问题 从近两年的高考试题来看 空间向量的数量积及应用在高考中偶尔有所体现 其他知识体现较少 题型有选择题 解答题 选择题一般考查数量积的概念 运用及简单应用 解答题中一般考查学生综合应用知识解决问题 处理问题的能力 注重考查学生的运算能力 阅后报告 本题考查直线和平面垂直的性质 利用向量法求解二面角的基本思想和方法 同时考查空间想象力 运算求解能力和推理论证能力 1 2014 广东卷 已知向量a 1 0 1 则下列向量中与a成60 夹角的是 a 1 1 0 b 1 1 0 c 0 1 1 d 1 0 1 解析 设所求向量是b 若b与a成60 夹角 则根据数量积公式 只要满足a b a b 1 2即可 所以b选项满足题意 答案 b 2 2013 全国新课标 卷 一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 画该四面体三视图中的正视图时 以zox平面为投影面 则得到的正视图可以为 解析 根据已知条件作出图形 四面体c1a1db 标出各个点的坐标如图 1 所示 可以看出正视图是正方形 如图 2 所示 故选a 答案 a 课时作业7 6 7 7立体几何中的向量方法 1 利用空间向量求空间角 1 两条异面直线所成的角 定义 设a b是两条异面直线 过空间任一点o作直线a a b b 则a 与b 所成的 叫做a与b所成的角 锐角或直角 0 4 2014 石家庄模拟 如图 在正方形abcd中 ef ab 若沿ef将正方形折成一个二面角后 ae ed ad 1 1 2 则af与ce所成角的余弦值为 解析 建立如图空间直角坐标系 设ab ef cd 2 ae de ad 1 1 2 则e 0 0 0 a 1 0 0 f 0 2 0 c 0 2 1 af 1 2 0 ec 0 2 1 cos af ec 4 5 af与ce所成角的余弦值为4 5 答案 4 5 利用空间向量求异面直线所成角 利用向量的夹角来求异面直线的夹角时 注意区别 当异面直线的向量的夹角为锐角或直角时 就是该异面直线的夹角 当异面直线的向量的夹角为钝角时 其补角才是异面直线的夹角 利用空间向量求直线和平面所成角 利用向量法求线面角的方法 一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 二是通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 如图 已知四棱锥pabcd的底面为等腰梯形 ab cd ac bd 垂